低轨无拖曳卫星的自适应神经网络控制器设计
2014-08-08李季樊慧津
李季++樊慧津
收稿日期：2013-06-24基金项目：国家自然科学基金项目（61174079,6120381）作者简介：李 季（1988—），男，安徽黄山人，硕士研究生，研究方向:飞行器自适应控制。文章编号：1003-6199(2014)0２-0001-06摘 要：低轨无拖曳(Drag-free)卫星为相对论的验证、引力波探测以及地球重力场的测量提供了低干扰的试验环境。目前已有的工作主要对无拖曳卫星模型进行线性化，然后进行控制器设计，此种方法忽略了无拖曳卫星控制系统的非线性环节，因此降低了控制器的精度。本文将基于Lyapunov稳定性理论和自适应反步控制，直接针对无拖曳卫星控制系统的非线性模型进行分析，设计一种自适应神经网络控制器。针对系统建模过程中的线性化和未建模动态，利用RBF神经网络对非线性项进行拟合和补偿，建立自适应神经网络权值自适应律，保证闭环系统具有较好的鲁棒稳定性能和抗干扰性能，实现无拖曳卫星控制系统的设计要求。仿真结果表明控制器的有效性，满足了无拖曳卫星的控制精度要求。
关键词：无拖曳卫星；自适应控制；RBF神经网络；反步法
中图分类号：TP273文献标识码：A
Design of Adaptive Neural Network Controllers for LEO Dragfree Satellite
LI Ji,FAN Huijin
(School of Automation, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan,Hubei 430074, China)
Abstract:Lowdisturbance environment can be achieved by the LEO(LowEarth Orbit) dragfree satellite, which benefits the validation of relativity, detection of gravitational waves and measurement of gravity field. For dragfree control purpose, most researches proposed controllers with linearized model and ignoring the nonlinear characteristics, which lower the accuracy of controllers. In this paper, by taking into account of the nonlinear characteristics, an adaptive neural network controller is established based on Lyapunov methods and adaptive backstepping control theory. For nonlinear characteristics and unmodeled dynamics, RBF neural network is employed for approximation. At the same time, we introduce the update laws of adaptive neural network weights, which guarantee the stability of the closedloop system and satisfy requirements of the dragfree satellite control system. The simulation results indicate that the controller is effective and the accuracy of the dragfree satellite can be satisfied．
Key words:Dragfree satellite;adaptive control;RBF neural network;backstepping
1 引 言
低轨卫星在太空飞行的过程中，承受着来自星际空间的各种扰动［1］，例如，地球、太阳、月亮引力的影响，以及大气阻力、太阳辐射和地面反射等非惯性力的影响。然而相对论的验证、引力波探测以及地球重力场的测量等都需要低干扰试验环境。为了消除非惯性力的影响，文献［1］提出无拖曳(drag-free)技术，设计了无拖曳卫星：用一个质量块置于卫星本体内部，质量块将不受大气阻力等外部干扰力的影响，因为质量块不与卫星本体接触，所以几乎处于自由漂移状态，成为理想的宁静参考源。卫星本体保持与质量块之间相互隔离的状态，在适当传感器和控制算法条件下，从而保证卫星本体实现较高的宁静性［1］。
无拖曳卫星控制器不但可以使卫星保持稳定，而且良好的控制效果有助于航天任务的完成以及降低对硬件的要求，所以无拖曳卫星控制器设计一直是无拖曳卫星研究的重点。Stephan Theil［2-3］等人考虑了无拖曳卫星控制系统的不确定性，利用分散控制策略设计了系统的鲁棒控制器。E.Canuto［4-5］等人针对GOCE卫星，建立离散时间状态方程，利用嵌入式模型控制策略设计了可调控制器。文献［6］基于干扰观测模型，设计了混合H2/H
SymboleB@
最优控制器，并以LMI形式给出了求解控制器的条件并证明了控制器的稳定性。文献［7］针对卫星本体与质量块相对轨道动力学模型，采用卡尔曼滤波方法对状态和干扰进行了估计，并基于状态估计设计了最优控制器，有效地抑制了干扰对系统的影响。文献［8］基于H2优化理论设计了最优控制器，通过传递函数法及数值法双重分析表明所设计的控制器符合控制要求。
在这些已有的控制器设计中，大多未考虑系统的非线性环节或采用线性化方法，将系统简化为线性模型，从而降低了控制器的精度。由于无拖曳卫星控制系统本质上是一个复杂的非线性系统，本文将直接针对非线性模型，考虑到系统的非线性特征及未建模动态，利用神经网络对函数的有效逼近能力，对系统模型中的非线性部分进行拟合。首先，本文将无拖曳卫星控制系统根据控制目标划分为三个子系统：卫星本体与质量块相对位移子系统，即drag-free子系统；卫星本体姿态子系统；以及卫星本体与质量块相对姿态子系统。接着，针对每个二阶子系统，利用径向基函数(Radial Basis Function)神经网络对系统的非线性部分进行拟合，通过对基函数中心和方差进行学习，并采用自适应反步控制方法，设计相应控制器，建立神经网络权值自适应律以及分散自适应控制律。仿真结果验证了所设计的控制器的有效性。
计算技术与自动化2014年6月
第33卷第2期李 季等：低轨无拖曳卫星的自适应神经网络控制器设计
本文下面内容安排如下：第2节问题描述，建立无拖曳卫星的动力学模型；第3节针对drag-free控制回路、卫星本体姿态控制回路以及卫星本体与质量块相对姿态控制回路，分别设计控制器，同时给出了稳定性分析；第4节通过仿真证明所设计的控制器的有效性；第5节给出结论与进一步的工作。
2 问题描述
本文所考虑的低轨无拖曳卫星结构设计如下：无拖曳卫星只包含一个质量块，且形状为立方体，卫星内腔壁上的位置敏感器能够测量卫星本体和质量块的相对位置。这里采用静电位置悬浮及测量系统EPS(Electrostatic Positioning/Measurement System) 来测量质量块相对移动并对其施加静电力和力矩，根据EPS的测量结果，命令推进器输出相应的推力，使卫星本体跟踪质量块。推进器可以选择场发射推进器和微胶体推进器，它们具有极低的噪声干扰，而且可以实现极小的推力，非常适合无拖曳控制。但在近地环境中，大气阻力有时比较大，尤其在卫星的迎风面，此时需要采用推力较大的推进器，如离子推进器。所以在近地环境中，无拖曳控制往往采用了多种推进器组合的方式［1,8］。本文将无拖曳卫星控制系统根据控制目标划分为三个控制回路：卫星本体与质量块相对位移控制回路，即dragfree控制回路，卫星本体姿态控制回路以及卫星本体与质量块相对姿态控制回路，相关动力学方程如下［9］：
卫星本体与质量块相对位移动力学方程：
rel=1mtm(FGtm+FDtm+FSCtm)－
1msc(FGsc+FCsc+FDsc+FTMsc)－
2ωsc×rel－ωsc×(ωsc×(rh+rrel))－
sc×(rh+rrel)(1)
其中，rrel表示卫星本体和质量块的相对位移，rh表示敏感器空腔中心与卫星质心的距离，mtm表示质量块的质量，msc代表卫星本体的质量，ωsc表示卫星本体姿态角速度，FGtm、FGsc分别表示卫星本体和质量块受到的重力，FDtm、FDsc分别表示卫星本体和质量块受到的非惯性力，FCsc表示卫星本体受到的控制力，FSCtm、FTMsc表示卫星本体和质量块之间的耦合力。
卫星本体姿态动力学方程：
sc=I－1sc［TCsc+TDsc+TTMsc－ωsc×(Iscωsc)］(2)
其中，ωsc表示卫星本体姿态角速度，Isc表示卫星本体的转动惯量，TCsc，TDsc，TTMsc分别表示卫星本体受到的控制力矩、干扰力矩和耦合力矩。
卫星本体和质量块的相对姿态动力学方程：
rel=tm－ATSsc+ωtm×ATSωsc=
I－1tm［TCtm+TDtm+TSCtm－
(ωrel+ωsc)×(Itm(ωrel+ωsc))］－
ATSsc－ATSωsc×ωrel(3)
其中，ωrel表示卫星本体和质量块的相对姿态角速度，ωtm表示质量块的姿态角速度，ωsc表示卫星本体姿态角速度，TCtm，TDtm，TSCtm分别表示质量块受到的控制力矩、干扰力矩和耦合力矩，ATS表示从卫星本体坐标系到质量块本体坐标系的旋转矩阵。
通常将质量块和卫星间的静电耦合基本模型看作一个弹簧—阻尼系统，以质量块为例，在敏感器坐标系下受到的耦合力和力矩形式如下：
FSCtm=－Ktransrrel－Dtransrel(4)
TSCtm=－Krotθrel－Drotrel (5)
其中，Ktrans为卫星本体和质量块之间的耦合水平弹性系数，Dtrans为水平阻尼系数，Krot为卫星本体和质量块之间的耦合旋转弹性系数，Drot为旋转阻尼系数。
通过线性化处理后，得到低轨无拖曳卫星控制系统的动力学简化模型如下：
rel=vrel
rel=-Ktransmtmrrel-Dtransmtmvrel-1mscFCsc+
f1(rrel,vrel
sc=ωsc
sc=I-1scTCsc+f2(φsc,ωsc)
rel=ωrel
rel=I-1tmKrotφrel+I-1tmDrotωrel+
I-1tmTCtm-I-1scTCsc+f3(φrel,ωrel)(6)
系统(6)中，φsc、ωsc分别表示卫星本体的姿态角和姿态角速度，rrel、vrel分别表示卫星本体和质量块的相对位移和相对运动速度，φrel、ωrel分别表示卫星本体和质量块的相对姿态角和相对姿态角速度。本文以欧拉角的形式给出了卫星本体和质量块的姿态。
f1(rrel,vrel)，f2(φsc,ωsc)，f3(φrel,ωrel)为未知光滑函数，代表系统的非线性特征、未建模动态及未知扰动。
注2.1与文献［9］相比，本文将扰动项1mscFDsc包含在了f1中，I－1scTDsc包含在了f2中，I－1tmTDtm、I－1scTDsc包含在了f3中，因此，文献［9］中所研究的模型是本文系统(6)的特例。
上述系统中所涉及的变量均为3维：包含x、y、z三个坐标轴方向。为了清晰地阐述本文的主要思想，以下将仅考虑单个坐标轴方向，并且假设变量之间以及坐标轴之间的交叉耦合量足够小。
定义x=［x11,x12,x21,x22,x31,x32］T，其中状态变量依次代表rrel、vrel、φsc、ωsc、φrel、ωrel。
系统(6)可写成如下三个子系统：
卫星本体与质量块相对位移子系统，即dragfree子系统：
Σ1:11=x1212=a1x11+b1x12+c1u1+f1(x11,x12)(7)
卫星本体姿态子系统：
Σ2:21=x2222=c2u2+f2(x21,x22)(8)
卫星本体与质量块相对姿态子系统：
Σ3:31=x3232=a2x31+b2x32－c2u2+c3u3+f3(x31,x32) (9)
其中，a1=－Ktransmtm，a2=I－1tmKrot，b1=－Dtransmtm，b2=I－1tmDrot，c1=－1msc，c2=I－1sc，c3=I－1tm，u1=FCsc，u2=TCsc，u3=TCtm。f1(x11,x12)，f2(x21,x22)，f3(x31,x32)代表系统的不确定性、未建模动态及未知扰动。
3 控制器设计
3.1 RBF神经网络
本文的目的是基于Lyapunov稳定性理论和自适应反步控制，对无拖曳卫星控制系统的非线性模型进行分析，设计一种自适应神经网络控制器。
人工神经网络形式多种多样，RBF神经网络是其中应用较为广泛的一种，表达形式如下［10-11］：
Ψ(X)=WTΦ(X) (10)
其中，W=［w1,w2,...,wl］T∈Rl为权重向量，Φ(x)=［φ1(X),φ2(X),...,φl(X)］T为基函数向量，l为隐含层神经元的个数，X=［x1,x2,...,xn］代表系统中的状态变量，并作为网络的训练样本输入。基函数i(X)选择高斯函数，表达式如下：
φi(X)=exp －‖X－ci‖22σ2i(11)
其中，ci=［ci1,ci2,...,cin］T是隐含层第i个径向基函数的中心点，n为输入层向量的维数，σi是径向基函数的宽度。
3.2 dragfree控制回路
3.2.1 控制器设计
系统Σ1表示dragfree控制回路：
Σ1:11=x1212=a1x11+b1x12+c1u1+f1(x11,x12)
f1(x11,x12)为未知光滑函数，由于RBF神经网络对于光滑函数的有效逼近能力，此时我们采用RBF神经网络对其进行拟合，表达式如下：
f1(x11,x12)=WT1Φ1(x11,x12) (12)
定义1为权值的估计值，1为权值的估计误差。即：
1=W1－1(13)
本节将采用RBF神经网络来对f1进行拟合，结合自适应反步控制，建立权重W1的自适应律，通过调节权重，可以达到系统自适应控制的目的。
第一步：考虑x11子系统，选择Lyapunov函数：
V11(x11)=12x211 (14)
对V11求导，得：
11=x1111=
x11x12(15)
将x12看成x11子系统的虚拟控制，令：
x12=z12+α11(x11)(16)
其中，z12为引入的新的虚拟控制，α11(x11)满足α11(0)=0，并选取为：
α11(x11)=－k11x11 (17)
其中，k11＞0为可调参数。所以
11=x11(z12+α11(x11))=
－k11x211+x11z12(18)
第二步：考虑系统(x11,x12)，选择Lyapunov函数：
V12(x12,x12)=V11(x11)+
12z212+12T1Γ11(19)
其中，Γ1为正定矩阵。
对V12求导，得：
12=－k11x211+x11z12+z1212+•T1Γ11=
－k11x211+z12(x11+12－α11x1111)+•T1Γ11=
－k11x211+z12(x11+a1x11+b1x12+
c1u1+WT1Φ1+k11x12)+•T1Γ11=
－k11x211+z12(x11+a1x11+b1x12+
c1u1+T1Φ1+k11x12)+z12T1Φ1+
•T1Γ11=
－k11x211+z12(x11+a1x11+b1x12+
c1u1+T1Φ1+k11x12)+(z12ΦT1+•T1Γ1)1 (20)
选取控制量为
u1=1c1(－x11－a1x11－b1x12－T1Φ1－
k11x12－k12z12) (21)
其中，k11＞0，k12＞0为可调参数。
权值自适应律1为
•1=z12Γ－T1Φ1=
(x12+k11x11)Γ－T1Φ1(22)
3.2.2 稳定性分析
定理 1［12］ 考虑如下非线性系统
=f(x)
且
f(0)≡0 (23)
若存在具有连续1阶偏导数的标量函数V(x)，满足以下条件：
1)V(x)是正定的；
2)(x)=dV(x)/dt是负定的；
3)当‖x‖→
SymboleB@
时，V(x)→
SymboleB@
。
则在系统原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
通过上述控制器设计，由式(19)，显然V12是正定的，又12=－k11x211－k12z212，由于k11，k12为大于零的可调参数，所以12是负定的，当‖x11‖→
SymboleB@
，‖z12‖→
SymboleB@
时，V12→
SymboleB@
，所以x11，z12在平衡状态是大范围渐近稳定的。又由式(16)和式(17)可知，当t→
SymboleB@
，x11→0，z12→0时，有x12→0，所以x11，x12在平衡状态是大范围渐近稳定的。
3.3 姿态控制回路
3.3.1 卫星本体姿态控制回路
卫星本体姿态状态方程如下：
Σ2:21=x2222=c2u2+f2(x21,x22)
f2(x21,x22)为未知光滑函数，我们采用RBF神经网络对其进行拟合，表达式如下：
f2(x21,x22)=WT2Φ2(x21,x22)(24)
定义2为权值的估计值，2为权值的估计误差。即：
2=W2－2(25)
本节将采用RBF神经网络来对f2进行拟合，结合自适应反步控制，建立权重W2的自适应律，通过调节权重，可以达到系统自适应控制的目的。
第一步：考虑x21子系统，选择Lyapunov函数：
V21(x21)=12x221(26)
对V21求导，得：
21=x2121=x21x22(27)
将x22看成x21子系统的虚拟控制，令：
x22=z22+α21(x21)(28)
其中，z22为引入的新的虚拟控制，α21(x21)满足α21(0)=0，并选取为：
α21(x21)=－k21x21(29)
其中，k21＞0为可调参数。所以
21=x21(z22+α21(x21))=－k21x221+x21z22(30)
第二步：考虑系统(x21,x22)，选择Lyapunov函数：
V22(x21,x22)=V21(x21)+
12z222+12T2Γ22(31)
其中，Γ2为正定矩阵。
对V22求导，得：
22=－k21x221+x21z22+z2222+•T2Γ22=
－k21x221+z22(x21+22－α21x2121)+•T2Γ22=
－k21x221+z22(x21+c2u2+WT2Φ2+
k21x22)+•T2Γ22=
－k21x221+z22(x21+c2u2+T2Φ2+
k21x22)+z22T2Φ2+•T2Γ22=
－k21x221+z22(x21+c2u2+T2Φ2+
k21x22)+(z22ΦT2+•T2Γ2)2 (32)
选取控制量为
u2=1c2(－x21－T2Φ2－
k21x22－k22z22) (33)
其中，k21＞0，k22＞0为可调参数。
权值自适应律2为
•2=z22Γ－T2Φ2=(x22+k21x21)Γ－T2Φ2 (34)
3.3.2 卫星本体与质量块相对姿态控制回路
卫星本体与质量块相对姿态状态方程如下：
Σ3:31=x3232=a2x31+b2x32－c2u2+c3u3+f3(x31,x32)
f3(x31,x32)为未知光滑函数，我们采用RBF神经网络对其进行拟合，表达式如下：
f3(x31,x32)=WT3Φ3(x31,x32) (35)
定义3为权值的估计值，3为权值的估计误差。即：
3=W3－3(36)
本节将采用RBF神经网络来对f3进行拟合，结合自适应反步控制，建立权重W3的自适应律，通过调节权重，可以达到系统自适应控制的目的。
第一步：考虑x31子系统，选择Lyapunov函数：
V31(x31)=12x231 (37)
对V31求导，得：
31=x3131=x31x32(38)
将x32看成x31子系统的虚拟控制，令：
x32=z32+α31(x31)(39)
其中，z32为引入的新的虚拟控制，α31(x31)满足α31(0)=0，并选取为：
α31(x31)=－k31x31 (40)
其中，k31＞0为可调参数。所以
31=x31(z32+α31(x31))=－k31x231+x31z32(41)
第二步：考虑系统(x31,x32)，选择Lyapunov函数：
V32(x31,x32)=V31(x31)+
12z232+12T3Γ33(42)
其中，Γ3为正定矩阵。
对V32求导，得：
32=－k31x231+x31z32+z3232+•T3Γ33=
－k31x231+z32(x31+32－α31x3131)+•T3Γ33=
－k31x231+z32(x31+a2x31+b2x32－c2u2+
c3u3+WT3Φ3+k31x32)+•T3Γ33=
－k31x231+z32(x31+a2x31+b2x32－c2u2+
c3u3+T3Φ3+k31x32)+z32T3Φ3+
•T3Γ33=
－k31x231+z32(x31+a2x31+b2x32－c2u2+
c3u3+T3Φ3+k31x32)+(z32ΦT3+•T3Γ3)3 (43)
选取控制量为
u3=1c3(－x31－a2x31－b2x32+c2u2－
T3Φ3－k31x32－k32z32)(44)
其中，k31＞0，k32＞0为可调参数。
权值自适应律3为
•3=z32Γ－T3Φ3=(x32+k31x31)Γ－T3Φ3(45)
3.3.3 稳定性分析
由定理1，对于子系统Σ2，由式(31)，显然V22是正定的，又22=－k21x221－k22z222，由于k21，k22为大于零的可调参数，所以22是负定的，当‖x21‖→
SymboleB@
，‖z22‖→
SymboleB@
时，V22→
SymboleB@
，所以x21，z22在平衡状态是大范围渐近稳定的。又由式(28)和式(29)可知，当t→
SymboleB@
，x21→0，z22→0时，有x22→0，所以x21，x22在平衡状态是大范围渐近稳定的。同理可得，x31，x32在平衡状态是大范围渐近稳定的。
4 仿真分析
本节为了证实所提出的控制器的有效性，在matlab/simulink环境下进行了仿真验证。
仿真参数如下［9］：卫星本体质量为1050 kg，质量块质量为1 kg，卫星本体和质量块之间的初始相对距离为rrel=1×10－3m，卫星本体和质量块之间的初始相对姿态为φrel=1•π/180rad，卫星本体和质量块之间的耦合水平弹性系数Ktrans=1×10－6N/m，水平阻尼系数Dtrans=1.4×10－11N/m2，卫星本体和质量块之间的耦合旋转弹性系数Krot=1×10－9N•m/rad，旋转阻尼系数Drot=3.3×10－14N/rad，卫星本体的转动惯量Isc=200kg•m2，质量块的转动惯量Itm=2.667×10－4kg•m2。
仿真结果如图1—图3所示。
图1 卫星本体与质量块的相对位移
图2 卫星本体的姿态
从图1中可以看出，在含有不确定的情况下，通过设计的控制器，卫星本体与质量块的相对位移最终趋于零，说明卫星本体能够很好的跟踪质量块，达到dragfree控制的要求，并且精度在10－6数量级，满足dragfree控制的精度需求。图2~图3给出了卫星本体的姿态以及卫星本体与质量块的相对姿态及其控制精度，仿真结果很好的满足了卫星本体与质量块姿态的一致性。
图3 卫星本体与质量块的相对姿态
5 结 论
本文针对无拖曳卫星控制系统，考虑到系统的不确定性、未建模动态以及外界的未知扰动，采用神经网络的方法进行补偿，基于Lyapunov 稳定性理论，结合自适应反步控制，得到权值的更新律以及相应的控制器。仿真结果表明，所设计的控制器有效地抑制了不确定对控制系统的影响。
与传统卫星控制系统相比，无拖曳卫星对控制系统提出了极高的性能指标要求，下一步将考虑存在耦合时，卫星模型的建立和控制器的设计。
参考文献
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仿真结果如图1—图3所示。
图1 卫星本体与质量块的相对位移
图2 卫星本体的姿态
从图1中可以看出，在含有不确定的情况下，通过设计的控制器，卫星本体与质量块的相对位移最终趋于零，说明卫星本体能够很好的跟踪质量块，达到dragfree控制的要求，并且精度在10－6数量级，满足dragfree控制的精度需求。图2~图3给出了卫星本体的姿态以及卫星本体与质量块的相对姿态及其控制精度，仿真结果很好的满足了卫星本体与质量块姿态的一致性。
图3 卫星本体与质量块的相对姿态
5 结 论
本文针对无拖曳卫星控制系统，考虑到系统的不确定性、未建模动态以及外界的未知扰动，采用神经网络的方法进行补偿，基于Lyapunov 稳定性理论，结合自适应反步控制，得到权值的更新律以及相应的控制器。仿真结果表明，所设计的控制器有效地抑制了不确定对控制系统的影响。
与传统卫星控制系统相比，无拖曳卫星对控制系统提出了极高的性能指标要求，下一步将考虑存在耦合时，卫星模型的建立和控制器的设计。
参考文献
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［12］肖建，张友刚. 线性系统理论［M］. 成都：西南交通大学出版社, 2011:375-378.
仿真结果如图1—图3所示。
图1 卫星本体与质量块的相对位移
图2 卫星本体的姿态
从图1中可以看出，在含有不确定的情况下，通过设计的控制器，卫星本体与质量块的相对位移最终趋于零，说明卫星本体能够很好的跟踪质量块，达到dragfree控制的要求，并且精度在10－6数量级，满足dragfree控制的精度需求。图2~图3给出了卫星本体的姿态以及卫星本体与质量块的相对姿态及其控制精度，仿真结果很好的满足了卫星本体与质量块姿态的一致性。
图3 卫星本体与质量块的相对姿态
5 结 论
本文针对无拖曳卫星控制系统，考虑到系统的不确定性、未建模动态以及外界的未知扰动，采用神经网络的方法进行补偿，基于Lyapunov 稳定性理论，结合自适应反步控制，得到权值的更新律以及相应的控制器。仿真结果表明，所设计的控制器有效地抑制了不确定对控制系统的影响。
与传统卫星控制系统相比，无拖曳卫星对控制系统提出了极高的性能指标要求，下一步将考虑存在耦合时，卫星模型的建立和控制器的设计。
参考文献
［1］ 施梨，曹喜滨，张锦绣，等. 无阻力卫星发展现状［J］. 宇航学报, 2010,31(6):1511-1520.
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［9］ 王玉爽. 无拖曳卫星控制方法研究［D］. 哈尔滨：哈尔滨工业大学, 2011.
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［11］王炜，吴耿锋，张博锋，等. 径向基函数(RBF)神经网络及其应用［J］.地震, 2005,25(2):19-25.
［12］肖建，张友刚. 线性系统理论［M］. 成都：西南交通大学出版社, 2011:375-378.
