浅析线性规划问题

2014-08-07张丽英

读与写·下旬刊 2014年4期

张丽英

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）08-0284-01课改以来，高考比以往更加重视对知识的探究过程，重视知识在现实生活中的应用。线性规划充分体现了数形结合思想，并且广泛应用于生产与营销活动中的最优化问题，因而成为高考的重点、热点。在近年高考中多以选择题、填空题出现。为此，我总结了线性规划常见题型如下：

题型一：求约束条件问题

例：由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式可表示为。

【解析】∵三角形区域在直线x＋y＋2＝0的右上方，又原点在直线x＋y＋2＝0的右上方，且0＋0＋2>0，∴三角形区域在x＋y＋2≥0的区域，

同理可确定三角形区域在x＋2y＋1≤0和2x＋y＋1≤0的区域内．故该平面区域图（1）用不等式表示为x＋y＋2≥0

x＋2y＋1≤0

2x＋y＋1≤0

【点评】给区域求约束条件，注意画法原则应用：以线定界，以点定域，包括边界含等号，不包括边界不含等号。

题型二：求面积与最值（范围）

例：变量x，y满足x－4y＋3≤0，

3x＋5y－25≤0，

x≥1，

（1）画出不等式组表示的平面区域并求面积；

（2））z1=x＋2y的最值;

（3）设z2＝x2＋y2，求z2的取值范围；

（4）z3=|2x+y+2| 的最大值；

（5）设z4＝yx，求z4的最小值；

【解析】（1）、画出x，y满足条件的可行域如图（2）所示，经计算A(1，225)、B（5，2）、C（1，1），由图知三角形ABC的面积即为所求，所求面积为12×175×4=345。

（2）、由z1=x＋2y得y=－12x＋z12由图象可知，z12的几何意义是直线y=－12x＋z12在y轴上的截距，要使z1取得最大值或最小值，只需y=－12x＋z12在y轴上的截距最大或最小。所以当直线y=－12x＋z12经过点A(1，225)、C（1，1）时，z1分别取得最大值495和最小值3。

（3）、z2＝x2＋y2的几何意义是可行域内任一点（x,y）到原点O（0，0）的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.∴2≤z≤29.

（4）z3=|2x+y+2|可看作是行域内任一点（x,y）到直线2x＋y＋2=0的距离的5倍，从而找到离直线最远的点B（5，2）即是取最大值的点，此时的最大值为14。

（5）、∵z4＝yx＝y－0x－0，∴z的值即是可行域中的点x,y）与原点O连线的斜率．

观察图形可知zmin＝kOB＝25

【点评】本题（1）小题是给不等式组求其所表示的平面区域的面积，其余四题是线性目标函数在线性约束条件下的最植问题；解题关键是要准确画出可行域、充分理解目标函数的几何意义：（2）直线的截距（3）两点间距离（或平方）（4）点到直线的距离（5）过已知直线两点的斜率。解题时注意数形结合的应用。

题型三：求参数的取值问题

已知目标函数的最值求约束条件或目标函数中参数的取值问题

例：（1）.若x，y满足约束条件x＋y≥1，

x－y≥－1

2x－y≤2，，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是．

【解析】画出可行域如图（3），目标函数可化为y＝－ a2x＋12z，根据图象判断，当目标函数的斜率－1<－a2<2时，目标函数z＝ax ＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，这时a的取值范围是(－4,2)．

答案 (－4,2)