函数那些事

张静

重要数学概念的产生与发展，对数学的发展都起着非常重要的作用，我们已经学过一次函数和反比例函数，其中所涉及的“函数”就是数学中十分重要的概念之一.

函数在我们生活中无处不在，大自然造物主也经常给我们创造出许多许多优美的图形，它们和函数图像常常会不谋而合.

那么函数是怎样产生与发展起来的呢？让我们来了解一下函数的来源与发展和数学家们有趣的故事吧!这样我们就可以加深对函数的理解，激发对数学的兴趣，改变普遍认为的数学是枯燥无味的看法.

在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域，最早提出函数概念的是17世纪德国数学家莱布尼茨，之后在欧拉、柯西、狄利克雷等数学家的努力钻研下不断完善. 早期的函数概念是几何观念下的函数：早在14世纪，法国数学家奥莱斯姆就使用图形表示随时间t而变的x，并把“t”与“x”分别表示“经度”与“纬度”. 这一思想很快被开普勒和伽利略应用于天体研究中. 但是很长一段时间数学家都没有明确函数的一般意义，当时绝大部分函数是被当做曲线来研究的.

到18世纪，函数概念发展为代数观念下的函数：1718年贝努利对函数进行了明确的定义：“由某一变量及任意的一个常数结合而成的数量”. 意思是凡变量和常量构成的式子都叫做函数. 他所强调的函数要用公式来表示. 但是后来有的数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上，例如，18世纪中叶欧拉就认为“函数是随意画出的一条曲线”. 当时有些数学家对于不用公式来表示函数还不是很习惯，这其中也有许多怀疑态度与争论.

19世纪函数的概念就演变为对应关系下的函数：1822年傅里叶发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次. 1837年狄利克雷拓广了函数概念，指出“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数”. 这个定义抓住了函数的本质属性，为理论研究和实际应用提供了方便.

现代函数的概念则是集合论下的函数，即用集合对应关系来定义函数概念，人们把函数的概念提升到了更抽象的层次. 这一层次的函数概念在初中学习阶段不会遇到，这一概念将在高中阶段的学习中涉及.

函数概念的定义凝聚了无数数学家奋斗的心血，经过多年的探索形成了今天的定义，但是这就意味着函数不需要发展了吗？当然不是，世界是神秘的、丰富多彩的，更多精彩的东西等着我们去发现呢，所以我们仍需努力学习，具有刻苦钻研的精神，将函数继续扩展起来.

（作者单位：扬州大学数学科学学院）