展示建模过程 建立符号意识

万兆荣

所谓符号意识就是有意识地运用恰当的符号去表述研究对象，以达到清晰、准确、简洁地表达思想、概念、方法和逻辑关系的目的。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式，有利于学生运用符号表征解决实际问题。本文以苏教版《用字母表示数》一课教学为例，谈谈如何有效引导学生建立符号意识。

一、 唤醒“经验”——建立符号意识的基础

案例：

师：（课件展示同花色的一组扑克牌）一幅扑克牌中同一种花色的牌有多少张？

生：13张。

师：（扑克牌背面朝上）下面请任意抽取3张牌，算“24点”好吗？

生：抽出 2、3、4。

生1:（2×3）×4=24 （2×4）×3=24

生：再抽出K、A、2。

师：出现字母A、K，现在还能算出24点吗？

生2：把字母A看成1、K看成13，就可以算了。

生3：（13-1）×2=24

师：这里的A、K还能表示别的数字吗？为什么？

生4：不能，A的扑克上只有1点，可以代表数字1，扑克牌中10的后面还有J、Q，那么k就表示13点。

师：扑克牌中的字母表示一个确定的数，那么字母在数学中会表示一个怎样的数呢？

……

这里创设算“二十四点”的数学问题情境，激活了学生已有的字母表示数的基本经验，字母“k、A”的巧妙渗透，不是字母的生活再现，而是贴近用字母表示数的数学本质。在“算”的过程中既调动了学生的参与热情，又引发学生对字母表示数的迫切需要；在“辩”的过程中让学生体会到字母表示数的确定性，在字母表示数的新意义和旧经验之间进行了“桥接”，感受到字母表示数存在的现实意义与价值，由对符号的陌生感、排斥感逐步转变成为认同感、亲切感，从而促进学生符号化意识的发展。

二、 感悟“过程”——建立符号意识的关键

案例：

师：明明在电脑上玩扑克牌游戏，不小心按了红桃3的复制键，瞧！（课件逐步呈现复制过程的情境图，如图1）

师：明明究竟复制了多少张红桃3呢？这时红心的总颗数是多少呢？

生：不知道，不能确定。

师：任意猜可能是复制了多少张，红心的总数是多少？

生1：可能8张，8×3＝24（个）。

生2：可能是10张，10×3＝30（个）。

师：大家怎样算出红心的总数的？

生：牌的张数×3＝红心的总颗数

师：要想一次猜对，用怎样的式子来概括图中的情况？（小组内交流并完成下表）

学生汇报想法：

（1）无数张牌，无数×3 （2）？张，？×3

（3）a张，a×3

……

师：这些表示方法有什么异同？

生：文字、问号、字母都能表示牌的张数，因为每张牌中红心的个数都是3，所以求总数都要乘3。

师：你喜欢哪种表示方法？为什么？

生：a×3，用字母a代表一个数，看起来很清楚、很简单。

师：字母a究竟能表示多少，和3有什么不同?

生1：a是个未知的数，可以是任意一个自然数，3不能变，只能表示1张牌有3颗红心。

生2：a表示不断变化的数，3表示确定的数。

师：字母表示数的大小一旦确定，a×3就有一个对应的数量，且关系始终不变，数学中蕴藏着很多这样变与不变的关系。

……

数学正是因为其符号的简练性和抽象性才显示出其美丽。这里让学生经历“具体事物→个性化的符号表示→学会数学的表示”的符号化表征过程。第一个环节创设了学生熟悉的“复制扑克牌”的游戏情境，引发学生思考“用怎样的式子来表示图中的情况？”问题引出学生对新知的好奇和探究的欲望，猜数活动激活了学生积极的情感体验，由“算术语言”向“代数语言”自然过渡，促进学生逐步构建模型。从现实问题到数学模型是一个“数学化”、“形式化”的过程，从模型返回到实际也是一个“寻找意义”的过程。第二个环节在小组合作交流中，由“形”到“象”的自然过渡，暴露了学生原有的思维，经历把知识符号化的过程，强化了学生的符号化体验，体会到用字母表示数的概括性和简洁性。第三个环节由“这里a和3有什么不同?”深度追问，使学生深刻理解用字母表示数、数量关系的内涵, 体验用符号表征问题的必要性和优越性,有利于学生建立符号意识。

三、 体验“内涵”——建立符号意识的核心

案例：

师：明明和妹妹玩摸牌比大小的游戏，谁摸的牌大？（课件出示：明明的牌是x.妹妹的牌是x+4）

生：妹妹的大，大4点。

师：你是怎样看出来的。

生：x表示明明的牌，x+4也就是妹妹的牌比明明的牌多4。

师：明明摸的牌可能是多少？

生1：可能是4。

生2：可能是7。

生3：可能是1到9，最大只能是9，因为扑克牌最多是13点，所以x不能超过9。

师：试着说出一道含有字母的式子用来表示妹妹的牌，并说明两者摸牌的数量关系？

生1：x-4 ，妹妹的比明明的小4，明明最少要是5。

生2：x×4，妹妹的是明明的4倍，明明只能是1、2、3。

……

教学首先从“x”与“x+4”大小比较开始，引发了学生的认知冲突，让学生利用已有的经验对“牌的点数”进行猜测，作出合理的判断，当学生判断出x可能是1到9中的任意数字时，已经超出了单纯感悟的范围，表现为学生的自觉认识，进一步强化了其对数量之间关系的理解，能够深刻感悟到字母表示数是在不断的变化中,因而用字母来概括地表示它。其次，教学遵循儿童已有的“+4”算式思想，引导学生自觉列举形如“x-4”、“x×4”等字母表示的式子，体会到字母可以参与多种运算，加深学生对“用含有字母的式子表示数、表示数量关系”的体验和感悟，在寻找意义的过程中充分感受到数学表达方式的严谨性。

四、 理解“价值”——建立符号意识的归宿

案例：

（课件呈现：明明带了x元钱去文具店买学习用品，钢笔每支a元，要买3支钢笔。）

师：请根据上述信息写出几个含有字母的式子，并说明式子所表示的意思。

生1：3a表示买3支钢笔一共多少元。

生2：x-3a表示买了3支钢笔后还剩多少元钱？

生3：x÷a表示明明带的钱可以买几支钢笔。

师：刚才的3a表示红心的总数，这里的3a表示钢笔的总价，你觉得3a在生活中可以表示哪些具体的问题？

生1：1本书的单价是a元，3本书的总价是3a元。

生2：1个西瓜重a千克，3个西瓜的总重是3a千克。

生3：1天做3道题目，a天一共做了3a道题。

师：明明带的钱一定够吗？

生：如果x大于3a就可以，如果不够就把题目改成3a-x，这样就可以表示还差多少元？

师：当x=20，a=6时，钱够吗？

……

只有联系“ 代数思想”去进行分析思考，才能更好地理解与把握“符号意识”的内涵与作用。这里围绕学生熟悉的开放问题进行数学模型的应用，理解“字母表示数”由抽象化到一般化的转变，实现固定值转变到非固定值的意义上来了，既巩固了用字母表示数的认识，又是用字母表示数的练习和数学模型在日常生活中的应用，渗透了求代数式的值的运算方法，使学生理解字母作为不定元参与数学运算，为中学学习代数运算起到孕伏作用，让学生感受到数学模型的概括性和应用的广泛性。

总之，符号意识的形成不是一蹴而就的，要基于学生已有的活动经验，尊重学生的认识规律，精心选择课程资源，凸显情境化教育价值；要遵循从简单到复杂、从具体到抽象的规律，让学生经历“形象—抽象—符号”的符号化过程，获得用字母进行数学表达与思考的体验；要着力于字母表示数的动态形成过程，着眼于字母表示数量关系的分析解读过程，深刻理解符号的内涵，积极促进学生思维的抽象化发展。

【责任编辑：陈国庆】

所谓符号意识就是有意识地运用恰当的符号去表述研究对象，以达到清晰、准确、简洁地表达思想、概念、方法和逻辑关系的目的。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式，有利于学生运用符号表征解决实际问题。本文以苏教版《用字母表示数》一课教学为例，谈谈如何有效引导学生建立符号意识。

一、 唤醒“经验”——建立符号意识的基础

案例：

师：（课件展示同花色的一组扑克牌）一幅扑克牌中同一种花色的牌有多少张？

生：13张。

师：（扑克牌背面朝上）下面请任意抽取3张牌，算“24点”好吗？

生：抽出 2、3、4。

生1:（2×3）×4=24 （2×4）×3=24

生：再抽出K、A、2。

师：出现字母A、K，现在还能算出24点吗？

生2：把字母A看成1、K看成13，就可以算了。

生3：（13-1）×2=24

师：这里的A、K还能表示别的数字吗？为什么？

生4：不能，A的扑克上只有1点，可以代表数字1，扑克牌中10的后面还有J、Q，那么k就表示13点。

师：扑克牌中的字母表示一个确定的数，那么字母在数学中会表示一个怎样的数呢？

……

这里创设算“二十四点”的数学问题情境，激活了学生已有的字母表示数的基本经验，字母“k、A”的巧妙渗透，不是字母的生活再现，而是贴近用字母表示数的数学本质。在“算”的过程中既调动了学生的参与热情，又引发学生对字母表示数的迫切需要；在“辩”的过程中让学生体会到字母表示数的确定性，在字母表示数的新意义和旧经验之间进行了“桥接”，感受到字母表示数存在的现实意义与价值，由对符号的陌生感、排斥感逐步转变成为认同感、亲切感，从而促进学生符号化意识的发展。

二、 感悟“过程”——建立符号意识的关键

案例：

师：明明在电脑上玩扑克牌游戏，不小心按了红桃3的复制键，瞧！（课件逐步呈现复制过程的情境图，如图1）

师：明明究竟复制了多少张红桃3呢？这时红心的总颗数是多少呢？

生：不知道，不能确定。

师：任意猜可能是复制了多少张，红心的总数是多少？

生1：可能8张，8×3＝24（个）。

生2：可能是10张，10×3＝30（个）。

师：大家怎样算出红心的总数的？

生：牌的张数×3＝红心的总颗数

师：要想一次猜对，用怎样的式子来概括图中的情况？（小组内交流并完成下表）

学生汇报想法：

（1）无数张牌，无数×3 （2）？张，？×3

（3）a张，a×3

……

师：这些表示方法有什么异同？

生：文字、问号、字母都能表示牌的张数，因为每张牌中红心的个数都是3，所以求总数都要乘3。

师：你喜欢哪种表示方法？为什么？

生：a×3，用字母a代表一个数，看起来很清楚、很简单。

师：字母a究竟能表示多少，和3有什么不同?

生1：a是个未知的数，可以是任意一个自然数，3不能变，只能表示1张牌有3颗红心。

生2：a表示不断变化的数，3表示确定的数。

师：字母表示数的大小一旦确定，a×3就有一个对应的数量，且关系始终不变，数学中蕴藏着很多这样变与不变的关系。

……

数学正是因为其符号的简练性和抽象性才显示出其美丽。这里让学生经历“具体事物→个性化的符号表示→学会数学的表示”的符号化表征过程。第一个环节创设了学生熟悉的“复制扑克牌”的游戏情境，引发学生思考“用怎样的式子来表示图中的情况？”问题引出学生对新知的好奇和探究的欲望，猜数活动激活了学生积极的情感体验，由“算术语言”向“代数语言”自然过渡，促进学生逐步构建模型。从现实问题到数学模型是一个“数学化”、“形式化”的过程，从模型返回到实际也是一个“寻找意义”的过程。第二个环节在小组合作交流中，由“形”到“象”的自然过渡，暴露了学生原有的思维，经历把知识符号化的过程，强化了学生的符号化体验，体会到用字母表示数的概括性和简洁性。第三个环节由“这里a和3有什么不同?”深度追问，使学生深刻理解用字母表示数、数量关系的内涵, 体验用符号表征问题的必要性和优越性,有利于学生建立符号意识。

三、 体验“内涵”——建立符号意识的核心

案例：

师：明明和妹妹玩摸牌比大小的游戏，谁摸的牌大？（课件出示：明明的牌是x.妹妹的牌是x+4）

生：妹妹的大，大4点。

师：你是怎样看出来的。

生：x表示明明的牌，x+4也就是妹妹的牌比明明的牌多4。

师：明明摸的牌可能是多少？

生1：可能是4。

生2：可能是7。

生3：可能是1到9，最大只能是9，因为扑克牌最多是13点，所以x不能超过9。

师：试着说出一道含有字母的式子用来表示妹妹的牌，并说明两者摸牌的数量关系？

生1：x-4 ，妹妹的比明明的小4，明明最少要是5。

生2：x×4，妹妹的是明明的4倍，明明只能是1、2、3。

……

教学首先从“x”与“x+4”大小比较开始，引发了学生的认知冲突，让学生利用已有的经验对“牌的点数”进行猜测，作出合理的判断，当学生判断出x可能是1到9中的任意数字时，已经超出了单纯感悟的范围，表现为学生的自觉认识，进一步强化了其对数量之间关系的理解，能够深刻感悟到字母表示数是在不断的变化中,因而用字母来概括地表示它。其次，教学遵循儿童已有的“+4”算式思想，引导学生自觉列举形如“x-4”、“x×4”等字母表示的式子，体会到字母可以参与多种运算，加深学生对“用含有字母的式子表示数、表示数量关系”的体验和感悟，在寻找意义的过程中充分感受到数学表达方式的严谨性。

四、 理解“价值”——建立符号意识的归宿

案例：

（课件呈现：明明带了x元钱去文具店买学习用品，钢笔每支a元，要买3支钢笔。）

师：请根据上述信息写出几个含有字母的式子，并说明式子所表示的意思。

生1：3a表示买3支钢笔一共多少元。

生2：x-3a表示买了3支钢笔后还剩多少元钱？

生3：x÷a表示明明带的钱可以买几支钢笔。

师：刚才的3a表示红心的总数，这里的3a表示钢笔的总价，你觉得3a在生活中可以表示哪些具体的问题？

生1：1本书的单价是a元，3本书的总价是3a元。

生2：1个西瓜重a千克，3个西瓜的总重是3a千克。

生3：1天做3道题目，a天一共做了3a道题。

师：明明带的钱一定够吗？

生：如果x大于3a就可以，如果不够就把题目改成3a-x，这样就可以表示还差多少元？

师：当x=20，a=6时，钱够吗？

……

只有联系“ 代数思想”去进行分析思考，才能更好地理解与把握“符号意识”的内涵与作用。这里围绕学生熟悉的开放问题进行数学模型的应用，理解“字母表示数”由抽象化到一般化的转变，实现固定值转变到非固定值的意义上来了，既巩固了用字母表示数的认识，又是用字母表示数的练习和数学模型在日常生活中的应用，渗透了求代数式的值的运算方法，使学生理解字母作为不定元参与数学运算，为中学学习代数运算起到孕伏作用，让学生感受到数学模型的概括性和应用的广泛性。

总之，符号意识的形成不是一蹴而就的，要基于学生已有的活动经验，尊重学生的认识规律，精心选择课程资源，凸显情境化教育价值；要遵循从简单到复杂、从具体到抽象的规律，让学生经历“形象—抽象—符号”的符号化过程，获得用字母进行数学表达与思考的体验；要着力于字母表示数的动态形成过程，着眼于字母表示数量关系的分析解读过程，深刻理解符号的内涵，积极促进学生思维的抽象化发展。

【责任编辑：陈国庆】

所谓符号意识就是有意识地运用恰当的符号去表述研究对象，以达到清晰、准确、简洁地表达思想、概念、方法和逻辑关系的目的。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式，有利于学生运用符号表征解决实际问题。本文以苏教版《用字母表示数》一课教学为例，谈谈如何有效引导学生建立符号意识。

一、 唤醒“经验”——建立符号意识的基础

案例：

师：（课件展示同花色的一组扑克牌）一幅扑克牌中同一种花色的牌有多少张？

生：13张。

师：（扑克牌背面朝上）下面请任意抽取3张牌，算“24点”好吗？

生：抽出 2、3、4。

生1:（2×3）×4=24 （2×4）×3=24

生：再抽出K、A、2。

师：出现字母A、K，现在还能算出24点吗？

生2：把字母A看成1、K看成13，就可以算了。

生3：（13-1）×2=24

师：这里的A、K还能表示别的数字吗？为什么？

生4：不能，A的扑克上只有1点，可以代表数字1，扑克牌中10的后面还有J、Q，那么k就表示13点。

师：扑克牌中的字母表示一个确定的数，那么字母在数学中会表示一个怎样的数呢？

……

这里创设算“二十四点”的数学问题情境，激活了学生已有的字母表示数的基本经验，字母“k、A”的巧妙渗透，不是字母的生活再现，而是贴近用字母表示数的数学本质。在“算”的过程中既调动了学生的参与热情，又引发学生对字母表示数的迫切需要；在“辩”的过程中让学生体会到字母表示数的确定性，在字母表示数的新意义和旧经验之间进行了“桥接”，感受到字母表示数存在的现实意义与价值，由对符号的陌生感、排斥感逐步转变成为认同感、亲切感，从而促进学生符号化意识的发展。

二、 感悟“过程”——建立符号意识的关键

案例：

师：明明在电脑上玩扑克牌游戏，不小心按了红桃3的复制键，瞧！（课件逐步呈现复制过程的情境图，如图1）

师：明明究竟复制了多少张红桃3呢？这时红心的总颗数是多少呢？

生：不知道，不能确定。

师：任意猜可能是复制了多少张，红心的总数是多少？

生1：可能8张，8×3＝24（个）。

生2：可能是10张，10×3＝30（个）。

师：大家怎样算出红心的总数的？

生：牌的张数×3＝红心的总颗数

师：要想一次猜对，用怎样的式子来概括图中的情况？（小组内交流并完成下表）

学生汇报想法：

（1）无数张牌，无数×3 （2）？张，？×3

（3）a张，a×3

……

师：这些表示方法有什么异同？

生：文字、问号、字母都能表示牌的张数，因为每张牌中红心的个数都是3，所以求总数都要乘3。

师：你喜欢哪种表示方法？为什么？

生：a×3，用字母a代表一个数，看起来很清楚、很简单。

师：字母a究竟能表示多少，和3有什么不同?

生1：a是个未知的数，可以是任意一个自然数，3不能变，只能表示1张牌有3颗红心。

生2：a表示不断变化的数，3表示确定的数。

师：字母表示数的大小一旦确定，a×3就有一个对应的数量，且关系始终不变，数学中蕴藏着很多这样变与不变的关系。

……

数学正是因为其符号的简练性和抽象性才显示出其美丽。这里让学生经历“具体事物→个性化的符号表示→学会数学的表示”的符号化表征过程。第一个环节创设了学生熟悉的“复制扑克牌”的游戏情境，引发学生思考“用怎样的式子来表示图中的情况？”问题引出学生对新知的好奇和探究的欲望，猜数活动激活了学生积极的情感体验，由“算术语言”向“代数语言”自然过渡，促进学生逐步构建模型。从现实问题到数学模型是一个“数学化”、“形式化”的过程，从模型返回到实际也是一个“寻找意义”的过程。第二个环节在小组合作交流中，由“形”到“象”的自然过渡，暴露了学生原有的思维，经历把知识符号化的过程，强化了学生的符号化体验，体会到用字母表示数的概括性和简洁性。第三个环节由“这里a和3有什么不同?”深度追问，使学生深刻理解用字母表示数、数量关系的内涵, 体验用符号表征问题的必要性和优越性,有利于学生建立符号意识。

三、 体验“内涵”——建立符号意识的核心

案例：

师：明明和妹妹玩摸牌比大小的游戏，谁摸的牌大？（课件出示：明明的牌是x.妹妹的牌是x+4）

生：妹妹的大，大4点。

师：你是怎样看出来的。

生：x表示明明的牌，x+4也就是妹妹的牌比明明的牌多4。

师：明明摸的牌可能是多少？

生1：可能是4。

生2：可能是7。

生3：可能是1到9，最大只能是9，因为扑克牌最多是13点，所以x不能超过9。

师：试着说出一道含有字母的式子用来表示妹妹的牌，并说明两者摸牌的数量关系？

生1：x-4 ，妹妹的比明明的小4，明明最少要是5。

生2：x×4，妹妹的是明明的4倍，明明只能是1、2、3。

……

教学首先从“x”与“x+4”大小比较开始，引发了学生的认知冲突，让学生利用已有的经验对“牌的点数”进行猜测，作出合理的判断，当学生判断出x可能是1到9中的任意数字时，已经超出了单纯感悟的范围，表现为学生的自觉认识，进一步强化了其对数量之间关系的理解，能够深刻感悟到字母表示数是在不断的变化中,因而用字母来概括地表示它。其次，教学遵循儿童已有的“+4”算式思想，引导学生自觉列举形如“x-4”、“x×4”等字母表示的式子，体会到字母可以参与多种运算，加深学生对“用含有字母的式子表示数、表示数量关系”的体验和感悟，在寻找意义的过程中充分感受到数学表达方式的严谨性。

四、 理解“价值”——建立符号意识的归宿

案例：

（课件呈现：明明带了x元钱去文具店买学习用品，钢笔每支a元，要买3支钢笔。）

师：请根据上述信息写出几个含有字母的式子，并说明式子所表示的意思。

生1：3a表示买3支钢笔一共多少元。

生2：x-3a表示买了3支钢笔后还剩多少元钱？

生3：x÷a表示明明带的钱可以买几支钢笔。

师：刚才的3a表示红心的总数，这里的3a表示钢笔的总价，你觉得3a在生活中可以表示哪些具体的问题？

生1：1本书的单价是a元，3本书的总价是3a元。

生2：1个西瓜重a千克，3个西瓜的总重是3a千克。

生3：1天做3道题目，a天一共做了3a道题。

师：明明带的钱一定够吗？

生：如果x大于3a就可以，如果不够就把题目改成3a-x，这样就可以表示还差多少元？

师：当x=20，a=6时，钱够吗？

……

只有联系“ 代数思想”去进行分析思考，才能更好地理解与把握“符号意识”的内涵与作用。这里围绕学生熟悉的开放问题进行数学模型的应用，理解“字母表示数”由抽象化到一般化的转变，实现固定值转变到非固定值的意义上来了，既巩固了用字母表示数的认识，又是用字母表示数的练习和数学模型在日常生活中的应用，渗透了求代数式的值的运算方法，使学生理解字母作为不定元参与数学运算，为中学学习代数运算起到孕伏作用，让学生感受到数学模型的概括性和应用的广泛性。

总之，符号意识的形成不是一蹴而就的，要基于学生已有的活动经验，尊重学生的认识规律，精心选择课程资源，凸显情境化教育价值；要遵循从简单到复杂、从具体到抽象的规律，让学生经历“形象—抽象—符号”的符号化过程，获得用字母进行数学表达与思考的体验；要着力于字母表示数的动态形成过程，着眼于字母表示数量关系的分析解读过程，深刻理解符号的内涵，积极促进学生思维的抽象化发展。

【责任编辑：陈国庆】