基于区间直觉模糊集的Sinarchy超矩阵构造方法改进

谢 晖，段万春，孙永河，孙新乐

昆明理工大学 管理与经济学院，昆明 650093

基于区间直觉模糊集的Sinarchy超矩阵构造方法改进

谢 晖，段万春，孙永河，孙新乐

昆明理工大学 管理与经济学院，昆明 650093

1 引言

美国运筹学家Saaty教授在层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）的基础上提出了网络分析法（Analytic Network Process，ANP）[1-2]，该方法通过构造系统要素间相互联系的影响超矩阵并对其求极限，从而得到被评价对象的极限影响排序（Limiting Influence Priorities，LIP），进而找出最优备选方案。作为一种能够科学、合理地反映社会经济系统中元素复杂关联关系的评价与决策工具，ANP以其全面性、精准性等优势受到了国内外诸多学者的关注并被广泛应用于各个领域。如 Petri、Sheeba、Hakyeon Lee、孙宏才等人分别将ANP应用到ERP的实施、城市固体废弃物的优化处置、绩效评估最优模型、应急桥梁设计等众多决策问题中[3-6]；文献[7-9]从方案保序、判断矩阵一致性、标度范围等方面对AHP/ANP的内在机理做了深入的探讨。从现有文献研究成果来看，大多数学者更侧重于ANP传统方法的应用及方法组合研究，对其理论与方法上的创新性突破的研究则是从还原论的思维出发对其局部的缺陷予以改进。值得一提的是国内学者李春好教授等针对ANP内部独立循环型系统（CSII）中方案对目标的影响矩阵（IMAG）的构造所做的改进[10]，以及学者孙永河基于非线性复杂系统观对ANP传统结构重新划分，并针对CSII与HSICD两种典型的ANP系统进行的研究[11]，表明了国内学者已经开始从系统整体性思维与复杂性思维出发，对传统ANP超矩阵的构造方法重新梳理并针对其固有的重大缺陷进一步改进与完善。

Sinarchy结构（最下面两层带反馈关系的递阶系统结构）是Saaty教授于2001年对ANP系统结构重新划分的五种基本结构之一，Sinarchy超矩阵的构造过程中针对方案对准则的影响矩阵（Influence Matrix of Alternatives to Criterions，IMAC）的构造采取了和其他子矩阵完全相同的构造方式。如上所述传统ANP中超矩阵的构造是基于西方哲学还原论思维模式，即将整体分解为部分，高层次还原为低层次，并由大到小、由浅入深地认识事物的过程，而IMAC的构造是基于方案对准则的判断，是立足于部分对上层整体、由具体到抽象的认知判断过程。而人固有的思维模式导致判断本身就具有高度不确定性，对复杂系统中的整体行为认知更为有限，传统的点估计值很难反映出专家对决策问题的准确评价，从而导致最终的决策效果大打折扣。因此，本文在钱学森提出的第三代系统思想——综合集成法指导思想的前提下，认为在IMAC矩阵构造中以区间直觉模糊数反映专家对各元素的偏好能够更有效地克服点估计值带来的高度不确定性。下文以Sinarchy系统作为研究对象，在分析传统ANP中对IMAC矩阵构造缺陷的基础上，提出了一种基于区间直觉模糊集的Sinarchy超矩阵改进方法。

2 Sinarchy超矩阵传统构造方法及其缺陷分析

传统ANP的分析方法首先根据社会经济系统中的决策问题构造ANP模型：按照属性划分为各个元素集，包括目标集(GC)、准则集(CC)以及方案集(AC)，其中准则集又可根据实际需要分解为多个子准则集(CC1，CC2，…，CCZ)。根据复杂系统理论，ANP元素集之间、元素集内部各元素之间、不同元素集的各元素之间都可能存在复杂的关联关系，如内部依存性、外部依存性、反馈关系、循环关系等。Sinarchy结构是ANP系统结构中一种特殊的结构：除最后一层方案集元素内部依赖外，其余各元素集内部元素之间相互独立，最下面两层元素集之间形成反馈的递阶层次结构，可表示为“GC→CC1→…→CCZ↔AC”，具体如图1所示。

参照图1所示的系统结构图，传统ANP给出的解决方案主要步骤如下[12]。

图1 Sinarchy系统结构图[1]

（1）以目标集中的元素 gi(i=1，2，…，n)为控制准则，将下一层准则集中的所有元素c11，c12，…，c1m分别基于gi进行两两比较，形成目标集元素影响下的两两比较判断矩阵。

（2）按照传统AHP/ANP给出的判断矩阵处理方法（最小二乘法、特征根法等）计算各准则 c11，c12，…，c1m对于控制准则gi的单排序权重向量并对矩阵进行一致性检验。

（4）根据以上步骤依次构造出上层元素集对下层元素集（即准则集对子准则集、子准则集对下层子准则集、…、最底层准则集对方案集）的影响矩阵，方案集的元素内部依赖矩阵，最后构造出方案集对上一层子准则集的影响矩阵，分别记为W32，W43，…，WZ，Z-1，I及WZ-1，Z。根据Sinarchy系统结构可知，其他元素集内部元素彼此相互独立、元素集之间不存在直接影响关系，记它们之间的影响子矩阵为零矩阵。由此构造出Sinarchy系统的超矩阵如式（2）所示。

据式（2）可以看出，子矩阵WZ-1，Z的构造是由专家基于方案集对上一层准则集的相对重要性进行判断。WZ-1，Z若完全按照传统ANP基于还原论的指导思想采用点估计值的方式进行构造，则会使其构造过程中出现较大的逻辑判断困难。准则集往往会受到上层目标集、下层方案集等各层元素的双重影响和综合作用，所呈现的特征并非是还原论中整体等于部分之和的简单线性相加，因而会表现出多样化、复杂性的特质，故专家判断应是基于方案集中元素之间涌现效应而进行的整体认知。由于固有思维模式的限制，决策者对整体行为的准确认知与局部认知相比较显得更为困难。通常点估计值过于确定性的判断更适合于以局部精确性见长的还原论分析方式，在以关注整体性为主要思路的WZ-1，Z子矩阵的构造中若采用同样的测度方式反而会使决策专家的判断出现更大的偏差，使决策效果不够理想。若单从整体论的研究视角出发，其分析方式往往以模糊信息与宏观分析见长，对决策问题的判断更多依赖于经验与直觉，具有高度的主观性、不确定性与模糊性[13]，如将ANP中所有的判断都以模糊信息予以表达，又会使决策的精确性与科学性受到一定程度的质疑。

3 新方法构建思路及预备知识

3.1 整体论与还原论相结合的构建思路

AHP/ANP将复杂问题按其内在规律分解为若干元素，再将这些元素依据其支配关系及属性特征形成不同的层次或网络结构，接下来由专家通过主观偏好的判断采用两两比较法确定决策方案的相对重要性，最后通过定量的数学方法再将专家给出的判断信息予以集成从而反映出每个决策方案的重要性排序。其整个决策过程体现了人的决策思维的基本过程——基于还原论的分析过程，即将整体分解为部分、高层次还原为低层次，把各部分、各层次认识清楚之后，将部分之和线性累加为整体。事实上，复杂性科学指出，社会经济复杂系统具有非线性、层次性、开放性、涌现性等特征[14]，而AHP/ ANP的研究范式未能完整、如实地反映出复杂问题的整体性、过程性与复杂性，简化过程也丢失了局部原有的特征与属性，尤其是当各层次元素的非线性作用产生部分之和大于整体的涌现效应时，必须要重新思考AHP/ ANP问题的研究思路。与西方哲学相对应的中国古典自然哲学的主流思想——整体论则是从宏观的角度来认识系统的功能（系统内部各要素的相互联系与作用决定其宏观性质），能够克服还原论中只见树木、不见森林的不足，也为AHP/ANP基于部分认知整体提供了新的研究视角。但整体论往往借助模糊信息的方法来认识系统功能，更多依赖于决策者的直觉、经验判断，导致主观性较强，缺乏微观精确性，难以对系统结构有深刻的把握，因而又需要还原论的局部精确分析进一步完善对复杂问题的全面认知。

为此，钱学森提出了使用“从定性到定量的综合集成法”，即在诉诸专家实践经验的基础上，通过数学建模实现定量的认识，并借助于计算机同时发挥机器与人脑共同的智慧[15]。因此，在AHP/ANP的进一步深入研究探讨的过程中，应当在综合集成法思想的指导下，实现还原论与整体论的统一与融合，形成真正适应AHP/ ANP系统复杂性的科学方法。因此，下文所提出的基于区间直觉模糊信息的超矩阵改造方法，保留原有基于上层元素集（整体）对下层元素集（部分）的影响子矩阵构造中使用点估计值的判断方法，而在基于方案集（部分）对上一层准则集（整体）进行认知判断时，摒弃原先采用的点估计值，引入区间直觉模糊数表达专家偏好，一方面克服判断的不精确性，另一方面也更加符合复杂性科学的逻辑思维。两种方法的结合使用既能合理地反映出决策背景与决策问题的复杂性带给专家个人主观判断的模糊性与不确定，又能客观地体现出决策的科学性与严谨性。

3.2 区间直觉模糊集相关知识

决策是建立在人类认识与活动的基础上对事物的评价与选择，涉及到人的主观偏好、实践经验、知识背景等各种元素，而这些元素本身具有模糊特征，导致人的决策行为同样表现出高度的不确定性与模糊性。因此Zadeh提出了模糊集理论予以反映人类在决策过程中产生的模糊性，其主要思想是给每个对象赋予一个0～1之间的数作为该对象的隶属度[16]。然而当需要表述既不支持也不反对该对象的特征时，传统模糊集便无法完整地表达出决策问题的全部信息而受到制约。1986年保加利亚学者Atanassov对传统的模糊集进行了拓展，从仅考虑隶属度拓展为同时考虑隶属度、非隶属度和犹豫度三方面信息，提出了直觉模糊集的概念，由于直觉模糊集在处理模糊性和不确定性方面更具灵活性和实用性而得到了广泛的应用[17]。然而，在实际应用过程中，精确的实数有时也难以表达隶属度、非隶属度与犹豫度的准确程度，于是1989年Atanassov再次将直觉模糊集推广，提出了采用区间隶属度表达直觉模糊集更为合适，并明确定义了区间直觉模糊集的概念，给出了相关的运算法则[18]。

4 基于区间直觉模糊的Sinarchy超矩阵构造改进方法

依据上述理论思想，下文给出一种基于区间直觉模糊的Sinarchy超矩阵构造方法，具体步骤如下。

步骤1构造各层元素集基于上层准则集的影响子矩阵。如目标集对准则集的影响子矩阵W；上一层准则集对下层子准则集的影响子矩阵W、W、…；以及最后一层子准则集对方案集的影响子矩阵。构造方法仍为传统ANP矩阵的构造方法，即首先由专家给出基于上层控制准则的元素相对重要性的两两比较判断矩阵，测度标准仍为点估计值。

步骤2依据给出的判断矩阵按照常规的矩阵判断处理方式（特征根法等）依次计算出单准则下的权重向量。以为例，各准则单排序权重向量为则影响子矩阵如式（5）所示：

步骤4将式（4）代入式（6）计算每个区间模糊数的精确函数，将其转化为实数矩阵。接下来依据步骤2依次计算在控制准则（方案）ai(i=1，2，…，l)下的各准则单排序权重向量为据此构造出子矩阵如式（7）所示。

步骤5各影响子矩阵共同构成Sinarchy未加权超矩阵W'，如式（2）所示。

步骤6构造加权矩阵 A，并基于构造出的加权矩阵求出加权超矩阵-W'。分别将每个元素集作为一个控制元素，对其他元素集进行两两比较，构造出相应的加权矩阵A，并求出加权超矩阵-W'如式（8）、（9）所示。

步骤7基于加权超矩阵求其极限超矩阵，得到方案最终排序。求的t次幂，直到该矩阵达到稳定状态，即可得出各方案的极限相对排序。

5 算例分析

为验证上述方法的有效性和可行性，下文给出一个例子对上述超矩阵构造改进方法予以具体运算说明。这个实例是K大学G学院进行工商管理硕士研究生的复试审核，共有三个人通过初试。三个候选人（视为方案集）记作 a1，a2，a3；审核的目标（即目标元素集）为合格与不合格，分别用g1，g2予以表示；审核标准（即准则集）有三方面：专业知识、综合素质、英语技能，记为c1，c2，c3。该实例的系统结构图如图2所示。

首先按照ANP方法，依据上述改进方法的步骤1、2请专家分别基于目标集元素与准则集元素对因素间的相对重要性进行两两比较判断，构造影响子矩阵

表1 判断矩阵D1

表2 判断矩阵D2

表3 判断矩阵D3

图2 候选人复试问题的系统网络结构

根据上述判断矩阵 D1，D2，D3依次计算在 a1，a2，a3下的单准则排序权重，并据此构造子矩阵W如下：

至此，未加权超矩阵W'构造完毕，具体如表4所示。

表4 未加权超矩阵W'

同理依据步骤6构造加权矩阵A如下：

表5 加权超矩阵

表5 加权超矩阵

g1 g2 g1 0 0 g2 0 0 a1 0 0 a2 0 0 a3 0 0 c1 c2 c3 a1 0.500 0.220 0.280 0.435 0.366 0.199 c1 0 0 0 0 0 c2 0 0 0 0 0 c3 0 0 0 0 0 0.341 0.326 0.333 0.316 0.362 0.322 0.342 0.308 0.350 a2 a3 0 0 0 0 0 0 0.420 0.355 0.225 0.334 0.362 0.304 0.258 0.402 0.340 0 0 0 0 0 0 0 0 0

表6 极限超矩阵

表6 极限超矩阵

g1 g2 c1 0 0 c2 0 0 c3 0 0 c1 c2 c3 a1 g1 0 0 0 0 0 g2 0 0 0 0 0 0.331 0.334 0.333 0.331 0.334 0.333 0.331 0.334 0.333 a1 0 0 0 0 0 a2 0 0 0 0 0 a3 0 0 0 0 0 a2 a3 0.337 0.373 0.289 0.337 0.373 0.289 0.337 0.373 0.289 0.337 0.373 0.289 0.337 0.373 0.289

比较表6数据信息可知，应用本文提出的超矩阵构造改进方法其排序结果为a2≻a1≻a3，即在录取名额有限时，专家应按照该顺序对候选人进行相应的筛选。通过上述分析可知，本文所提出的基于区间直觉模糊集的超矩阵构造改进方法充分考虑了专家基于部分对整体认知时的局限性，在原有直觉模糊数也未能准确表达专家判断模糊程度的前提下，区间直觉模糊集更能完整、客观地表达出专家对决策问题的整体判断，也符合实际决策情境，从理论上也与“从定性到定量的综合集成法”高度契合。通过实例应用，表明本文所提出的方法更加符合客观实际，具有应用可行性。

6 结论

网络分析法（ANP）自诞生起就以其科学性与灵活性受到了管理科学工作者的广泛关注并应用于诸多领域。在ANP分析过程中，超矩阵的构造能够系统地反映决策问题的结构模型及复杂关联关系，因此科学合理地构造超矩阵是ANP的关键技术。然而绝大数文献在对ANP子矩阵的构造过程中忽略了不同位置的子矩阵具有不同的属性特征，而采用了完全一致的构造方法，导致决策的科学性受到质疑。为克服上述缺陷，本文针对ANP中Sinarchy结构中IMAC子矩阵的构造问题，在分析其传统构造方法缺陷的基础上，提出了应将整体论与还原论两种方法论结合，并运用钱学森倡导的从定性到定量的综合集成法作为ANP分析解决问题的思路，指出了将区间直觉模糊集应用于IMAC子矩阵构造过程中表达专家偏好的合理性，进而给出了一种基于区间直觉模糊集的Sinarchy超矩阵构造的改进方法。本文所提出的新方法具有以下优点：（1）从钱学森倡导的“从定性到定量的综合集成法”的视角重新审视ANP应用于复杂系统、解决复杂决策问题的思路，克服了以往ANP中以还原论的思维模式分析问题的局限性，使得ANP的决策方法更具理论依据性，决策科学性进一步增强。（2）采用区间直觉模糊数代替点估计值，能够从区间隶属度、非隶属度、犹豫度三个层次反映决策专家的偏好信息，避免了专家由于对整体认知的有限性带来的判断偏差过大的缺陷，能够更加客观、全面地表达专家的偏好信息，也更深刻地刻画了复杂系统的模糊性本质，同时拓宽了区间直觉模糊集的应用范围。（3）对Sinarchy结构中IMAC子矩阵构造的改进，也为ANP其他系统结构中基于局部对整体进行判断这一类型的问题提供了新的解决思路，具有一定参考价值。最后，通过一个具体实例的验证表明，本文所提出的方法是科学合理的，具有较好的实际应用可操作性。

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XIE Hui,DUAN Wanchun,SUN Yonghe,SUN Xinle

Faculty of Management and Economics,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650093,China

To solve the construction problem of Sinarchy structure supermatrix in Analytic Network Process（ANP）,an improved method based on interval-valued intuitionistic fuzzy set is put forward.From the angle of the inherent attributes and characteristics of the last two layer which has the feedback relation in the Sinarchy,the traditional method has limitations for the construction of influence matrix of alternatives of criterions.So the new thought to solve the above problem has been proposed that should persist the combination of holism and reductionism,also should follow the ideology from the qualitative to the quantitative analysis of the comprehensive integration which advocated by Qian Xuesen.Then this paper introduces interval-valued intuitionistic fuzzy set to reflect expects’preference in IMAC,instead of adopting point estimates.Applied of a real example,the improved method is validated to be feasible and applicable.

analytic network process;Sinarchy;interval-valued intuitionistic fuzzy set;supermatrix

针对网络分析法（ANP）中Sinarchy结构的超矩阵构造问题，提出了一种基于区间直觉模糊集的超矩阵构造改进方法。从Sinarchy结构中具有反馈关系的最后两层元素集的固有属性及特征出发，分析了采用传统方法构造方案对准则的影响矩阵（IMAC）的局限性，提出了应结合整体论与还原论、并遵循钱学森倡导的从定性到定量的综合集成法作为ANP分析解决问题的思路。通过引入区间直觉模糊集代替传统点估计值反映专家偏好进而重新构造IMAC。具体实例应用表明，该方法针对Sinarchy结构的排序问题具有较好的实际应用可行性。

网络分析法；Sinarchy；区间直觉模糊集；超矩阵

A

N94

10.3778/j.issn.1002-8331.1403-0422

XIE Hui,DUAN Wanchun,SUN Yonghe,et al.Improved method for construction of Sinarchy supermatrix based on interval-valued intuitionistic fuzzy set.Computer Engineering and Applications,2014,50（23）：10-15.

国家自然科学基金（No.71263031，No.71261013）；教育部人文社会科学研究青年基金项目（No.10YJC630218）；云南省科技计划项目（No.2010ZC060）。

谢晖（1982—），女，博士生，讲师，研究领域为管理科学与工程；段万春（1956—），男，教授，博导，研究领域为复杂行为决策；孙永河（1978—），男，博士/博士后，副教授，研究领域为复杂系统决策与优化；孙新乐（1976—），男，博士生，助理经济师，研究领域为管理科学与工程。E-mail：zhubing811109@126.com

2014-03-28

2014-06-06

1002-8331（2014）23-0010-06

CNKI网络优先出版：2014-07-01,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1403-0422.html