二元一次方程组的解的情况

张志军

苏科版七（下）115页16题：探索下列二元一次方程组解的情况：

（1） （2） （3）

【思路点拨】二元一次方程组解的情况，就是解的个数.按照学过的方法解方程组即可.

【问题解析】用代入消元法或加减消元法解方程组（1）可得解为 由此可知方程组（1）有惟一解.

解方程组（2）时，将①代入②，得到 ，这是一个恒等式，是什么原因呢？仔细观察，如果将①×2得到方程 ，发现就是方程②，也就是说只要满足方程 的一对 的值就一定满足方程 ，因此方程 的解就是方程组的解.名义上是方程组，实际上相当于是一个二元一次方程.所以，方程组有无数解.

解方程组（3）时，将①代入②，得到 ，化简后为 这是一个矛盾等式，即无论y取什么值，等式都不成立.是什么原因造成的呢？如果将①×2得到方程 ，与方程 比较，左边相同，而右边不等，找不到 使 既等于2又等于4.所以，方程组无解.

【问题拓展】由问题解析可知，二元一次方程组的解有3种情况：①惟一解，②无数解，③无解.那么，什么时候有惟一解、无数解、无解呢？这与组成二元一次方程组的两个方程的系数有关.对于任意一个二元一次方程组 ，根据前面的经验，当两个方程可转化成一个方程（两个方程的系数成倍数关系式）时，即 时，方程组有无数解；当方程左边可转化成相同的式子而右边不同时，即 ，方程组无解；当方程左边未知数系数不成倍数关系，即 ，方程组有惟一解.

【实际运用1】不解方程组，判断下列方程组的解的情况：

【问题解析】根据前面总结的规律，关注方程组的系数即可.（1）因为 ，所以方程组有惟一解；（2）因为 ，所以方程组有惟一解；

（3）因为 ，所以方程组有无数解；

（4）因为 ，所以方程组有无解；

【实际运用2】当 取何值时，关于 的方程组 有无数解？

【问题解析】根据规律可知：当 时，方程组有无数解，解得 .

【练习】1.判断下列方程组解的情况：

（1） （2） （3）

2.当 取何值时，关于 的方程组 有无数解？

3.关于 的方程组 有惟一解，则 的值可以为： .

4. 与已知二元一次方程 组成的方程组有无数组解的的方程是 （ ）

A. B.

C. D.

5.已知关于 的方程组 无解，

求代数式 的值.

苏科版七（下）115页16题：探索下列二元一次方程组解的情况：

（1） （2） （3）

【思路点拨】二元一次方程组解的情况，就是解的个数.按照学过的方法解方程组即可.

【问题解析】用代入消元法或加减消元法解方程组（1）可得解为 由此可知方程组（1）有惟一解.

解方程组（2）时，将①代入②，得到 ，这是一个恒等式，是什么原因呢？仔细观察，如果将①×2得到方程 ，发现就是方程②，也就是说只要满足方程 的一对 的值就一定满足方程 ，因此方程 的解就是方程组的解.名义上是方程组，实际上相当于是一个二元一次方程.所以，方程组有无数解.

解方程组（3）时，将①代入②，得到 ，化简后为 这是一个矛盾等式，即无论y取什么值，等式都不成立.是什么原因造成的呢？如果将①×2得到方程 ，与方程 比较，左边相同，而右边不等，找不到 使 既等于2又等于4.所以，方程组无解.

【问题拓展】由问题解析可知，二元一次方程组的解有3种情况：①惟一解，②无数解，③无解.那么，什么时候有惟一解、无数解、无解呢？这与组成二元一次方程组的两个方程的系数有关.对于任意一个二元一次方程组 ，根据前面的经验，当两个方程可转化成一个方程（两个方程的系数成倍数关系式）时，即 时，方程组有无数解；当方程左边可转化成相同的式子而右边不同时，即 ，方程组无解；当方程左边未知数系数不成倍数关系，即 ，方程组有惟一解.

【实际运用1】不解方程组，判断下列方程组的解的情况：

【问题解析】根据前面总结的规律，关注方程组的系数即可.（1）因为 ，所以方程组有惟一解；（2）因为 ，所以方程组有惟一解；

（3）因为 ，所以方程组有无数解；

（4）因为 ，所以方程组有无解；

【实际运用2】当 取何值时，关于 的方程组 有无数解？

【问题解析】根据规律可知：当 时，方程组有无数解，解得 .

【练习】1.判断下列方程组解的情况：

（1） （2） （3）

2.当 取何值时，关于 的方程组 有无数解？

3.关于 的方程组 有惟一解，则 的值可以为： .

4. 与已知二元一次方程 组成的方程组有无数组解的的方程是 （ ）

A. B.

C. D.

5.已知关于 的方程组 无解，

求代数式 的值.

苏科版七（下）115页16题：探索下列二元一次方程组解的情况：

（1） （2） （3）

【思路点拨】二元一次方程组解的情况，就是解的个数.按照学过的方法解方程组即可.

【问题解析】用代入消元法或加减消元法解方程组（1）可得解为 由此可知方程组（1）有惟一解.

解方程组（2）时，将①代入②，得到 ，这是一个恒等式，是什么原因呢？仔细观察，如果将①×2得到方程 ，发现就是方程②，也就是说只要满足方程 的一对 的值就一定满足方程 ，因此方程 的解就是方程组的解.名义上是方程组，实际上相当于是一个二元一次方程.所以，方程组有无数解.

解方程组（3）时，将①代入②，得到 ，化简后为 这是一个矛盾等式，即无论y取什么值，等式都不成立.是什么原因造成的呢？如果将①×2得到方程 ，与方程 比较，左边相同，而右边不等，找不到 使 既等于2又等于4.所以，方程组无解.

【问题拓展】由问题解析可知，二元一次方程组的解有3种情况：①惟一解，②无数解，③无解.那么，什么时候有惟一解、无数解、无解呢？这与组成二元一次方程组的两个方程的系数有关.对于任意一个二元一次方程组 ，根据前面的经验，当两个方程可转化成一个方程（两个方程的系数成倍数关系式）时，即 时，方程组有无数解；当方程左边可转化成相同的式子而右边不同时，即 ，方程组无解；当方程左边未知数系数不成倍数关系，即 ，方程组有惟一解.

【实际运用1】不解方程组，判断下列方程组的解的情况：

【问题解析】根据前面总结的规律，关注方程组的系数即可.（1）因为 ，所以方程组有惟一解；（2）因为 ，所以方程组有惟一解；

（3）因为 ，所以方程组有无数解；

（4）因为 ，所以方程组有无解；

【实际运用2】当 取何值时，关于 的方程组 有无数解？

【问题解析】根据规律可知：当 时，方程组有无数解，解得 .

【练习】1.判断下列方程组解的情况：

（1） （2） （3）

2.当 取何值时，关于 的方程组 有无数解？

3.关于 的方程组 有惟一解，则 的值可以为： .

4. 与已知二元一次方程 组成的方程组有无数组解的的方程是 （ ）

A. B.

C. D.

5.已知关于 的方程组 无解，

求代数式 的值.