基于试桩的桩基承载力可靠度分析

2014-07-31王国伟

山西建筑 2014年19期

王国伟

(铁道第三勘察设计院集团有限公司，天津 300251)

1 概述

近十几年来，可靠性理论及其应用得到了迅速发展，可靠性设计日益为人们所熟悉。桩基是软土地基上结构基础的重要形式之一，它通过土的摩阻力和端阻力将上部结构的荷载传递到地基上，目前在建筑、铁路、桥梁、港口等工程中广泛应用。与混凝土、钢材等人造材料不同，由于桩侧土质和桩底土质的变异性、勘察试验的误差、成桩过程中桩侧土的扰动和密实度变化，孔底可能出现的沉渣，虚土等，构成了土质条件的不确定性，是制约桩承载力变异性的主要因素，单靠计算不能准确得到桩的极限承载力，所以对重要的工程，国内外的桩基规范［1-6］都要求进行桩静荷载承载力试验，根据试桩结果确定桩的承载力。由于试桩过程复杂、费用高，一般情况下试桩的数量很小，如我国GB 50007-2002建筑地基基础设计规范［3］规定:“在同一条件下的试桩数量，不宜少于总桩数的1%，且不应少于3根。”其他如公路桥涵、港口工程等都有类似的规定。这里尽管规定桩静荷载试验的数量为“不少于”规定的数量，但一般按最小数量采用，在统计分析中属于小样本。本文探讨了在试桩数据为小样本的条件下，桩竖向承载力的可靠度分析方法。

2 试桩结构的统计分析

从可靠度理论讲，因样本不足产生的不确定性称为统计不确定性。从数理统计理论讲，如果μX和σX为随机变量X的平均值和标准差，和s为从X的母体中抽取的容量为n的样本的平均值和标准差，则不管用何种方法进行估计和s均是不确定的，只有当n→∞时，和s才趋近于μX和σX。在工程中，一般情况下，只要数据的数量足够多，即可认为和s趋近于μX和σX，但具体要看数据的离散程度。

抽样分布是研究统计不确定性的基础，χ分布、t分布和F分布是经典数理统计中的三大抽样分布，这些分布均假定样本母体为正态分布，对其他分布的母体，目前尚难给出抽样分布的具体形式。统计分析表明，可假定桩的竖向承载力服从对数正态分布，而对数正态分布是由正态分布衍生来的。所以，本文的研究以样本母体为正态分布为基础进行分析。

当样本(X(1)，X(2)，…，X(n))为来自于正态母体时，如果其平均值和标准差由式(1)计算:

t分布的概率密度函数为:

其中，Γ(n)为Γ函数。

如果从正态母体中抽取的变量X的样本值为x(1)，x(2)，…，x(n)，则可由式(1)计算其平均值和标准差s，则根据式(4)，可将X的平均值和标准差表示为:

由于T和χ均为随机变量，则如前面所述，μX和σX也为随机变量。本文的分析就是以式(5)为基础的。

3 可靠度分析方法

假定结构设计中有m个随机变量，由这m个随机变量表示的结构功能函数为:

其中前k个随机变量X1，X2，…，Xk为需要考虑统计不确定性的随机变量，其概率分布是已知的，统计参数需要根据小样本估计;后m－k个随机变量Xk+1，…，Xm为不需考虑统计不确定性的随机变量，其概率分布和统计参数均已知。当k=0时，全部变量均不需考虑统计不确定性，当k=m时，全部变量均需考虑统计不确定性。

对于前k个随机变量，假定其中第i个随机变量Xi服从正态分布，其总体平均值为μXi，标准差为σXi，则Xi可表示为:

其中，Yi为服从标准正态分布的随机变量，即Yi～N(0，1)。将式(5)代入式(7)得:

其中，ni为从Xi的总体中抽取的样本的容量;和si分别为根据Xi的样本由式(1)计算的平均值和标准差估计值;Ti为密度函数由式(3)表示的随机变量;χi为密度函数由式(2)表示的随机变量。在式(8)中，Xi用三个随机变量Yi，Ti和χi描述，反映了估计Xi的平均值和标准差时统计不确定性的影响。将式(8)代入式(6)中，即可用一次二阶矩方法进行可靠度计算。

上面的分析是假定Xi服从正态分布时给出的结果。如果Xi服从对数正态分布，则ln Xi服从正态分布，这样ln Xi可以表示如下:

即:

其中，Yi为服从标准正态分布的随机变量;μlnXi和σlnXi分别为ln Xi的平均值和标准差，与Xi的平均值μXi以及标准差σXi的关系为:

当ln Xi服从正态分布时，根据式(5)有:

同样，将式(13)代入式(6)中，即可用一次二阶矩方法［7］进行可靠度计算。

4 算例分析

某结构工程采用预应力混凝土桩，设计桩长41．9 m，桩径600 mm。桩恒荷载标准值SGK=1 150 kN，活荷载标准值SQK=1 835 kN。进行了两根桩的静荷载试验。按照我国现行规范判断的极限承载力分别为3 987 kN和4 382 kN。

采用上述“可靠度分析方法”计算式(1)～式(13)，得到:

桩竖向承载力的功能函数为:

假定试桩的数量分别为 n=2，3，4，5，6，7，根据计算得到的承载力的平均值和标准差s不变(实际工程中不太可能出现这种情况，这里只是说明在和s相同的条件下，试桩数量对可靠指标的影响)，则用JC法迭代计算的可靠指标如表1所示。

表1和s不变n=2～7时桩的可靠指标β

n 2 3 4 5 6 7 β1．614 8 1．989 4 2．399 9 2．690 4 2．907 2 3．070 4

需要说明的是，表1中结果并不是说随着试桩数量的增大，可以认为提高了桩的可靠性。当因小样本桩的承载力信息不充分时，所计算的小样本的可靠指标只是大样本可靠指标的一个估计。换句话说，表1是假定和s均不变时的计算结果，实际工程中随着试桩数量的变化和s一般也会发生变化，除非随试桩的数量多到大样本的程度和s的变化可以忽略。和s的变化会使得计算的可靠指标不再是表1中的规律，如增加试桩数量时，也可能计算的减小，s增大，显然可靠指标减小。但不管可靠指标如何变化，试桩数量越多，可靠指标的计算结果越可信是毫无疑问的。