桥梁半平行钢丝索的非对称断丝损伤力学模型

彭崇梅，张启伟，李元兵

（1.同济大学 土木工程学院，上海200092；2.上海市政养护管理有限公司，上海201103）

由于施工和使用过程中的磨损、老化、腐蚀、断丝等原因，相当一部分拉索在成桥后不久便出现严重损伤.高强钢丝或钢绞线断丝是拉索损伤的重要形式之一，断丝的发生对拉索内力重分布及整根拉索的损伤演化起着决定性的作用.

目前，半平行钢丝索是实际工程中拉索的主要应用形式，但是，这方面的研究文献较少.彭崇梅等［1－2］考虑钢丝间接触力、摩擦力和泊松效应的影响，建立了静力拉伸荷载下半平行钢丝索的对称断丝力学模型，并通过数值计算研究了对称断丝后索体内钢丝拉力分布规律及其影响因素.Matteo等［3］应用基于平行钢丝假定的延性模型和延－脆性模型研究了Williamsburg桥主缆的安全系数，并通过试验，推荐断丝拉力影响长度取3倍主缆丝扣间距.Faber等［4］基于相互平行的直钢丝的并联模型，采用概率方法研究了半平行钢丝索的静力拉伸强度和疲劳寿命.基于平行钢丝假定的并联模型，未考虑螺旋角、钢丝间接触和断丝等因素影响，预测结果不能反映钢丝拉力不均匀分布、断丝影响长度等关键力学特性的变化规律，且其结果偏于不安全；而对称断丝模型难以适用拉索的非对称断丝损伤状态.与半平行钢丝索几何相近的钢绞线模型在这方面的研究则取得了一定的进展.Cappa［5］通过测试一股钢绞线（7丝）外层单根钢丝断裂后发现，与断丝相邻的两根钢丝拉力比原来增大20%，而断丝对称处钢丝拉力则比原来减小20%.MacDougall［6－7］推导了砼构件中无粘结预应力7丝钢绞线非对称断丝后钢丝内力分布，研究了断丝模型中钢丝的拉力分布、断丝影响长度及剩余预应力.李元兵［8］在 MacDougall［7］的基础上，采用有限元方法研究了钢绞线吊杆断丝后截面内钢丝拉力分布及护套握裹力、钢丝间摩擦系数等对钢丝拉力分布的影响.Jiang等［9］通过考虑钢丝间的接触摩擦、塑性变形和精确的几何构型，建立了轴向荷载作用下的有限元模型；数值计算表明外层钢丝之间及与中心钢丝间的接触会同时发生，径向接触应力较环向接触应力小.

需引起重视的是，由于半平行钢丝索内部钢丝接触复杂，拉索内钢丝排列方式和钢丝间的接触方式与钢绞线索有很大的不同，因此，既不能采用并联模型，也不能直接应用钢绞线研究中的现象和规律.本文基于Love［10］曲杆理论，忽略钢丝弯矩、扭矩和剪力，考虑非对称断丝引起的垂直于拉索轴向的侧向变形、钢丝间的接触和摩擦，建立了多层半平行钢丝索的非对称断丝模型；通过数值计算和参数分析研究了断丝后索体内钢丝拉力分布规律及其影响因素.

1 基本方程

考虑一n层半平行钢丝索（图1），钢丝弹性模量为E，面积为A0，吊杆长度为L，索体中有1根断丝，断丝排列为非对称布置.以钢丝断裂处为参考点（坐标原点），x轴平行于核心钢丝轴向，协同坐标s沿钢丝螺旋方向，两坐标轴之间换算关系为：s＝x／sinα，索体内各钢丝半径均为R，螺旋角为α.索体中钢丝根据钢丝螺旋半径进行分层，中心钢丝为第0层，半径为R1，其余各层依次由里向外进行编号，各层钢丝螺旋半径为各外层钢丝中心相对螺旋中心的距离，以ri表示，i表示钢丝层编号，图2中六边形虚线所围成的钢丝环分别对应第1，2，3，…，k环钢丝.断丝后护套对断裂钢丝的握裹力沿轴向呈均匀分布，单位长度为ws.各钢丝间摩擦系数为μ，内部接触力为Xms，i（s），则钢丝间单位长度的摩擦力为f（s）＝μXms，i（s），断 丝 轴 力 为Tb（s），未 断 钢 丝 轴 力 为Tu，i（s），断丝钢丝索总轴向力为Fb，完好钢丝索总轴向力为F.

图1 半平行钢丝索断丝示意图Fig.1 Geometry sketch of the semi－parallel wire cable with break wires

图2 半平行钢丝索截面编号示意图Fig.2 Numbering schemes of cross section for semi－parallel wire cable

1.1 变形协调方程

当索体产生垂直于拉索轴向的变形δp（方向偏向断丝一侧）时，拉索截面各根钢丝螺旋半径会相应发生变化，从而产生应变增量，但断丝因为一端断裂，相对于未断钢丝会产生相对滑移，并不会因为螺旋半径的变化而产生应变增量.文献［7］研究表明，由侧向位移引起的中心钢丝应变增量可以忽略.由于侧向变形引起的其余位置钢丝螺旋半径的变化，此处以其中一根钢丝为例进行推导.

图3a为断丝前钢丝m的位置，图中点“M”为钢丝m的轴线位置，点“O”为拉索轴线位置，点“N”为钢丝n（断丝）轴线位置，OM间的长度等于钢丝m的螺旋半径，M－O－N间的角度为βi.图3b为断丝后钢丝m的位置，钢丝轴线已偏移到M′点，索体轴线方向也移到O′点，断丝n的轴线移到N′点，OM′间的长度为变形后钢丝m的螺旋半径，假定变形为小量，M′－O－N′间角度仍为βi.

断丝后钢丝m和索体轴线间的协调变形可表示为如图3c所示.则钢丝m由于侧向变形δp引起的螺旋半径的改变量为

其余位置钢丝则可依次推算.

1.2 平衡方程

假定：钢丝间完全接触，摩擦系数为一定值，护套握裹力沿拉索轴向均布.根据Love［10］曲杆理论，单根钢丝有6个独立平衡方程，受力如图4所示，图4中G，G′为弯矩分量，H为扭矩分量，K，K′为曲率分量，θ为扭率分量，N，N′为剪力分量，T为轴向拉力分量（沿坐标s方向，见图1），单位长度外部荷载分量为X，Y，Z.

图3 断丝后钢丝变形图Fig.3 Wire deflection after wire－break

图4 单根钢丝受力图Fig.4 Loads acting on a thin wire

对多层半平行钢丝索，忽略弯矩、扭矩和剪力的影响，钢丝的材料本构方程可以简化为：Ti（s）＝EAiξi（s），参考文献［1］，有X＝Xms，i（s）－ΔXms，i，Z＝μ（Xms，i（s）＋ΔXms，i＋2Pms，k）.则钢丝平衡方程可简化为

其中，Ti（s）表示第i根钢丝拉力；ξi（s）为钢丝轴向应变；E为钢丝弹性模量；Ai为第i根钢丝横截面积；Xms，i表示第i根钢丝径向接触力；ΔXms，i为外层钢丝作用于第i根钢丝的接触力；Pms，k表示第k环钢丝间环向接触力；β表示钢丝间的接触角，对角线位置钢丝为60°，其余位置钢丝为90°.

半平行钢丝索两坐标轴间的换算关系为

半径变分引起的弧长变化为

式中：p为钢丝螺旋捻距.

半径改变δh，i引起的应变增量为

［11］，忽略泊松效应和接触变形对螺旋半径的影响，轴向拉伸引起的均匀应变增量为

式中：ε（s）表示拉索轴向应变.

则外层未断钢丝的轴向应变ξi（s）可由半径改变引起的应变增量和轴向拉伸引起的应变增量两部分组成

式中：λ，ηi分别表示钢丝轴向应变系数和钢丝横向应变系数.

未断钢丝总拉力可表示为

式中：Ac为中心钢丝面积；Ku为未断钢丝总拉力系数；Kδ为侧向位移系数.

未断钢丝总拉力又可表示为

联立式（8），（9），可得

则外层未断钢丝拉力可表示为

由式（1）可知，未断钢丝接触力可表示为

式中：等式右边第一项为第i根钢丝的附加接触力；当钢丝处于最外层时，ΔXms，i即为护套握裹力ws.

由式（11），（12）可以看出，接触力表达式均存在常数项、公因子Tb（s）和δp（s），即

式中：ΔXms1，i，Xms1，i为 常 数 项；可 提 取 系 数Fb，ΔXms2，i，Xms2，i为Tb（s）的系数；ΔXms3，i，Xms3，i为δp（s）的系数.

拉索截面出现非对称断丝时，外部接触力不平衡，索体会产生垂直于拉索轴向的变形δp，方向偏向断丝一侧，从而引起拉索截面内各层钢丝拉力产生重分布，直至索体重新平衡.图5为非对称断丝后，拉索截面核心钢丝接触力平衡图.以断丝一侧钢丝与核心钢丝间接触力为X0°，断丝相对一侧钢丝与核心钢丝间接触力为X180°，其余钢丝则按顺时针相应编号.由力的平衡方程可知

其中Ψ1可提取系数Fb.

图5 核心钢丝接触力平衡图Fig.5 Contact forces acting on the king wire

联立式（13），（14），（15），将Tb（s）和δ（s）的关系引入，消去δp（s），可得

其中φ2可提取系数Fb.

联立式（1），（2），（17），（18）可得

由边界条件知，断丝处，Tb（0）＝0，求解上述微分方程，可得

由式（20）可知断丝拉力随到断丝处距离的增加呈指数增加.

考虑接触变形对非对称断丝模型钢丝拉力分布的影响时，式（7）中螺旋半径的变分应增加接触变形项，则考虑接触变形后，钢丝拉力可表示为

式中：Δc，i为钢丝间接触变形.

参考文献［12］，两根相互线接触的平行圆杆之间的接触变形为

式中：ν为钢丝泊松比.

考虑接触变形时，可将接触位移Δc，i代入式（5）进行修正.

1.3 影响长度

随着断丝拉力的增加，未断钢丝拉力相应减少，当同一层中断丝和未断钢丝拉力相等时，对应的区间长度定义为影响长度，以La表示.

完好拉索外层钢丝拉力为

式中：mj为每层钢丝数.当x＝La／2时，式（23）与Tb（La／2）相等，即

求解式（24），可得影响长度La为

因φ2可提取系数Fb，由式（25）可以看出，影响长度与拉索破断力无关.

1.4 索力剩余系数

索力剩余系数γ可定义为断丝后拉索索力Fb与完好拉索索力F的比值

引进相容条件：完好钢丝索延伸量Δ等于断丝拉索延伸量Δb，即Δb＝Δ.其中

当影响长度大于索长，即La＞L时，积分区间为由式（10），（16），（20）得索体延伸量为

式中：Γ＝Lφ1／sinα；Φ1＝KδΨ1／Ψ3；Φ2＝φ2（sinα＋KδΨ2／Ψ3）.

由前文可知，Ψ1和φ2均可提取公因子Fb，根据相容条件，相应的索力剩余系数γ为

当影响长度小于索长，即La≤L时，式（28）积分区间为 ［0，La／2］，延伸量为影响长度内和影响长度外延伸量之和，由式（10），（16），（20），（27）可求得索体延伸量为

根据相容条件，相应的索力剩余系数γ为

2 方程的求解

对于给定的半平行钢丝索，首先，按1.1节方法求得各根钢丝和断丝间的圆心角及外层相邻钢丝对内层钢丝的接触力分配系数，根据已知参数，得未断钢丝总拉力系数Ku和Kδ，对于给定的坐标s，假定Tb（s），给接触力系数Xmsi，j（i∈（1，180），j∈（1，3））赋初值，代入式（12），（13），（20），可得新一轮的Tb（s）和接触力系数Xmsi，j，如此循环，直到前后两轮计算得到的Xmsi，j差值小于给定误差，再将径向接触力代入式（11），（21），（22），求出钢丝间的接触变形，从而计算未断钢丝拉力；然后进入下一坐标s＋Δs的计算，重复以上过程，直到整根索长计算完为止.将上述计算结果代入式（25），可得影响长度La，代入式（30）或（32），可得索力剩余系数γ.全部计算过程可通过编程实现.

3 数值分析与讨论

为讨论各参数取值对多层半平行钢丝索断丝模型的影响，参考桥梁工程中半平行钢丝索的技术参数，如无特别说明，均以钢丝直径为5mm的127丝半平行钢丝索（Ф5－127）为例进行讨论，拉索长度L取6m，外层钢丝螺旋角为86°，钢丝直径取5mm，钢丝弹性模量E为197.9GPa，泊松比ν取0.3，内部钢丝间摩擦系数μ取0.12，护套握裹力取ws取2.0×10－6N·mm－1；钢丝按其螺旋半径分15层，断丝所在钢丝层为第7层，断丝数为8根.

3.1 索内钢丝拉力分布

应用半平行钢丝索的技术参数，按第2节所述计算流程，可以得出拉索出现非对称断丝时，索体内钢丝拉力分布如图6～9所示.图6为最外环钢丝拉力分布，图中x表示距断丝处的距离，x＝0.0和La／2分别表示断丝处和影响结束位置.图7为不同环钢丝拉力沿环向分布，图中第6环为最外环钢丝.

图6 外环钢丝拉力分布Fig.6 Axial force distribution in the outermost hoop

图7 断丝处钢丝拉力沿环向分布Fig.7 Axial force distribution along the hoop direction

图8 径向拉力分布Fig.8 Axial force distribution along the radial direction

图9 纵向拉力分布Fig.9 Axial force distribution along the length direction

从图6可以看出，在断丝处，断丝一侧钢丝拉力明显大于相反一侧；而影响长度外，钢丝间拉力沿环向分布基本均匀.上述现象可解释为，由于非对称断丝产生的索体侧向位移，引起断丝一侧钢丝拉力增大，而相反一侧钢丝拉力则相对较小.随着侧向位移逐渐变小，截面环向钢丝拉力逐渐趋于均匀.从图7可以看出，不同环钢丝拉力分布差异明显，越往内环，分布曲线往断丝一侧偏心越大，断丝侧与相反一侧钢丝拉力差距越大，如第2环钢丝断丝处钢丝拉力为0.811%，相反一侧为0.779%，两者的相对误差为4.10%，而第6环钢丝断丝处钢丝拉力为0.801%，相反一侧为0.790%，两者的相对误差为1.39%.

拉索出现非对称断丝时，索体内钢丝拉力沿截面径向和纵向分布如图8、图9所示.图8为断丝处和断丝影响长度处截面钢丝拉力沿径向分布规律，图中x表示距断丝处的距离，x＝0和x＝La／2分别表示断丝处和断丝影响结束位置，“第一区”表示断丝一侧所在区域，“第4区”表示相反一侧钢丝所在区域.图9表示不同编号钢丝拉力沿纵向分布规律.

由图8可以看出，沿截面径向，不同截面钢丝拉力分布差异明显.在断丝处，断丝两侧钢丝拉力变化沿径向分布规律相反；影响长度外，截面钢丝沿径向均为同一分布规律.在断丝处，越往外层，钢丝拉力越小，而在断丝相反一侧，断丝越往外层，钢丝拉力越大；影响长度外，越往外层，钢丝拉力越大.由图9可以看出，不同断面处，沿截面径向钢丝拉力间的差异不同，断丝处钢丝拉力差异最明显，1号钢丝拉力为0.815%，13号钢丝为0.799%，两者相对误差为2.0%，距离断丝处越远，钢丝拉力间的差异越小，在影响长度外趋于均匀.

3.2 摩擦系数的影响

钢丝索截面内钢丝受环境腐蚀等因素影响，摩擦系数不断增大，摩擦力对索内各钢丝拉力分布的影响加剧.关于内部钢丝间的摩擦系数，相关研究文献较少，Margetts［13］建议预应力钢绞线钢丝间摩擦系数可取0.11～0.22，MacDougall［7］的研究中采用0.16的摩擦系数，和试验结果取得了较好的一致.为研究摩擦系数的影响，变化摩擦系数μ（0.05～0.20），相应的断丝影响长度和索力剩余系数变化曲线如图10、图11所示.

图10 影响长度与摩擦系数关系Fig.10 Variation of the affected length with coefficients of inter－wires friction

图11 索力剩余系数与摩擦系数关系Fig.11 Variation of remaining prestress fraction with coefficients of inter－wires friction

由图10和图11可知：

（1）随着摩擦系数的增加，断丝影响长度逐渐变小，对于给定的摩擦系数，断丝越往外层，影响长度越大，且随着摩擦系数的增大，影响长度减少的速度变缓.

（2）随着摩擦系数的增加，断丝索力剩余系数逐渐变大，对于给定的摩擦系数，断丝越往外层，索力剩余系数减小得越多，索力变化范围越窄.当断丝位于第4层时，最小索力剩余系数为99.01%，变化范围为0.71%；而当断丝位于第9层时，最小索力剩余系数为98.98%，小于拉索断丝剩余率99.21%，变化范围为0.68%.

3.3 断丝径向位置的影响

当断丝位于不同径向位置时，断丝影响长度和索力剩余系数的变化如图12、图13所示.图中μ为内部钢丝摩擦系数，rb表示断丝螺旋半径.

图12 影响长度随断丝径向位置变化曲线Fig.12 The affected length as a function of rb

图13 索力剩余系数随断丝径向位置变化曲线Fig.13 Remaining prestress fraction as a function of rb

由图12和图13可知：

（1）影响长度随断丝径向位置的增加而快速增加；对于给定的断丝位置，摩擦系数越小，影响长度越大，且断丝越往外层，影响长度增加的速度越快，影响长度大于1倍捻距.

（2）索力剩余系数随断丝径向位置的增加而减小，且断丝越往外层，索力剩余系数减小的速度越缓；对于给定的断丝位置，随着摩擦系数的减小，索力剩余系数相应减小，索力变化范围变窄.当摩擦系数为0.08时，最小索力剩余系数为99.07%，小于拉索断丝剩余率99.21%，变化范围为0.25%；当摩擦系数为0.20时，最小索力剩余系数为99.23%，变化范围为0.49%.

4 结论

推导了多层半平行钢丝索的非对称断丝模型，通过数值计算和参数分析研究了断丝后索体内钢丝拉力分布规律，本文模型主要适用于1根非对称断丝的情况，主要结论如下：

（1）影响长度内，同一截面内不同钢丝拉力存在不均匀分布，断丝处，钢丝拉力不均匀分布最明显.影响长度外，各层钢丝拉力分布基本均匀.断丝处，断丝一侧钢丝拉力明显大于相反一侧，钢丝拉力沿环向分布存在明显的偏心，同环钢丝拉力相对误差可达4.10%；而影响长度外，钢丝间拉力沿环向分布基本均匀.

（2）沿截面径向，不同截面钢丝拉力分布差异明显.在断丝处，越往外层，断丝一侧钢丝拉力越小，而在断丝相反一侧，断丝越往外层，钢丝拉力越大；影响长度外，钢丝拉力分布均为，越往外层，钢丝拉力越大，中间为过渡段.

（3）通过参数敏感性分析，探讨了摩擦系数和断丝径向位置对影响长度和索力剩余系数的影响.结果表明，在常用参数范围内，影响长度变化范围较大，均大于1倍捻距；索力剩余系数受摩擦系数、断丝径向位置影响较大，参数变化时，索力剩余系数最小可达98.98%，小于截面断丝剩余率99.21%.

参考文献：

［1］彭崇梅，张启伟，李元兵.桥梁半平行钢丝索的对称断丝损伤力学模型［J］.同济大学学报：自然科学版，2013，41（1）：20.PENG Chongmei，ZHANG Qiwei，LI Yuanbing.Damage model of multilayered semi－parallel wire cables for bridges with symmetric wire breaks［J］.Journal of Tongji University：Natural Science，2013，41（1）：20.

［2］彭崇梅，张启伟，李元兵.桥梁半平行钢丝索对称断丝的力学特性分析［J］.同济大学学报：自然科学版，2013，41（4）：496.PENG Chongmei，ZHANG Qiwei，LI Yuanbing.Mechanical properties analysis of semi parallel wire cables for bridges with symmetric wire breaks［J］.Journal of Tongji University：Natural Science，2013，41（4）：496.

［3］Matteo J，Deodatis G，Billington D P.Safety analysis of suspension－bridge cables：Williamsburg Bridge［J］.Journal of Structural Engineering，1994，120（11）：3197.

［4］Faber M H，Engelund S，Rackwitz R.Aspects of parallel wire cable reliability［J］.Structural Safety，2003，25：201.

［5］Cappa P.An experimental study of wire strains in an undamaged and damaged steel strand subjected to tensile load［J］.Experimental Mechanics，1988，28（4）：346.

［6］MacDougall C，Li Shulian.Determining broken wires in unbonded seven－wire strands using penetration tests［J］.Journal of Precast／Prestressed Concrete Institute，2007，9：96.

［7］MacDougall C.Behavior of monostrand tendons with broken wires［D］.London：The University of Western Ontario，2001.

［8］李元兵.拱桥吊杆力学行为及损伤退化研究［D］.上海：同济大学土木工程学院，2008.LI Yuanbing.Research on the mechanical behavior and damage deterioration of suspender for arch bridges［D］.Shanghai：College of Civil Engineering of Tongji University，2008.

［9］Jiang W G，Warby M K，Henshall J L.Statically indeterminate contacts in axially loaded wire strand［J］.European Journal of Mechanics A／Solids，2008，27：69.

［10］Love.A treatise on the mathematical theory of elasticity［M］.New York：Dover Publications，1944.

［11］LeClair R A.Axial response of multilayered strands with compliant layers［J］.Journal of Engineering Mechanics，ASCE，1991，117（12）：2884.

［12］Johnson K L.Contact mechanics［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1985.

［13］Margetts R，Spikes H A.Single contact testing and the lubrication of wire ropes［C／CD］／／Conference on Offshore Applications.Aberdeen：［s.n.］，1983.