采用改进鱼群算法的张拉整体结构找形方法

林 敏,李团结,纪志飞

(西安电子科技大学机电工程学院,陕西西安 710071)

采用改进鱼群算法的张拉整体结构找形方法

林 敏,李团结,纪志飞

(西安电子科技大学机电工程学院,陕西西安 710071)

针对传统力密度法求解大规模、不规则张拉整体结构找形效率不高的问题,提出了一种力密度法与改进鱼群算法相结合的找形方法.先基于力密度法建立结构的平衡方程组,然后采用改进的鱼群算法在力密度空间内进行全局搜索,找出一组合适的力密度值使得平衡矩阵的秩满足求解条件,从而找到结构的平衡构形.该算法加入了全局最优人工鱼信息,引入了吞食行为和跳跃行为,并采用了自适应步长,比传统鱼群算法搜索效率更高,不容易陷入局部极值.以扩展八面体张拉整体结构为例,用该方法进行了找形,并和传统鱼群算法的找形结果进行了对比分析.仿真结果表明,该找形方法的找形结果可靠,并且收敛精度和平均最优值较传统鱼群算法均有所提高.

张拉整体结构;鱼群算法;静力平衡;找形;群智能

张拉整体结构是近年来在国内外迅速发展起来的一种新型空间结构体系,它具有质量轻、结构紧凑、强度大、易建模、几何非线性、形态可调等特点.这些特性使张拉整体结构在建筑学[1]、可展开天线[2]方面得到了广泛的应用.在过去的30年,国外的学者Rhode-Barbarigos[3]、Skelton[4]、Zhang[5]、Murakami[6]以及Sultan[7]等对张拉整体结构的几何形态学、找形、稳定性、静力学、动力学与振动控制等领域开展了研究,而且已经形成了相对完善的理论体系.

张拉整体结构在给定的边界条件下,所施加的预应力的分布和大小同所形成的结构初始形状是相互关联的.所以,如何获得满足自应力平衡的张拉整体结构的几何形态(即张拉整体结构的找形分析)是其设计中的一个很关键的技术问题.针对这一问题,国内外的学者们提出了很多数值和解析方法[8-9],其中常用的方法有力密度法、动力松弛法、几何分析法、坐标缩减法.力密度法[10-11]是通过选择一组合适的构件的内力与构件当前长度之比值(即力密度值)作为一个任意张拉整体结构的力平衡方程组中的已知值,而得到关于节点坐标的线性方程组,从而求得节点的真实坐标,这样便能立即生成所分析结构的几何外形.该方法使找形问题线性化,从而避免了坐标初始值问题及其他方法的收敛性问题.但是,满足要求的力密度值的选取需要一定的经验,而且当结构不规则或者比较复杂时,力密度值的确定就会变得比较困难.动力松弛法[12]通过虚拟质量和粘滞阻尼将静力学问题转化为动力学问题,跟踪结构的系统动能变化,直到其稳定在静力平衡状态.该方法对于大体系结构收敛性较差,从而制约了该方法在大规模结构方面的应用.几何分析法[8]利用几何的对称性进行分析从而得到找形结果,因此此方法只适用于对称结构.坐标缩减法[13]利用虚功原理得到构件广义坐标之间的关系,能很好地控制结构形状,但是该方法对于非对称的结构求解比较复杂.对于任意规模的对称或者不对称结构,需要寻找一种通用的找形方法.

针对这一问题,笔者提出了一种基于力密度与改进鱼群算法的找形方法.该方法以力密度作为基本变量,建立结构的节点平衡方程组,以确定改进鱼群算法的优化模型.利用改进鱼群算法在力密度空间进行全局搜索,找出一组合适的力密度值,代入结构平衡方程组便可确定结构的平衡构形.为了改进传统鱼群算法[14]寻优精度不高、后期收敛速度变慢等不足,笔者加入了当前全局最优人工鱼的信息,引入了吞食行为和跳跃行为,并采用了自适应步长,使得算法的运行时间明显降低,后期收敛速度和精度都得到了加强[14-16].该方法有效地避免了大量的矩阵分解运算,同时因为此方法不要求结构的对称性,所以能很好地处理非对称结构的找形问题.

1 力密度法原理

图1所示的为扩展八面体张拉整体结构,其中粗实线表示杆构件,细实线表示索构件.图2表示为结构中的一个节点i和与之相连接的节点和构件.

图1 扩展八面体张拉整体结构

图2 张拉整体结构的节点和构件

张拉整体结构是一种自平衡体系,忽略了重力影响,在自应力状态下结构保持稳定,即结构所受的外力为零.对于具有m个构件、n个节点的张拉整体结构,力平衡方程组为

其中,X、Y、Z分别为节点在x、y、z方向上的坐标列向量,D为n×n阶平衡矩阵.平衡矩阵D中各元素如下:

其中,φ表示与节点i相连接的所有构件的构件号;力密度qk=Tklk,lk表示构件k的当前长度,Tk为构件k的内力.当Tk为拉力时,qk取正值;当Tk为压力时,qk取负值.

显然,D的每一行及每一列元素的和均为零.那么,不管力密度取值如何,矩阵D都至少有一个特征值为零,且对应的特征向量为一个全为1的n×1阶的向量.由文献[8]可知,该特征向量不能作为可行的节点坐标向量,因此对于一个d维的、n个节点的张拉整体自应力结构,能够求出该结构的平衡构形,平衡矩阵D的秩必须满足的条件为

2 基于改进鱼群算法的张拉整体结构找形

2.1 数学模型

由第1节可知,当一组合适的力密度qk(k=1～m)使得平衡矩阵D的秩满足式(3)时,利用式(2)便可以求出结构的平衡构形.因此,张拉整体结构的找形问题便可转化为如何搜索出合适的力密度矩阵qk使得平衡矩阵D的秩满足找形要求.因为矩阵的秩不小于非零特征值的个数,所以可以通过矩阵D的零特征值的个数来判定该矩阵的秩是否满足式(3).因此可建立如下优化模型:

约束条件

其中,λj是D的第j个特征值(特征值从小到大排列),t=3(二维结构)或者4(三维结构).显然,α的最小值是零,即矩阵D至少有t个零特征值(t=d+1).β函数是保证每个力密度值不能接近零或者等于零.qii为经过标准化处理之后的力密度,其计算方法为

2.2 改进鱼群算法

鱼群算法[14](AFSA)是一种群智能优化算法,通过构造人工鱼来模仿鱼群的觅食、聚群、追尾及随机行为.每条人工鱼根据这些行为的寻优结果来选择当前目标函数值最优的行为执行,从而实现寻优.

随着优化问题复杂程度和规模的不断扩大,该算法在应用中也暴露出不足.例如,后期收敛速度较慢,而且收敛精度不高,容易陷入局部极值.笔者对传统鱼群算法采用了以下改进策略:

(1)如果算法在连续5次迭代后,最优人工鱼的目标函数值之差都小于跳跃阈值ε,说明此时人工鱼陷入了局部极值区域,那么就以一定的跳跃概率δt选择人工鱼,对其进行强制初始化.

人工鱼数量越多,鱼群算法的收敛速度越快.目标函数值差的人工鱼对算法的性能影响很小,却增加了算法的复杂度.算法经过nt次迭代后(nt取大于总迭代次数的一半),每隔一定迭代次数nb进行一次吞食行为.将每条人工鱼的目标函数值和吞食阈值η进行比较,释放高于(最小值问题)吞食阈值的所有人工鱼的空间,并且更新当前人工鱼总数N.

(2)为了提高鱼群算法的全局搜索能力,现将公告板上记录的当前全局最优人工鱼的信息加入人工鱼的位置更新公式中,这样容易避免个体趋同、早熟现象,从而不易陷入局部极值.

人工鱼觅食、聚群及追尾行为的位置更新公式如下:

觅食行为

聚群行为

追尾行为

其中,st为移动的步长,r为0～1的随机数和分别为人工鱼i第t次和第t+1次的位置信息,t为迭代次数.Xm为当前觅食行为探索到的新位置信息,Xc为当前聚群行为探索到的伙伴中心位置信息,Xj为当前追尾行为探索到的新信息.Xbest为当前全局最优人工鱼的位置信息.

(3)步长的随机性使得寻优精度难以提高,同时也使收敛速度减慢,所以采用自适应步长,即

其中,s为基础步长,st为自适应步长,Yv为搜索的新点的目标函数值,Y为当前状态的目标函数值.

由此可知,算法中移动步长的大小取决于当前状态和视野中所感知到的状态.采用了自适应步长后,每个人工鱼个体可以根据鱼群的状态自动地选择并适时地调整自身的步长,从而简化了参数设定,提高了收敛速度和寻优精度.

3 仿真实现

用扩展八面体张拉整体结构作为算例来检测上述方法的可靠性和有效性.扩展八面体张拉整体结构如图1所示,有12个节点,6个杆,24个索.节点编号和杆单元编号(25～30)、索单元编号(1～24)均在图1中标明.设24个索的力密度均为q1,6个杆的力密度均为q2.改进人工鱼群算法的参数设置如下:人工鱼总数N=200,最大迭代次数nmax=100,拥挤度因子δ=8,δt=0.4,视野v=20,s=10,觅食行为的最大尝试次数ns=10,ε=0.1,η=20,nt=60,nb=15.将求得的一组力密度值(0.453 0,-0.679 5)代入式(2),可得矩阵D的4个零特征值对应的特征向量,选取合适的作为结构的各节点坐标,从而确定找形平衡构形,如图3所示.

图3 扩展八面体张拉整体结构的找形平衡形态

图4 鱼群分布图

在改进鱼群算法的迭代过程中,鱼群的分布如图4所示.Tibert等[8]首先利用结构的对称性得到平衡矩阵D,然后利用高斯消去法得到力密度矩阵的简化行梯阵式,从而得出杆与索的力密度关系满足q2=-1.5q1时,矩阵的秩满足求解条件.但是该方法不适用于不规则结构.图4中,鱼群分布的直线为q2=-1.5q1,可以看出,随着迭代次数的增加,人工鱼开始聚集,最后大部分人工鱼都聚集在该直线附近.说明该方法用于张拉整体结构找形是有效的.

为了更好地验证改进鱼群算法(IAFSA)的优越性,用传统鱼群算法(AFSA)及相同的算例和测试平台进行了一组对比实验.传统鱼群算法中的参数设置和改进鱼群算法相同,两种算法分别独立随机运行10次,两种算法的10次平均收敛曲线如图5所示,找形结果对比如表1所示.迭代收敛曲线是独立运行10次程序取目标函数的平均值得到的.从图5可以看出,改进的鱼群算法在优化前期,目标函数值的下降幅度较大,随后下降幅度逐渐变缓,最后目标函数值趋向于一个恒定值,这个过程反映了该算法具有较强的稳定性和很好的收敛性.由于加入了当前全局最优人工鱼的位置信息,使得算法前期收敛速度比传统鱼群算法快,更容易找到最优值.又因为采用了自适应步长,改进人工鱼群算法的前期步长较大,更容易找到最优值,不容易陷入局部极值;后期步长较小,可进行更细化的搜索,收敛精度更高.

从表1可以看出,改进鱼群算法的最优值为5.031 1×10-14,比传统鱼群算法的最优值(2.886 7×10-5)小得多,且精度高很多.从两种算法的平均最优值和最优值的数量级可以看出,改进鱼群算法的优化结果每次精度差别不大,而传统的鱼群算法的优化结果精度差别比较大,说明传统鱼群算法的寻优结果不稳定.从表1中两种算法的平均运行时间可以看出,改进鱼群算法比传统的鱼群算法运行时间短,说明改进鱼群算法具有更高的寻优效率.

图5 两种算法的平均收敛曲线

表1 AFSA与IAFSA运行10次的找形结果对比

4 总 结

针对传统力密度法对不规则、大规模张拉整体结构的找形问题求解效率不高的问题,笔者提出了一种基于力密度法与改进鱼群算法的找形方法.在对大规模结构找形时,该方法能够避免大量矩阵分解运算.改进的鱼群算法保持了传统鱼群算法易实现、要求简单等特点,而且提高了寻优效率和寻优精度.以扩展八面体张拉整体结构作为算例,对改进鱼群算法和传统鱼群算法的找形结果进行了对比,仿真结果表明,改进的鱼群算法无论是在收敛精度还是在平均最优值上都有很大改善,而且该方法很好地平衡了全局搜索能力和局部搜索能力,算法的收敛速度和稳定性都比传统的鱼群算法有所提高.因为该方法对结构的对称性没有要求,而且不需要进行大量矩阵分解运算,所以该方法可以应用于不规则的或者大规模的结构.

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(编辑:郭 华)

Form-finding of tensegrity structures based on IAFSA

LIN Min,LI Tuanjie,JI Zhifei
(School of Mechano-electronic Engineering,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

To solve the form-finding problem of large-scale and nonregular tensegrity structures,an improved artificial fish swarm algorithm(IAFSA)is proposed on the basis of the force density formation of a tensegrity structure.First,the equilibrium equations for a tensegrity structure are developed based on the force density method.Then,a set of appropriate values of force density is found by the IAFSA in the force density space to make the rank of the equilibrium matrix satisfy the required conditions.As a consequence, the equilibrium configurations of the tensegrity structure can be derived.Furthermore,by employing the position information of the current global best artificial fish and the behaviors of swallowing and leaping of the artificial fish,the IAFSA has a higher search efficiency.Moreover,the use of leaping behaviors of the artificial fish makes the IAFSA have the ability to find global extremums.With the expandable octahedron as an example,its form-finding problem is conducted by using the IAFSA.Experimental results indicate that the form-finding results of the IAFSA are reliable.Compared with the conventional artificial fish swarm algorithm,the IAFSA has a higher convergence precision and a better average optimum value.

tensegrity structure;artificial fish swarm algorithm;static balance;form-finding;swarm intelligence

TP18

A

1001-2400(2014)05-0112-06

2013-05-16< class="emphasis_bold">网络出版时间:

时间:2014-01-12

国家自然科学基金资助项目(51375360)

林 敏(1984-),女,西安电子科技大学博士研究生,E-mail:structmlin@163.com.

http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3969/j.issn.1001-2400.2014.05.019.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2014.05.019