分数延迟混合滤波器组的范数最小化设计方法

王 玮,张子敬

(西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室,陕西西安 710071)

分数延迟混合滤波器组的范数最小化设计方法

王 玮,张子敬

(西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室,陕西西安 710071)

根据分数延迟混合滤波器组的系统范数评价指标,提出通过最小化系统混合范数设计有限长脉冲响应数字综合滤波器的优化方法.该混合范数性能测度是基于误差信号的能量和峰值.提出的方法先将分数延迟混合滤波器组误差系统转化为一个等价的有限维多输入多输出线性时不变数字系统,然后给出数字系统在混合范数性能指标下基于线性矩阵不等式描述的凸优化问题.仿真实验表明,新方法设计的分数延迟混合滤波器组重构信号误差小于传统算法设计系统的重构信号误差.

分数延迟混合滤波器组;混合范数;线性矩阵不等式

现今越来越多的领域需要高速、高精度模拟数字转换器(ADC)进行超宽带模拟信号的采样,如远程通信、有源/无源雷达信号处理系统等.对于超宽带模拟信号,很难用单个模拟数字转换器直接进行采样.为了达到高速模拟数字转换,基于广义采样理论提出的并行通道采样是一种有效的方法[1-4].

图1(a)所示为一个高速的模拟数字转换器采样模型,用来获得期望的高分辨数字信号.输入信号f(t)先通过抗混叠模拟滤波器φ0(t)(其拉普拉斯变换为(s)),输出的信号经过采样周期为h的理想采样器Sh后得到期望的高分辨数字信号y(n),y(n)=f(nh).在理想情况下,设计的分数延迟混合滤波器组输出信号等于期望信号y(n)延迟m0后的样本,即然而,由于设计的分数延迟混合滤波器组系统存在模拟电路实现误差及设计过程中产生的计算误差等,上述等式不可能完全成立.令y(n-m0),为系统的重构误差信号.在抗混叠滤波器和延迟已知的条件下,笔者设计了有限长脉冲响应(FIR)数字综合滤波器使得e(n)在某种误差准则下最小.

图1(b)所示的系统利用一组并行高精度低速率模拟数字转换器获得了等效的高采样率模拟数字转换器(见图1(a)),称为分数延迟混合滤波器组(FHFB)系统[5].输入信号f(t)为宽带模拟信号,输出信号(n)为重构的数字信号.信号f(t)先通过M个并行的抗混叠模拟滤波器φi(t)(其拉普拉斯变换为(s),复变量s=jω),i={1,…,M};然后其输出的各路信号分别经过各路延迟算子exp(-Dis)后用采样周期为Mh的理想低速采样器SMh进行采样,其中延迟Di用于补偿各路信号不同的到达时间,为大于零的常量;采样后的信号通过上采样器(↑M)增加采样率;最后数字综合滤波器综合各路信号得到最终的数字重构信号(n).

图1 期望的高速率采样系统与低速率分数延迟混合滤波器组采样系统

文献[6]通过最小化重构误差范数的上确界设计FIR滤波器来近似分数延迟算子.然而,文献[6]仅讨论了单速率系统,因此可看做笔者讨论的结构的特殊情况,即M=1的情况.文献[5]使用H∞范数优化方法设计了分数延迟混合滤波器组,然而用此方法设计的系统在一些采样时间点上的输出误差信号e(n)可能存在不可接受的幅度误差[7],并且H∞优化问题的解不惟一[8].为了解决上述问题,除了利用H∞范数测度,笔者还加入了H2范数测度,最终求解一个混合H2H∞优化问题,得到有限脉冲响应综合滤波器系数向量.用笔者提出的算法设计的分数延迟混合滤波器组系统与文献[5]中算法设计的系统相比,系统有更低的重构误差.

以下用到的符号说明:线性时不变(LTI)模拟单输入单输出系统的传递函数用(s)表示,与其相对应的模拟系统表示为GS;模拟多输入或多输出系统的传递函数用(s)表示,与其相对应的系统表示为GM.模拟线性时不变系统传递函数的状态空间实现表示为

类似地,数字线性时不变系统及其传递函数有相似的表示形式,即

其中,z表示二变换中的复变量.

1 问题模型

图2 混合多速率误差系统¯K

系统¯K涉及两个不同采样周期的采样器Sh和SMh.令符号↓M表示下采样器,有SMh=(↓M)Sh.因此,通过引入下采样器,多速率系统¯K中的采样器可以表示为具有相同采样周期h的采样器Sh.此时利用范数不变离散化方法[9]可将混合系统¯K的模拟时间部分离散化为有限维数字系统.因为每通道的连续时间部分传递函数是严格真的,令其离散化后传递函数的空间表示记为

因为式(3)中存在上采样与下采样算子,所以系统Kd是时变的.

提升Kd的输入输出信号并利用式(3)～(5),类似文献[5]的推导,可得到离散时间线性时不变误差系统Σd,如图3所示.图3中的up(k)为有限维输入信号且与f(t)有相等的能量[5],ep(k)表示e(k)提升后的信号,(z)表示与产生高分辨信号系统(即图1(a)系统)H∞范数等价的离散时间线性时不变系统的传递函数.由于提升运算保留了l2范数[9],所以系统Σd与混合系统¯K的H∞范数等价.

总结上述过程可得,对于混合多速率误差系统¯K,存在一个离散时间有限维输入输出线性时不变系统Σd,使得两个系统的H∞范数等价.系统Σd如图3所示,且其传递函数为

最小化J∞,得到有限脉冲响应综合滤波器的问题可等价为如下的模型匹配问题:

由式(1)和式(7),可得H∞性能测度

最小化J∞表示最小化系统输出误差信号的能量[9].但是当系统输出的误差信号能量最小时,误差信号在某些时间点的幅值大小可能仍然不能满足系统需求[7].如果系统输出误差信号在某些时间点上幅值过大,设计的系统仍然是不可接受的.并且因为式(7)是一个H∞优化问题,所以解不惟一[8].为解决上述问题,笔者在式(8)表示系统的性能指标基础上,给系统加上H2范数性能测度,使得系统输出的误差信号幅值限定在一个可接受的范围内且得到的问题的解是惟一的.

图3 离散时间线性时不变误差系统Σd

2 有限脉冲响应综合滤波器设计

其中,δ(t)表示单位冲激信号.由等价系统的推导过程可得,系统Σd和¯K的H2范数也等价[11].因此最小化等价于最小化

定义空间l∞表示所有时域幅值有界离散实信号组成的集合,且l∞空间中的信号可以是向量.对于信号up(k)∈l∞,空间l∞上的范数定义为

定义性能测度

式(11)衡量了系统输入信号up(k)属于l2空间时,输出误差信号ep(k)的l∞范数的大小.若图3中系统Σd的传递函数(z)稳定,有[8]

于是引入新的性能指标J2后,有限脉冲响应数字综合滤波器设计问题可陈述为:“给定严格真的有理传递函数,正的分数延迟,期望的系统延迟m0和系统采样周期h＞0,设计因果稳定的有限脉冲响应数字综合滤波器使混合系统¯K的性能指标J2最小且J∞满足J∞＜γ,其中γ＞0”.此问题称为混合H2H∞范数优化问题.

因为系统Σd与¯K的H2范数和H∞范数均等价,由式(6)～(8)和式(11)～(12)可知,上述混合H2H∞范数优化问题可写为

其中,符号diagk(a1,…,ak)表示将对角化,ai可以是标量、向量或者矩阵.

引理1给定正的常量β和系统传递函数矩阵(z),不等式成立当且仅当存在矩阵Y和S,使得下面的线性矩阵不等式是可行的:

其中,符号tr(·)表示矩阵的迹,矩阵L＞0(或＜0)表示矩阵L是正定的(或负定的).[8]

利用引理1及文献[5]中的性质5,混合H2H∞范数优化问题(13)可表述为如下凸的半定规划问题:

其中,矩阵P的含义与文献[5]中的相同.问题(19)中的γ必须是可行的,即γ需满足条件γopt表示利用文献[5]中性质5求解H∞优化问题得到的γ值.问题(19)的解表示在所有具有相同稳健性能的H∞优化解中找到具有最好总体性能的解.利用混合H2H∞范数优化设计分数延迟混合滤波器组系统的算法流程总结如下:

(2)输出.综合滤波器系数向量.

3 仿真实验

本节给出了一个两通道分数延迟混合滤波器组仿真实例(M=2).抗混叠传递函数取其中ωc=0.5,i=0,1,2.在性能仿真中,令采样周期h=1,系统延迟m0=10,分数延迟D1=1.2, D2=0.6.有限脉冲响应综合滤波器长度取N=n M=22.图4给出了用混合H2H∞范数优化方法设计得到的综合滤波器(z)和(z)的幅度响应和相位响应.为比较笔者提出方法与文献[5]中方法设计的分数延迟混合滤波器组系统的重构性能,给图1(b)系统输入两个模拟信号f(t),利用设计的分数延迟混合滤波器组系统求得系统输出信号(n),并与系统期望输出y(n-10)进行比较.

图4 综合滤波器幅度和相位响应

首先给图1(b)系统输入一带限信号f(t)=cos(0.3t)+cos(0.8t).两种方法设计的分数延迟混合滤波器组系统对应的重构误差如图5所示.文献[5]中方法的最大误差和均方根误差分别为0.007 9和0.001 9,而笔者提出的基于混合H2H∞范数优化方法的最大误差和均方根误差仅为0.003 8和0.001 5.第2个输入测试信号为连续时间单位阶跃信号.用笔者提出的方法设计的分数延迟混合滤波器组系统输出信号(n)及重构误差信号如图6所示.表1给出了笔者提出的方法与文献[5]方法设计的分数延迟混合滤波器组系统在不同输入信号情况下性能的比较.由表1可知,相比文献[5]中方法设计的分数延迟混合滤波器组系统,笔者提出的方法设计的系统重构信号的最大误差和均方根误差要低得多;当输入信号不是带限信号时,笔者提出的方法设计的系统重构信号的稳态误差明显优于文献[5]中方法的.

图5 重构误差信号(输入f(t)=cos(0.3t)+cos(0.8t))

图6 重构信号及误差信号(阶跃信号输入)

表1 笔者提出的方法与文献[5]中方法所得分数延迟混合滤波器组性能指标比较 V

4 总 结

笔者提出了一种新的算法设计分数延迟混合滤波器组.先将分数延迟混合滤波器组系统推广为一个混合误差系统,此误差系统在H2和H∞范数意义上等价于一个多输入多输出数字系统.通过数字系统模型,利用线性矩阵不等式方法可求得有限脉冲响应数字综合滤波器.仿真结果表明,笔者提出的方法设计的系统对重构输入信号达到了较好的水平,重构信号能力优于传统的设计方法.

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(编辑:郭 华)

Design of hybrid filter banks with fractional delays using mixed norm performance measures

WANG Wei,ZH ANG Zijing
(National Key Lab.of Radar Signal Processing,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

A mixed norm performance measure is presented to design finite impulse response(FIR)digital synthesis filters of hybrid filter banks with fractional delays.The mixed norm performance measure is based on the peak value as well as the energy of the error signal.The FIR filters are designed to minimize the performance measure of a hybrid error system.This hybrid and multirate problem is reduced to a mixed norm optimization problem involving only the linear time-invariant,discrete-time system.The theory of linear matrix inequalities offers a tractable solution to such a synthesis problem.Numerical experiments show that the proposed approach yields a better performance compared to existing techniques.

hybrid filter bank;mixed norm;linear matrix inequality

TN911.5

A

1001-2400(2014)05-0061-06

2013-05-17< class="emphasis_bold">网络出版时间:

时间:2014-01-12

国家自然科学基金资助项目(61172137,60872155)

王 玮(1984-),男,西安电子科技大学博士研究生,E-mail:wangweidaiyu@163.com.

http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3969/j.issn.1001-2400.2014.05.011.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2014.05.011