勾股定理中的数学思想
2014-07-25赵国瑞
赵国瑞
数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使人领悟到数学的真谛，学会数学地思考和解决问题，并对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导作用。灵活运用数学思想方法解决问题，往往可以化难为易、化腐朽为神奇，取得事半功倍的效果。下面以勾股定理中渗透的数学思想为例说明。
一、分类思想
例1 (2013年贵州省黔西南州中考题)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )
A．5 B．■ C．■ D．5或■
分析 边长为4的边可能是直角边，也可能是斜边，因此需要分类讨论。
解 当边长为4的边是直角边时，由勾股定理，得第三边的长为■=5；
当边长为4的边是斜边时，由勾股定理，得第三边的长为■=■。
所以第三边的长为5或■，故答案选D。
点评本题容易受“勾三股四弦五”的影响，直接把边长为4的边当作直角边，从而误选A，这样就犯了考虑问题不全面的错误了。
二、方程思想
例2 (2013年山东省济南市中考题)如图1，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( )
A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m
分析 观察图形，当绳子末端拉到距离旗杆8 m处时，可过绳子末端向旗杆作垂线，这样可以得到一个直角三角形，然后设旗杆的高度为x，进而运用勾股定理列方程求解。
解 如图2，设旗杆的高度为x m，则AC=AD=x，AB=x-2，BC=8。
在Rt△ABC中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2。
解得x=17，即旗杆的高度为17 m，故答案选D。
三、整体思想
例3 （2013年江苏省扬州市中考题）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为________。
分析 设矩形的两邻边长分别为a、b（a＞b），则a-b=2。又由勾股定理，得a2+b2=16。而矩形的面积等于ab，关键要设法将两个等式转化为含有ab的式子。
解 设矩形的两邻边长分别为a，b（a＞b），则a-b=2。
由勾股定理，得a2+b2=16。
由（a-b）2=a2+b2-2ab，得22=16-2ab，所以ab=6，即矩形的面积为6。
点评 本题在求矩形的面积时，分别将a-b，a2+b2，ab看成一个整体，体现了数学中的整体思想。
四、归纳思想
例4 （2013年湖南省张家界市中考题）如图3，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=■；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=■；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=________。
分析 首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律，进而求出OP2012的长。
解 由勾股定理，得OP4=■。
由OP1=■，OP2=■，OP3=2=■，……不难推出OPn=■。
所以OP2012=■。
五、数形结合思想
例5 （2013年湖南省张家界市中考题）如图4，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为____________。
分析 易知OD=5，要使△ODP为腰长为5的等腰三角形，可以点O为圆心，OD为半径作圆；也可以点D为圆心，OD为半径作圆。
解 由C（10，0），可知OD=5。
（1）以点O为圆心，OD为半径作圆交边BC于点P1，如图5。
由勾股定理，得P1C=■=■=3。所以P1（3，4）。
（2）以点D为圆心，OD为半径作圆交边BC于点P2、P3，如图6所示。
分别过点 P2、P3作x轴的垂线，垂足分别为E、F。
由勾股定理易得DE=DF=3。
所以OE=OD-DE=5-3=2，OF=OD+DF=5+3=8。
所以P2（2，4），P3（8，4）。
综合（1）和（2），点P的坐标为（3，4）或（2，4）或（8，4）。
点评 本例在渗透数形结合思想的同时，又考查了分类讨论思想。
数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使人领悟到数学的真谛，学会数学地思考和解决问题，并对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导作用。灵活运用数学思想方法解决问题，往往可以化难为易、化腐朽为神奇，取得事半功倍的效果。下面以勾股定理中渗透的数学思想为例说明。
一、分类思想
例1 (2013年贵州省黔西南州中考题)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )
A．5 B．■ C．■ D．5或■
分析 边长为4的边可能是直角边，也可能是斜边，因此需要分类讨论。
解 当边长为4的边是直角边时，由勾股定理，得第三边的长为■=5；
当边长为4的边是斜边时，由勾股定理，得第三边的长为■=■。
所以第三边的长为5或■，故答案选D。
点评本题容易受“勾三股四弦五”的影响，直接把边长为4的边当作直角边，从而误选A，这样就犯了考虑问题不全面的错误了。
二、方程思想
例2 (2013年山东省济南市中考题)如图1，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( )
A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m
分析 观察图形，当绳子末端拉到距离旗杆8 m处时，可过绳子末端向旗杆作垂线，这样可以得到一个直角三角形，然后设旗杆的高度为x，进而运用勾股定理列方程求解。
解 如图2，设旗杆的高度为x m，则AC=AD=x，AB=x-2，BC=8。
在Rt△ABC中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2。
解得x=17，即旗杆的高度为17 m，故答案选D。
三、整体思想
例3 （2013年江苏省扬州市中考题）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为________。
分析 设矩形的两邻边长分别为a、b（a＞b），则a-b=2。又由勾股定理，得a2+b2=16。而矩形的面积等于ab，关键要设法将两个等式转化为含有ab的式子。
解 设矩形的两邻边长分别为a，b（a＞b），则a-b=2。
由勾股定理，得a2+b2=16。
由（a-b）2=a2+b2-2ab，得22=16-2ab，所以ab=6，即矩形的面积为6。
点评 本题在求矩形的面积时，分别将a-b，a2+b2，ab看成一个整体，体现了数学中的整体思想。
四、归纳思想
例4 （2013年湖南省张家界市中考题）如图3，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=■；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=■；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=________。
分析 首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律，进而求出OP2012的长。
解 由勾股定理，得OP4=■。
由OP1=■，OP2=■，OP3=2=■，……不难推出OPn=■。
所以OP2012=■。
五、数形结合思想
例5 （2013年湖南省张家界市中考题）如图4，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为____________。
分析 易知OD=5，要使△ODP为腰长为5的等腰三角形，可以点O为圆心，OD为半径作圆；也可以点D为圆心，OD为半径作圆。
解 由C（10，0），可知OD=5。
（1）以点O为圆心，OD为半径作圆交边BC于点P1，如图5。
由勾股定理，得P1C=■=■=3。所以P1（3，4）。
（2）以点D为圆心，OD为半径作圆交边BC于点P2、P3，如图6所示。
分别过点 P2、P3作x轴的垂线，垂足分别为E、F。
由勾股定理易得DE=DF=3。
所以OE=OD-DE=5-3=2，OF=OD+DF=5+3=8。
所以P2（2，4），P3（8，4）。
综合（1）和（2），点P的坐标为（3，4）或（2，4）或（8，4）。
点评 本例在渗透数形结合思想的同时，又考查了分类讨论思想。
数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使人领悟到数学的真谛，学会数学地思考和解决问题，并对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导作用。灵活运用数学思想方法解决问题，往往可以化难为易、化腐朽为神奇，取得事半功倍的效果。下面以勾股定理中渗透的数学思想为例说明。
一、分类思想
例1 (2013年贵州省黔西南州中考题)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )
A．5 B．■ C．■ D．5或■
分析 边长为4的边可能是直角边，也可能是斜边，因此需要分类讨论。
解 当边长为4的边是直角边时，由勾股定理，得第三边的长为■=5；
当边长为4的边是斜边时，由勾股定理，得第三边的长为■=■。
所以第三边的长为5或■，故答案选D。
点评本题容易受“勾三股四弦五”的影响，直接把边长为4的边当作直角边，从而误选A，这样就犯了考虑问题不全面的错误了。
二、方程思想
例2 (2013年山东省济南市中考题)如图1，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( )
A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m
分析 观察图形，当绳子末端拉到距离旗杆8 m处时，可过绳子末端向旗杆作垂线，这样可以得到一个直角三角形，然后设旗杆的高度为x，进而运用勾股定理列方程求解。
解 如图2，设旗杆的高度为x m，则AC=AD=x，AB=x-2，BC=8。
在Rt△ABC中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2。
解得x=17，即旗杆的高度为17 m，故答案选D。
三、整体思想
例3 （2013年江苏省扬州市中考题）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为________。
分析 设矩形的两邻边长分别为a、b（a＞b），则a-b=2。又由勾股定理，得a2+b2=16。而矩形的面积等于ab，关键要设法将两个等式转化为含有ab的式子。
解 设矩形的两邻边长分别为a，b（a＞b），则a-b=2。
由勾股定理，得a2+b2=16。
由（a-b）2=a2+b2-2ab，得22=16-2ab，所以ab=6，即矩形的面积为6。
点评 本题在求矩形的面积时，分别将a-b，a2+b2，ab看成一个整体，体现了数学中的整体思想。
四、归纳思想
例4 （2013年湖南省张家界市中考题）如图3，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=■；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=■；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=________。
分析 首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律，进而求出OP2012的长。
解 由勾股定理，得OP4=■。
由OP1=■，OP2=■，OP3=2=■，……不难推出OPn=■。
所以OP2012=■。
五、数形结合思想
例5 （2013年湖南省张家界市中考题）如图4，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为____________。
分析 易知OD=5，要使△ODP为腰长为5的等腰三角形，可以点O为圆心，OD为半径作圆；也可以点D为圆心，OD为半径作圆。
解 由C（10，0），可知OD=5。
（1）以点O为圆心，OD为半径作圆交边BC于点P1，如图5。
由勾股定理，得P1C=■=■=3。所以P1（3，4）。
（2）以点D为圆心，OD为半径作圆交边BC于点P2、P3，如图6所示。
分别过点 P2、P3作x轴的垂线，垂足分别为E、F。
由勾股定理易得DE=DF=3。
所以OE=OD-DE=5-3=2，OF=OD+DF=5+3=8。
所以P2（2，4），P3（8，4）。
综合（1）和（2），点P的坐标为（3，4）或（2，4）或（8，4）。
点评 本例在渗透数形结合思想的同时，又考查了分类讨论思想。
