型线为离散点的双螺杆压缩机转子成形刀具计算

何维林，田雅芬，邢子文

（西安交通大学，陕西 西安710049）

型线为离散点的双螺杆压缩机转子成形刀具计算

何维林，田雅芬，邢子文

（西安交通大学，陕西 西安710049）

以具体的实际工业生产遇到的相关问题为例，系统地介绍了成型磨削加工螺杆压缩机转子的原理和方法，并通过对离散点一阶导数的计算及相关研究给出了具体可操作的方案，表明这一方法具有精度高、实际可操作性强等优点，能满足一般工业生产的需要。

双螺杆压缩机；成型磨削；离散点；三次样条函数

1 引言

螺杆压缩机具有结构简单、工作可靠和操作方便等一系列优点，因而自问世起就得到了很快的发展，如今已在空气动力、制冷空调以及各种工艺流程中获得了十分广泛的应用，而且其市场份额还在不断增长，是一种应用前景十分广泛的压缩机。显然，对螺杆压缩机而言，转子是其核心部件之一。目前国内外加工螺杆压缩机转子的方法主要有铣削加工法、滚削加工法、磨削加工法等。铣削加工法在成批生产时需要转子专用铣床，采用普通铣床只能进行小型转子小批量生产，因而应用受限。滚削加工法在提高转子加工速度和精度较铣削加工法优越，但是滚刀制造复杂，价格较高，因此滚削加工法往往用于大批量小型转子的生产。磨削加工法在进一步提高转子的加工速度和精度，同时降低加工刀具的制造费用等方面具有独特的优势，因而获得了越来越广泛的应用，但其所需生产成本较高，其在现阶段难以满足大规模生产的需要。这些常规方法在计算刀具之前都需要转子型线的导数。而在实际的工业生产中，经常会遇到所需型线是由离散点表示的，这时如何根据离散点来获取型线的导数就成为了刀具计算问题中的关键。因此对如何根据离散点来进行刀具设计的相关研究是很有意义的。本文将这一问题进行深入探讨，并通过实例来进行详细说明解决这一问题的具体思路与方法。

2 砂轮廓形的设计原理

根据双螺杆压缩机转子型线（图1），形成转子螺旋面是设计砂轮廓形的关键所在。实际上，螺杆的横截面齿廓线和导程共同决定了其螺旋面，转子横截面齿廓线以一定的导程绕螺杆轴心线作螺旋运动就形成了螺旋面。因为砂轮回转曲面必须满足与转子螺旋面相切这个条件，所以转子螺旋面与砂轮回转面之间相切条件的方程就是接触线方程，右旋方程如下：

图1 螺杆压缩机的转子型线

式中 X，Y——工件螺旋面上某一点的坐标

Ad——工件与砂轮之间的中心距——螺旋参数，其中T为导程

φ——安装角即工件轴线与砂轮轴线之间的夹角

求解上述方程即可得到两相切表面之间的接触点，将其代入砂轮廓形坐标系中的相关方程就能得到砂轮廓形。

螺杆压缩机的型线往往通过离散点的形式给出，当型线是用上述形式表达时，转子螺旋面与砂轮回转面的相切关系式可表示成如下形式

式中 xi，yi——离散点坐标值

Ad——工件与砂轮之间的中心距

φ——安装角即工件轴线与砂轮轴线之间的夹角

由公式（2）可知，求得各离散点的一阶导数是求解砂轮廓形的关键所在，为了获得较高的计算精度，目前常常采用三次参数样条函数或者三次样条函数法。

3 离散点导数的求解方法

下面将采用具体转子型线数据，用三次样条函数计算方法来求解用离散点表示的转子型线的一阶导数。进行计算之前，先对三次样条函数进行简要说明。

三次样条函数简介：

在解决工程实际问题中，工程技术人员常常会将一些指定的样点连结成一条光滑的曲线，这样的曲线称之为样条曲线，对其进行数学模拟导出的函数叫做样条函数。设转子型线离散点坐标为（xi，yi）。通过型线f（xi）=yi的二阶连续导数存在，则f（x）的三次样条函数s（x）应满足

①s（xi）=yi

②二阶导数连续

③s（x）为三次多项式

设hi=xi+1-xi，mi=s＇（xi），

由样条函数的二阶导数连续性知

s〝（xi+）=s〝（xi-），化简并整理可得

μimi-1+2mi+λimi+1=di（i=1，2，…，n-1） （3）

di=3（μif［xi-1，xi］+λif［xi，xi+1］）

欲求出未知数还需补充2个边界条件，对于螺杆压缩机型线，有函数s（x）在两端点处的二阶导数为零，即

将（3）和（4）式合并在一起，则可写成如下矩阵形式

解以上矩阵，则能得到各离散点的一阶导数值mi。

4 实例计算

在现代的工业生产中，用以表示型线的数据往往“成千上万”，处理这么庞大的数据量往往只能采用计算机来求解。为了使得所采用的方法具有较好的通用性与可移植性，本文采用MATLAB编程求解。

一般来说，砂轮廓形的计算步骤如下：

（1）输入螺杆压缩机转子端面型线的基本参数，如离散点坐标数据、工件节圆半径、砂轮直径等；

（2）用三次样条函数或三次参数样条函数计算各离散点的导数mi=dyi/dxi；

（3）通过解接触线方程求出一系列接触点在工件螺旋面坐标系中的坐标（xi，yi，zi）；

（4）将工件螺旋面坐标系中的接触点坐标（xi，yi，zi）代入砂轮关于工件的坐标关系式，求出接触点在砂轮坐标系上的坐标（xj，yj，zj）；

由于受篇幅限制，下面只对其中最为关键的求离散点的导数问题进行详细说明。在进行计算前，必须对所采用程序的正确与否进行检验。

4.1 程序可靠性检验

为检验程序的正确性，现采用结果已知的型线数据来对程序进行检验。部分原始数据见表1，2；原始数据所表示的型线见图2，3。

表1 曲线1相关数据

表2 曲线2相关数据

图2

图3

程序运行结果见图4、5；运行结果与理论值的误差分布见图6、7。

图4 曲线1运行结果

图5 曲线2运行结果

图6 曲线1误差分布

图7 曲线2误差分布

数据处理：

事实上，为了衡量总体误差的大小与偏差，可采用均值与方差或标准差进行描述，其具体计算式如下（为了能更客观的表示误差大小，一律采用绝对值进行计算）。

均值

对于数据曲线1，从图中可以发现最大误差在第762个点，其值为0.716998°，误差分布的均值b¯=0.059669°，方差s2=0.008994°，标准差s= 0.094835°。

对于数据曲线2，从图中可以发现最大误差在第832个点，其值为-0.219342°，误差分布均值b¯= 0.021262°， 方 差 s2=0.000669°， 标 准 差 s= 0.025868°。

综上可得相关结果的误差较小，处于实际工业生产可以接受的范围内。因此可以认为程序所得的结果是正确可靠的。

4.2 实例计算

选取某公司螺杆压缩机型线，转子端面型线如图8、9所示，部分数据如表3、4。

现在需要计算该型线的一阶导数值，并将其用角度值表示出，直接计算后的结果如图10、11（画该图时，已将原始数据点编号）：

发现在90°的附近有“坏点”。

图9 阴转子型线

表3 阳转子端面齿形坐标点

表4 阴转子端面齿形坐标点

图10 阴转子直接运行结果

图11 阳转子直接运行结果

为了找到产生这个问题的原因，笔者在查阅相关资料后发现，对同样的型线坐标点在不同坐标系下所作出的样条曲线是不一样的，由于三次样条法以hi=xi+1-xi为变量参数，当离散点处的一阶导数趋近于无穷大的时候，hi趋近于0，造成方程组无解，这时一般应将离散点旋转到这样的位置，使得在这个坐标系中拟合曲线切线斜率的绝对值越小越好。为了解决这个问题，现采用如下方案重新计算，先将原始数据绕坐标原点旋转一定的角度，其值视具体实际情况而定。对于本例，阳转子型线坐标数据顺时针旋转50°，阴转子型线坐标数据顺时针旋转80°，旋转后的位置及其坐标如图12、13。

对旋转之后的数据再进行计算后发现“坏点”已经消失，如图14、15。

图12 阳转子坐标旋转

图13 阴转子坐标旋转

图14 阴转子修正运行结果

图15 阳转子修正运行结果

从图14、15可以发现，此时的结果已经可用于后续相关计算。

5 结论

本文通过相关具体实例给出了成型磨削加工螺杆压缩机转子的一般原理和具体操作方法。并通过相关实际已知的型线数据说明了该方案的精度与可行性，对相关工业生产具有很强的指导性。同时，笔者发现在用三次样条函数求解用离散点表示的一阶导数时，所得的结果与所选的坐标系有很大的关系，因此也希望能够对今后的相关设计人员的计算能起到一定的启发作用。

［1］邢子文.螺杆压缩机:理论，设计及应用［M］.北京：机械工业出版社，2000.

［2］王可，韩琦，赵巍.螺杆压缩机转子成形磨削中砂轮廓型计算方法［J］.压缩机技术，2002，（1）：7-9.

［3］谢文龙.三次样条函数的构造方法 ［J］.江南学院学报，2000，15（2）：90-93.

［4］刘扬娟.螺杆压缩机的计算几何（一）［J］.压缩机技术，1995，（06）：3-8.

［5］王森.螺旋转子砂轮数控成形磨削技术研究［D］.沈阳工业大学，2013.

［6］韩琦.螺旋曲面数控成形磨削技术的研究［D］.沈阳工业大学，2002.

Calculation of the Forming Cutter Used for Making the Twin-rotor Screw Compressor Whose Profile is Described with the Discrete Point

HE Wei-lin，TIAN Ya-fen，XING Zi-wen
（Xi＇an Jiaotong University，Xi＇an 710049，China）

In this paper，we select the specific related problems in the actual industrial production as an example，to introduce the principle and method of the forming cutter which is used to make the twin-rotor screw compressor systematically and completely.By means of research which is related to the calculation of the first-order derivative，we provide the operational plan based on the related results.We show the plan has the quality of high precision and strong operability，and we also prove the plan can meet the needs of the related industrial production.

twin-rotor screw compressor；form grinding；discrete point；cubic spline function.

TH455

A

1006-2971（2014）06-0008-06

何维林（1992-），男，西安交通大学在读本科生，研究方向为螺杆压缩机的优化与设计。E-m a i l:h e 001 l i n@f o x m a i l.c o m

2014-04-03

海洋公益性行业科研专项经费项目（201305011）