利用著名不等式证明不等式

智婕

（兰州商学院 信息工程学院，甘肃 兰州 730020）

利用著名不等式证明不等式

智婕

（兰州商学院 信息工程学院，甘肃 兰州 730020）

不等式是高等数学中非常重要的课题之一，在高等数学中占有极其重要的地位.因此，对不等式作一些必要的研究具有重大的意义，同时，也为我们如何证明不等式问题提供了必要的理论指导.本文介绍了利用均值不等式、柯西不等式、赫尔德不等式、詹森不等式等著名不等式，拓展证明不等式不同思路，使得不等式有更好的应用，提高学生灵活运用数学知识的能力.

均值不等式；柯西不等式；赫尔德不等式；詹森不等式

不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结.在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证明，本文利用均值不等式、柯西不等式、赫尔德不等式、詹森不等式等著名不等式，尝试把握不等式与著名不等式的密切联系，结合问题的结构特征，用著名不等式的性质、思想和方法来解决有关不等式的证明问题.

1 利用均值不等式

将以上各式相加，得

2 利用柯西不等式

例2设ai∈R，i=1,2,…,n.求证

证明 由柯西不等式

例3已知正数a,b,c满足a+b+c=1.

证明 由条件，

左边=(a+b+c)(a3+b3+c3)

即左边≥(a2+b2+c2)2.

3 利用赫尔德不等式

赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto Holder).这是一条揭示Lp空间的相互关系的基本不等式：

若S取作{1……n}附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数）x1…xn；y1…yn，有

我们称p和q互为赫尔德共轭.

若取S为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式.

当p=q=2，便得到柯西-施瓦茨不等式.

赫尔德不等式可以证明Lp空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明Lp空间是Lq空间的对偶.

求证

证明

4 利用詹森不等式

证明设f(x)=xlnx，x>0.由f(x)的一阶和二阶导数f'(x)，可见，f(x)=xln(x)在x>0时为严格凸函数.依

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1673-260X（2014）04-0010-02