在高等代数中用类比的方法构造反例

2014-07-21薛丽红

赤峰学院学报·自然科学版 2014年6期

关键词：封闭性主子反例

薛丽红

（集宁师范学院数学系，内蒙古乌兰察布 012000）

在高等代数中用类比的方法构造反例

薛丽红

（集宁师范学院数学系，内蒙古乌兰察布 012000）

在学习高等代数过程中反例对问题的理解起着其至关重要作用，构造反例就成为解决问题的关键.本文介绍了构造反例的方法-运用类比的思维方法来构造反例，并通过高等代数中知识说明了该方法的实用性.

类比；反例；命题

高等代数这门课程开设在大一第一学期，它具有概念多、理论性强、抽象等特点.对于刚刚迈进大学校门的新生来说，学习高等代数有些吃力.对于这个情况我们不能忽视.我们知道反例在认知理解事物起着特殊的作用.本文介绍了构造反例的方法—运用类比的思维方法来构造反例，并通过高等代数中知识来验证该方法的实用性.本文利用该方法来构造恰当的反例，从而帮助学生更加深刻地理解掌握概念、命题、定理，提高学生学好高等代数的自信心，同时启发学生主动地构造反例，培养学生的逆向思维和创造力.

运用类比方法构造反例就是利用我们所学过的知识（如定理、命题、熟知的结论）对比新问题，对比出该问题与我们认知的不同地方，从而利用该问题的特点在新的范围内构造反例.

命题1 实对称矩阵A的所有顺序主子式大于等于零，则A半正定

分析：可供类比的定理是实对称矩阵A的所有顺序主子式大于零，则A正定.

这样我们构造反例时先保证顺序主子式大于等于零，而对于主子式来说可有正有负的，于是我们有显然满足命题条件，但A是半负定，可见结论不成立.问题就出在没有满足主子式大于等于零，于是我们放宽条件可得这样结论：

实对称矩阵A的所有主子式大于等于零，则A半正定.

命题2 设V1和V2是线性空间V的子空间，则V1YV2未必是V的子空间.

分析：可供类比的命题是设V1和V2是线性空间V的子空间，则V1IV2是V的子空间.

由子空间判定定理可知我们要考虑加法、数乘的封闭性，对集合V1YV2来说数乘的封闭性显然满足，而对加法运算我们需要验证，可构造反例：在R2中V1={(a,0)|a∈R}和V2={(0,b)|b∈R}为R2的子空间，取α=(1,0),β=(0,1)∈V1YV2，有α+β=(1,1)∉V1YV2不满足加法的封闭性，可见V1YV2不是V的子空间.

注意命题条件再加上V1⊆V2或V1⊇V2，V1YV2就会满足加法的封闭性，使得结论成立.

命题3设A、B分别为n×s、s×n矩阵，若n>s，则|λI-AB|=|λI-BA|.

分析：可供类比的命题是:设A、B为n阶方阵，则|λI-AB|=|λI-BA|.

于是我们构造反例时要满足A、B不是方阵，再分别求出它们的特征多项式.可有有于是可得|λI-AB|λ-8，显然它们的特征多项式不同，结论不成立.细心一些我们会观察到它们还是有一定关系：仅差一个因子，我们会有结论：

设A、B分别为n×s、s×n矩阵，若n>s，则|λI-AB|=λn-s|λI-BA|.

命题4设V是有限维线性空间，σ∈L(V)，则V=σV⊕σ-1(0),其中

分析：对线性变换 σ我们熟知的结论dimσV+dimσ-1(0)=dimV，于是焦点成为证明V=σV+ σ-1(0)成立.我们对比熟知的结论：设V是有限维线性空间，σ∈L(V)，且σ2=σ，则V=σV⊕σ-1(0)，可见一般的线性变换是不能使结论成立的.显然有σV+σ-1(0)⊆V关键证明σV+σ-1(0)⊇V，这样构造反例的线性变换σ不要满足σV+σ-1(0)⊇V，于是有反例：

设V=R[x]5，V上的线性变换σ：σ(f(x))=f'(x)，∀f (x)∈V，则有σV=R[x]4和σ-1(0)=R，于是可得σV+ σ-1(0)=R[x]4+R≠R[x]5，所以一般V不等于值域σV和核σ-1(0)的直和.

从这个反例观察到是值域σV不能使结论成立，但我们能找到与σV同构的子空间W能有结论.设α1,α2,…,αs是σV的一组基，σ(ηi)=αi,∃ηi∈V, i=1,2,..s，W=L(η1,η2,…,ηs)，则V=W⊕σ-1(0).

命题5设A、B为正定矩阵，则A-B正定.

分析：可供类比的结论是：设A、B为正定矩阵，则A+B正定.

由A、B对称，则A-B也对称，特别地当这两个矩阵相同时A-B就为零矩阵，显然结论不成立.反例如下：