电场中轨迹问题的定性分析

刘华

在电场中，由带电粒子的运动轨迹出发，通过判断粒子受力、做功情况，进而确定粒子的动能、势能的变化及电场强度、电势分布，这是电场中常见的题型。因其考查了“运动和力”、“功和能”及电场自身的性质等多方面的知识，综合性较强，故成为考查学生对知识的理解与应用的一个热点。其中带电粒子轨迹的弯曲方向是该类问题的讨论突破口。

一、基本理论

1.轨迹与力的关系

如图1所示，在粒子运动轨迹上的两点的速度分别为v■、v■，由矢量运算法则可知速度改变Δv方向如图2所示，也就是粒子受到的合外力指向轨迹弯曲的方向。

图1 图2

记住一个结论：做曲线运动的物体受力指向轨迹弯曲的方向。只受电场力时，与电场线的方向相切。

2.力与功的关系

当粒子顺着电场力的方向运动，电场力做正功；当粒子逆着电场力的方向运动，电场力做负功。

3.电场力做功与粒子动能、电势能的关系

当只有电场力对粒子做功时，电场力做正功，动能增大，电势能减小；当电场力做负功，动能减小，电势能增大（动能定理）。电势能和动能的总和不变。

二、实例分析

例1：如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即U■=U■，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知（？摇？摇？摇？摇）

A.三个等势面中，a的电势最高

B.带电质点通过P点时的电势能较Q点大

C.带电质点通过P点时的动能较Q点大

D.带电质点通过P点时的加速度较Q点大

解析：由粒子运动轨迹的弯曲方向知，电场力的方向为右偏下；而粒子带正电荷，粒子受到的电场力方向与场强方向相同，所以电场的方向也为右偏下，由此可画出电场线的大致方向。由顺着电场线方向电势降低知，a的电势最低，所以A答案错误；在粒子由Q运动到P的过程中，由粒子的速度方向为轨迹的切线方向知，速度方向与电场力方向之间的夹角大于90°，所以电场力对粒子做负功，粒子的动能减小，粒子的电势能增加，B答案正确，C答案错误；由等势线与电场线的关系知，等势线密的地方电场线密，电场强度大，所以有E■>E■，而加速度a=qE/m，所以有a■>a■，D答案正确。所以正确答案为B、D。

例2：一带电粒子射入一固定在O点的点电荷电场中，粒子运动轨迹如图中虚线abc所示，图中实线是同心圆弧，表示电场的等势面，不计重力，可以判断的是（？摇？摇？摇？摇）

A.粒子受到静电斥力的作用

B.粒子在b点的电势能一定大于在a点的电势能

C.粒子在b点的速度大于在a点的速度

D.粒子在a点和c点的速度大小一定相等

解析：与上题思路相同，由轨迹的弯曲方向知，粒子受到的电场力方向向左，所以两个电荷间存在的是斥力，A答案正确；在粒子由a点运动到b点的过程中，电场力对粒子做负功，粒子的动能减少，粒子的电势能增大，所以B答案正确，C答案错误；因为a、b在同一等势面上，所以粒子由a点运动到c点的过程中，电场力对粒子做功为零，由动能定理知，粒子的动能改变量为零，即a、c两点动能相等，a、c两点速度大小相等，D答案正确。所以正确答案为A、D。

例3：如图所示，虚线为某电场的等势面，今有两个带电粒子（不计重力），以不同的速率，沿不同的方向从A点飞入电场后，沿不同的径迹1和2运动，由轨迹可以断定（？摇？摇）

A.两粒子带电多少一定不同

B.两粒子的电性一定不同

C.粒子1的动能和粒子2的电势能都是先减少后增大

D.经过B、C两点，两粒子的速率可能不等

解析：只由粒子运动轨迹不能判定电量的大小，所以A答案错误；与上题思路相同，由粒子的运动轨迹知，粒子1和2受到的电场力方向都向左，所以1受到的是斥力，2受到的是引力，1和2一定是异种电荷的运动轨迹，所以B答案正确；粒子1受到的电场力对1粒子先做负功后做正功，粒子1的动能一定是先减小后增大，电势能一定是先增大后减小；粒子2受到的电场力对粒子2先做正功后做负功，所以粒子2的动能一定是先增大后减小，电势能一定是先减小后增大，C答案正确；由于B、C两点在同一等势面上，所以在AB、AC过程中电场力做功相同，动能的改量相同，但粒子在A点的初动能不一定相等，所以B、C两点的动能不一定相同，速率也不一定相同。故正确答案为B、C、D。

例4：如图所示，a、b带等量异种电荷，MN为ab连线的中垂线，现有一个带电粒子从M点以一定初速度v■射出，开始时一段轨迹如图中的实线，不考虑粒子的重力，则在飞跃该电场的过程中（？摇？摇？摇？摇）

A.该粒子带负电

B.该粒子的动能先减小后增大

C.该粒子的电势能先减小后增大

D.该粒子运动到无穷远处后，速率一定仍为v■的大小

解析：由粒子轨迹的弯曲方向可以知，粒子受到的电场力方向向右，所以粒子一定带负电荷；粒子由M点运动到无穷远处过程中，电场力先做正功后做负功，动能是先增大后减小，电势能是先减小后增大；MN是一条等势线并连接到无穷远，和无穷远处的电势相等，当粒子由M点运动到无穷远处时，电场力做功为零，所以动能的改变量为零，初末状态的动能相等，所以初末状态的速度大小相等。故正确答案为A、B、C、D。