等效法在物理解题中的应用

许晓卫

物理状态的确定、物理过程的发展，往往是由多个因素共同决定的。若其中某些因素的作用和另外一些因素的作用相同，则前一些因素与后一些因素是等效的，它们便可以相互代替，而对物理状态的确定、过程的发展并不影响，这种以等效为前提使某些因素相互替代的方法就是等效法。在面对一个复杂的问题，或者不熟悉的情景时，提出一个简单的方案或设想，使它们的效果完全相同，从而将问题化难为易，化生为熟，顺利解决。

1.运动等效

直线运动的规律不能直接应用于曲线运动，使学生往往感到曲线运动难以把握。运用等效的观点，将曲线运动分解为两个简单的直线运动，化曲为直，降低解题难度。

例题：跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特别建造的跳台所进行的。运动员着专用滑雪板，不带雪扙在助滑路上获得高速后水平起跳，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观。如图所示，设一位运动员由a点水平跃起，到b点着陆时，测得a、b间距离L=40m，山坡倾角θ=30°。试计算运动员起跳的速度和他在空中飞行的时间。（不计空气阻力，g取10m/s）

解析：运动员起跳后不计阻力做平抛运动，将其沿水平、竖直方向分解，设运动时间为t，初速度为v■，水平位移X=Lcosθ=v■t，竖直位移Y=Lsinθ=■gt■，且满足关系tgθ=■，联立得t=■=■s=2s v■=■=■m/s=10■m/s

2.过程等效

中学物理中有些问题所涉及的过程非常复杂，以致我们无法搞清楚整个过程中的各个细节，有时又没必要严格地搞清楚细节的情况，特别是运用动量或能量解答的某些题目中，我们往往只要把握住起始和终点时刻的状态，定性地分析过程，运用等效的观点，将整个过程等效为一个相对简单的过程，从而方便求解。

例题：如图所示，A、B是位于水平桌面上的两个质量相等的小木块，离墙壁的距离分别为L和，与桌面之间的动摩擦系数分别为μ■、μ■。今给A以某一初速度，使之从桌面的右端开始向左运动，假定A、B之间，B与墙壁之间的碰撞时间都很短，且碰撞中总动能无损失，若要使木块A最后不从桌面上掉下来，则A的初速度最大不超过多大？

解析：L滑动摩擦力作用下木块A向左运动，通过距离L﹣l与发生无动能损失的碰撞，因质量相等，碰撞后交换速度，即A静止在B原来的位置，B以碰撞前A的速度克服摩擦力作用向左运动。B运动距离l到墙壁处发生无动能损失碰撞，碰后以碰前的速率向右运动，再次与A碰撞，再次交换速度，B静止，A向右运动。当A到达桌面右端时停下，A的初速度为最大值。以上过程可等效为木块A一直沿水平桌面克服摩擦力减速运动，而它与距桌面右侧的2（L-l）范围内、距桌面左侧2t范围内的动摩擦系数分别为μ■、μ■。设A的最大初速度为v■，质量为m，对其运动的全过程运用动能定理：

-2μ■mg（L-l）-2μ■mgl=-■mv■■，可得v■=2■

3.对象等效

同一物理现象中涉及多个物体，物体之间的相互作用复杂，采取隔离法逐一处理常常计算量大、过程繁琐。若灵活地取其中几个物体构成的整体为研究对象，因不考虑这些物体间的相互作用情况，则往往使问题简单化。

例题：如图所示，水平转盘绕竖直轴转动，两木块质量分别为M与m，到轴线的距离分别是L■和L■，它们与转盘间的最大静摩擦力是其重力的μ倍，当将两木块用水平细线连接在一起随圆盘一起转动不发生相对滑动，转盘的最大角速度可能是多少？

解析：如果将两物体分别隔离，运用向心力公式建立方程，并进行讨论求最大角速度，则过程复杂。由于两物体与转盘间最大静摩擦力均是重力的μ倍，因此可将它们作为一个整体分析，当角速度最大时，整体所受静摩擦力最大。

由向心力公式得μ（m+M）g=Mω■L■+mω■L■，故ω=■

4.情景等效

物理往往与我们的生活实际紧密相关，实际生活为背景的创新题学生常不易把握，关键是学生缺乏抽象出实际问题中的物理模型的能力。在弄清实际问题中起关键作用的因素基础上，将实际情景用熟悉的物理情景代替，可变生题为熟题，问题自然迎刃而解。

例题：一天下着倾盆大雨，一乘客发现车厢的双层车窗玻璃内有积水，火车进站时乘客发现积水成图示形状，水面倾角为α，那么进站时火车的加速度为多少？

解析：车窗玻璃内积水可以看做是由大量的水珠组成，重力作用下水珠之间相互挤压，但相对静止，若将水面等效于一光滑的斜面，设想在水面上取一滴水珠，实际情景等效为光滑斜面上一小物体与斜面一起做变速运动。由牛顿第二定律可得a=gsinα。

5.作用等效

在效果相同的前提下，合力与分力可以相互替换作用。

例题：假设地球是一半径为R、质量均匀分布的球体。一矿井深度为d，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面处重力加速度之比是（ ）

A.1-■ B.1+■ C.（■）■ D.（■）■

解析：本题关键是地球对矿井底部物体引力的计算，无法根据万有引力定律直接计算，可等效为厚度R-d的球壳、半径d的质量均匀球体对物体引力的合力。依题意知球壳对物体的引力为0，则地球引力等于半径d的质量均匀球对物体引力，所以矿井底部重力加速度相当于半径R-d的地球产生的。设地球密度为ρ，地面处■=mg，M=■πρR■，联立得g=■πρGR，故■=■，正确选项为A。

6.场等效

空间存在多个场组成的复合场，可将复合场等效为一个重力场，求得等效重力加速度，根据重力场特性分析解决有关问题。

例题：竖直平面内固定一光滑绝缘的圆环轨道，半径为R，平行于圆环平面的水平匀强电场水平向右。一带电小球在圆环上静止在A点，它与圆心O的连线与竖直方向的夹角α=60°，现在给小球一沿圆环切线方向初速度，欲使小球沿圆环做完整的圆周运动，v■需要满足什么条件？

解析：空间存在着重力场和电场组成的复合场，为简化处理，将复合场等效为重力场，确定等效重力场的重力加速、等效最高点和最低点，根据重力场中的圆周知识处理即可。

小球原来静止，等效重力加速g′=■。等效最点为A、最高点B。小球要做完整的圆周运动，在B点速度需满足v■≥■=■，在等效场中小球由A点运动到B点过程，运用动能定理得-2mg′R=■m（v■■-v■■），联立得v■≥■.

7.电路结构等效

电路问题就是研究电源提供的电压、电流、电功率在外电路的分配，知识内容单一，难在于对电路结构分析。常将复杂的实际电路用一个连接关系简单的等效电路替代，使问题简化。

例题：一直流电路如图所示，直流电源的电动势为E、内电阻为r，R为一定值电阻，R■为滑动变阻器，其全电阻R■>R+r，滑动变阻器的滑片，问为多大时变阻器消耗的电功与率最大？

解析：若运动闭合电路欧姆定律先求电流，再运用电功率公式求解R■消耗电功率，计算繁琐。若将电源与R看做整体作为一等效电源，那么电源的输出功率即为R■消耗的电功率。等效电源E′=E、r′=R+r，可知当R■=r′=R+r时，R■消耗电功率最大。

等效法强调的是在效果相同的前提下，将复杂的、陌生的物理状态或过程，用简单的、熟悉的物理状态或过程代替。在具体问题中需要认真分析物理状态、物理过程，确定具体问题中，起决定性作用的因素有哪些，然后用我们熟悉的物理情景代替实际情景，使复杂的、不熟悉的问题顺利求解。