数学在地球物理学中的应用

程丰波 马征 范开 周刘军 李闯建

摘 要： 地球物理学是一门通过用数学知识解释地下异常体在各种场中的响应，从而为资源勘探、工程施工等提供指导的综合性学科。本文就矿井瞬变电磁法时深转换公式推导及直流电法勘探中均匀电流场球体电位推导阐述数学在地球物理学中的重要性。

关键词： 数学 地球物理学 拉氏变换 贝塞尔方程

引言

科学技术发展到今天，越来越显示科学技术化、技术科学化的趋势。地球物理学的发展离不开其理论研究的进步，而其理论研究则依托了数学、物理学、电子科学和计算机科学的最新成就。但是应用地球物理学教学学时较以前有大幅压缩和裁剪，这使得很多地球物理学本科毕业生缺乏扎实的与专业相关的数学知识从而使其对专业理论理解不深厚[1]，[2]。

在进行地球物理勘探时，需要对勘探过程得到的信息进行处理，傅立叶级数与变换、拉普拉斯变换、微分方程求解等都是处理地球物理勘探信息的主要数学方法。此外，地球物理中的分支电磁法勘探中的诸多理论知识都是依托大量数学知识发展起来的[3]。

1.常用数学知识介绍

（1）拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是处理工程技术信息数据的一种常见数学方法。一个实变量函数在实数域中进行一些运算往往并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，这样在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化[4]，[5]，[6]，[7]。

拉普拉斯变换有关概念在此不做详解，在用拉普拉斯变换解微分方程时常常用到它的以下性质：

微分性质：L[f■（t）]=p■L[f（t）]-p■f（0）-p■f′（0）-…-f■（0）

积分性质：L[？蘩■■f（π）dτ]=■L[f（t）]

卷积性质：L[f■（t）*f■（t）]=L[f■（t）]·L[f■（t）]

通过解下面的常微分方程的初值问题了解拉普拉斯变换的应用：

T■″（t）+（■）■T■（t）=f■tT■（0）=0T■′（0）=0

对方程两边取拉普拉斯变换并设：■（p）=L[T■（t）]；F（p）=L[f■（t）]

则由拉普拉斯变换的微分性质可得出：

p■■（p）-pT■（O）-T■′（O）+（■）■■（p）=F（p）

代入初始条件得到：

p■■（p）+（■）■■（p）=F（p）

■（p）=F（p）×■

又由公式L[sinat]=■得到■=■L[sin■t]

故由卷积公式有：T■（t）=L■[■（p）]=：L■[F（p）]·■

=■L■[L[f■（t）]·L[sin■t]]=■f■（t）*sin■t=■？蘩■■f■（τ）sin■（t-τ）dτ

（2）贝塞尔函数及勒让德方程简介

贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆赫兹方程时得到的（详细过程请参照参考文献[3]），因此贝塞尔函数在波动问题及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位[5]，[8]。

贝塞尔方程的形式为：x■y″+xy′+（x■-υ■）y=0，0

式中υ为非负实数，称为贝0塞尔方程的阶。取x■=0为展开中心，就可以用广义幂级数方法求出其一个特解即贝塞尔函数：J■（x）=∑■■■（■）■

贝塞尔方程的通解为一个与J■（x）线性无关的独立解：y■=AJ■（x）+BJ■（x），通过朗斯基行列式可以求得J■=■

勒让德多项式是数学物理问题中最重要的函数集合之一，它在求解三维空间中的球对称问题，譬如计算点电荷在空间中激发的电势时通常要用到勒让德多项式作级数展开。

勒让德方程：（1-x■）y″-2xy′+1（1+1）y=0，x=0为方程常点，故可设在x=0的领域内，其解为y=∑■■C■x■，将此解代入方程可推导出C■的表达式，从而可求出方程的解。C■即为n阶勒让德多项式，C■=■为勒让德多项式的表达式[5]。

2.矿井瞬变电磁法时深转换

矿井瞬变电磁法勘探接受回线测量的是巷道附近导电岩层在一次电磁场激励下产生的纯二次感应场随时间变化的规律，反映巷道附近导电介质电性分布特征，可换算为勘探体积范围导电介质的视电阻率随时间变化曲线，依据该曲线只能解释出不同时间巷道周围导电介质的电性分布特征，与电性介质的具体分布范围和空间位置（深度）很难直接对比，无法满足生产实际要求。因此，必须将视电阻率随时间变化的曲线转换为随深度变化的曲线（简称时深转换），综合矿井地质和水文地质等资料解释，从而可以确定巷道附近导电介质的分布范围和具体空间位置（深度），对解决实际地质问题更具指导意义[9]。

矿井瞬变电磁法时深转换步骤如下：

电磁场传播深度D（t）为时间的函数：D（t）=？蘩■■v（p，t）dt（1）

■=■？蘩■■L■■[■]J■（λ）J■（Kλ）λ■dλ（2）

Q=■？蘩■■[■-λe■erfc（λτ■+■）]J■（λ）λ■dλ（3）

■=■γ■？蘩■■（2λz■-λz-1）e■J■（λ）λ■dλ（4）

上式中λ=μa■/4ρt，A是发射回线有效面积，（3）式中三项积分前两项可以求出，第三项无法直接求取，故对第三项积分采用Taylor级数展开并积分得：

？蘩■■e■J■（λ）λ■dλ=4γ■e■（5）

并且

？蘩■■λ■e■J■（λ）dλ=■∑■■■？蘩■■λ■e■dλ=8γ■∑■■■（-γ）■（6）

将式（5）和（6）代入式（4）中得：

■=■γ■[2γZ■-1-2γ■ZC■（γ）]（7）

式中C■（γ）=e■∑■■■（-γ）■，当磁场对时间变化率极大值时，电磁场达最大深度Z为：Z=■=■（8）

实际计算中，由于C■（γ）式中Γ函数存在，求和式出现的截断误差可能影响C■（γ）数值解。为了减小这种影响，对C■（γ）式右边进行Kummer变换，得：

C■（γ）=■[1-■-∑■■■（■）■]（9）

已知电磁场垂直分量在某一时间内传播的垂直距离公式（8）中的D，则电磁波在垂直方向上的扩散速度为：

V=■=■{C■+（C■■+2）■+[1+■]γC■}（10）

式（10）是巷道顶板和底板为均匀导电全空间电磁波在发射回线中心垂直方向的扩散速度，如果已知不同时刻对应的电阻率值，则可换算出不同深度对应的电阻率值。

3.均匀电流场中球体的电位推导

设在均匀各项同性无线导电岩石中，有一半径为r■的球形矿体，围岩电阻率为ρ■，球体电阻率为ρ■，均匀电流场的电流密度为j■

因为球内球外电位均满足拉普拉斯方程：■（r■■）+■·■（sinθ■）=0（11）

解上式偏微分方程用分离变量法可设U■（r，θ）=f（r）？覫（θ）（12）

将（12）式代入（11）式中两边整理得：

■·■[r■■]=-■·■[sinθ■]（13）

（13）式为左右两边两个互不相关的函数相等，故只有两个函数均等于同一个常数C才能使等式成立。即有：

■·■[r■■]=C（14）

■·■[sinθ■]=-C（15）

（14）式可化简为欧拉方程的求解得C=n（n+1），这里不作细述。将C=n（n+1）代入（15）式中得：

■·■[sinθ■]+n（n+1）？覫（θ）=0（16）

可见（16）式为n等于任意整数时的勒让德方程，其解为？覫（θ）=p■cosθ

然后根据此模型的边界条件联立方程组即可得出球内球外电位表达式[10]。

结语

从上面两个例子可以看出要想深入了解研究地球物理学中的原理必须有扎实的数学基础。因此笔者建议高等院校在为地球物理学本科生（无论是理学还是工学）开设课程时注重数学知识的应用，只有深入理解掌握地球物理学原理和数据处理的方法，才能更好地将其运用于实践中。

参考文献：

[1]宋娟，印兴耀.地球物理学专业双模式人才培养方式的研究与探索[J].中国地质教育，2013，3：17-19.

[2]孙建国，杜晓娟.目前应用地球物理学本科教育所面临的挑战与对策[J].中国地球物理学会年刊，2001.

[3]李恩宇.地球物理勘探中的数学方法[D].吉林大学，2009：1-2.

[4]殷清亮，赵连成.拉普拉斯变换的研究[J].内蒙古大学学报，2001，16（1）.

[5]姚端正，梁家宝.数学物理方法[M].武汉大学出版社，2011.

[6]Likexue，Pengjigen.Laplace transform and fractional differential equations[J].Applied Mathematics Letters，2011，No 24：2019-2023.

[7]Shy-DerLin，Chia-HungLu. Laplace transform for solving some families of fractional differential equations and its applications[J]. Advances in Differential equations， 2013.

[8]黄银生，倪致祥.贝塞尔方程通解的一个简明推求[J].阜阳师范学院学报，2009，26（2）.

[9]于景邨.矿井瞬变电磁法勘探[M].徐州：中国矿业大学出版社，2007.

[10]李金铭.地电场与电法勘探[M].地质出版社，2007.

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