工程硕士数值分析课程教学方法研究

薛文珑

摘 要： 本文针对工程硕士数值分析教学过程存在的问题，结合数值分析的特点，对数值分析课程的教学内容设计、教学方法进行研究，并提出教学改革建议。

关键词： 工程硕士 数值分析课程 教学方法

数值分析课程是研究建立应用计算机解决各类数学问题的数值计算方法与理论，是一门研究内容丰富、研究方法深刻、实用性较强、具有自身理论体系的课程。它既有纯数学的抽象性和严谨性，又有广泛的应用价值。数值分析研究过程是在解决工程实际问题时，应用有关科学知识和数学理论建立数学模型，提出求解的数值计算方法直到编程上机得到实现。所以对于工程硕士掌握数值分析这门课程中的基本理论及其应用具有重要意义。工程硕士生大部分是企业的领导或技术骨干，业务繁忙，脱产学习的时间无法保证，若其数学基础不够扎实，学习起来比较吃力，容易导致数值分析课程教学质量偏差。如何讲授好这门课程，提高工程硕士学生解决实际工程问题的能力是值得思考的重要课题。笔者针对工程硕士数值分析课程的教学方法提出建议。

1.教学过程内容的设计

数值分析是一门内容丰富、与计算机密切结合的基础课程，内容大体包括三个部分：数值代数、数值逼近和微分方程解法。内容有大量的冗长的计算公式和理论，这就要求任课教师在教学过程中花费大量的教学时间进行推导和证明。教学过程存在的问题是：一是工程硕士在这门课程的学时较少，一般为36学时～48学时，许多学生多年缺乏数学培训，导致理解能力较差，形成教学内容较多、学时较少的多重矛盾局面，容易被动学习，不利于教学质量的提高，不利于学生掌握本课程的核心。二是工程硕士生来自不同行业，有着不同的专业和工程背景、不同的实践经验和解决问题方法，必然对教学内容、教学方式提出更高要求。笔者结合多年的教学经验，认为必须合理取舍教学内容，要切实结合工程硕士学生的职业背景和学生的需求，突出其实用性和综合性，使学生掌握本课程的关键问题。首先，必须掌握的内容：（1）误差分析理论；（2）插值法；（3）解线性方程组的直接法；（4）非线性方程组的迭代法；（5）曲线拟合；（6）常微分方程初值问题和函数逼近。其次，时间允许的条件下可以介绍矩阵特征值计算的各种方法、数值积分和数值微分的思想方法。最后，设置实用性较强的实验课程，有针对性地布置实验的内容和方式。

2.教学过程方法的设计

2.1情景教学法

情境教学法是指在教学过程中，教师有目的地引入或创设具有一定情绪色彩的、以形象为主体的生动具体的场景，以引起学生一定的态度体验，从而帮助学生理解教材，并使学生的心理机能得到发展的教学方法。在教学过程中，采用情境教学式，结合工程硕士工作的行业背景，使学生对所要解决的问题更重视。下面通过两个实例说明情境教学法。例1：在讲解非线性方程求根，情景问题：在相距200米的两个建筑物（高度一样）中间悬挂一根电缆，电缆的最低点距离地面2m，计算所需电缆的长度。把所要讲解的内容和工程硕士碰到的实际问题结合，激发学生的学习兴趣，增强教学效果。例2：讲解曲线拟合章节，情境问题：某公司有一批化肥需要出售，如果按照往年统计资料，零售价增高，销量减少，如果做广告，可使销量增加，具体增量以销售量提高因子有关，另外广告费用由于销售量提高因子相关，问如何确定这批化肥的出售价格和广告费可使公司利润最大？情境教学不存在绝对正确的答案，目的在于启发学生独立自主地思考、探索，注重培养学生独立思考的能力，启发学生建立一套分析、解决问题的思维方式，突出实践性，实现从理论到实践的转化。

2.2比较教学法

比较教学法是教学过程中，教师在多种求解方法中向学生呈现多种解法和算法的差异，分析其优缺点，，求同寻异，促进和加深学生对知识的理解。在工程硕士数值分析课程教学中的主要方式有：类比和对比，下面以插值法、特征值求解和非线性方程求解的过程加以比较。

插值法是一种古老而实用的方法。Lagrange插值法比较直观明确，给两个节点，构造其基函数，但增加一个节点，基函数的表达式就要重新运算；Nexton插值在计算插值多项式及求函数近似值较方便，而且能节省计算量。在实际应用中很少使用高次插值，更多使用分段低次插值，特别是三次样条插值，因为它不仅具有良好的收敛性和稳定性，而且具有二阶光滑度，因此在理论和应用上均有重要的意义。

幂法是求解矩阵最大模特征值和特征向量有效简单方法，适用于大型稀疏矩阵，Jacobi方法是一种经典方法，QR方法是至今为止最有效的求矩阵特征值的方法。用对比方法分析几种求解方法的优缺点，幂法简单方便求解，但它的收敛速度是线性。Jacobi方法在大多数情况下与对称矩阵的QR方法相比，没有优势，但当矩阵接近对角形势，比较有效。

非线性方程根的求解方法中，Newton迭代法收敛速度很快，在单根的情况下，Newton迭代法是二阶收敛的，但是其对初值要求较高。弦截法和抛物线法是多点迭代法，它们属于插值方法，在求解复根时具有较大的优势。利用比较教学法让学生碰到实际问题，较好地理解实际问题的算法和应用。

2.3重视算法设计教学法

算法设计是在数值分析教学过程的灵魂，加强算法设计的技术教学，可以提高学生学习的兴趣，也可以提高学生解决程序设计困难问题的能力。归纳起来有三种技术，即缩减技术，校正技术和松弛技术，现以实例讲解几种算法的设计。

2.3.1缩减技术是运算结果递归。例3求和S=a■+a■+…+a■，算法设计：

用b■表示数列前ks项部分和，则有b■=a■b■=b■+a■k=1，2，…n，上述的算法设计思想是每一步相加，规模递减，最终求得其和。

2.3.2校正技术也是迭代法。例4求■（a>0），算法设计：

把问题转为解方程x■-a=0，给定预估值x■借助简单方法确定校正量Δx（Δx较小），使校正值x■=x■+Δx较为准确地满足方程x■-a=0，使（x■+Δx）■≈a成立，舍去（Δx）■，令x■■+2x■Δx=a，求得x■=■（■+x■），反复使用校正技术可得迭代公式x■=■（x■+■），k=0，1，2…其思想是删繁就简，逐步求精。逼近程度也高，获得校正量越精确。

2.3.3松弛技术就是加权平均法，例5设t■的精确值为t■=■，校正值为t■=■，求其近似值。算法设计：由校正值可得a■t■-a■t■=b，两边除以a■-a■得（1-ω）t■+ωt■=■（其中ω=■），可见精确值等于预估值和校正值得加权平均，即通过适当选取权系数调整校正量，加工得到更高精度的改进值■，其思想是化粗为精，步步逼近。

除了上述几个建议以外，还可以采用合适的教材、加强实验教学的改革、分层次教学等教学方法。总之，工程硕士数值分析的教学是既复杂又实用，既有原则又灵活的。

3.结语

数值分析是一门实用性和应用性很强的课程，注重解决实际问题的思想和方法，它的思想包括“以点带面”、“等价代换”、“逐次逼近”等，它的宗旨是把具体问题建立数学模型，使用计算机通过数值计算或数值模拟解决工程实际问题和科学研究中的关键问题。学习数值分析是一项长久持续的过程，既重视理论又重视应用。经过几年工程硕士数值分析课程教学改革和实践，教学效果越来越显著，但工程硕士“进校不离岗”的特殊性，给本课程培养质量带来了一定的影响。因此，在工程硕士数值分析教学过程中，一方面要培养学生具有坚实的基础理论，另一方面要培养学生重视分析、解决工程实际问题的能力，真正达到数值分析课程培养目标的要求。

参考文献：

[1]丁丽娟，程杞元.数值计算方法[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]王能超.数值算法设计[M].武汉：华中理工大学出版社，1988.

[3]黄明福，陳玲.工程硕士培养质量的分析、思考与对策[J].北京理工大学学报，2009（1）.

[4]闵杰，李义宝.高校《数值分析》课程组合式教学方法探索研究[J].高教论坛，2010（6）.

[5]何满喜.数值分析课程教学的几点体会及研究[J].中国大学教学，2011（3）.