微元法在电磁感应中的应用

徐奇峰

摘 要： 微元法是分析、解决物理问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。在电磁感应过程中，速度的变化导致安培力发生变化，进而导体棒的加速度也发生变化，可以用微元法。

关键词： 微元法 电磁感应 应用

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。基本功能就是“化变为恒”，也就是说抓住“变化”的这一本质特征而通过限制“变化”所需的时间或空间把变化的事物或变化的过程转化为不变的事物或不变的过程。在电磁感应过程中，导体棒导体切割磁感线运动，产生感应电动势为E=BLv，感应电流为I=■，受安培力为F=BIL=■v，速度的变化导致安培力发生变化，进而导体棒的加速度也发生变化，匀变速运动公式已不适用，此时可以用微元法。在处理这种非匀变速运动问题时，从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体的方法。在解题过程中，常常遇到非匀变速运动过程中求位移、电量、能量等问题，灵活运用微元的思想，可以帮助我们更深刻地理解物理过程。

一、只受安培力的情况

例1：如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感强度B=1T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m，现有一边长l=0.2m、质量m=0.1kg、电阻R=0.1Ω的正方形线框MNOP以v■=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场。求：线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n。

解：

线框在进入和穿出条形磁场时的任一时刻，受到安培力的大小F=■，

在△t时间内，由牛顿定律：■△t=△v，求和∑（■）v△t=∑△v，■·x=v■

解得x=■=1.75m，

线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n=■=4.375，取整数为4。

例2：如图所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，现给金属杆一个水平向右的初速度v■，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？

解析：从a向b看，作出杆在运动过程中的受力分析图（如图甲所示），这是一个典型的在变力作用下求位移的题，用微元法可以求解。

设杆在减速中的某一时刻速度为v，取一极短时间△t，发生了一段极小的位移△x，在△t时间内，磁通量的变化为△Φ

△Φ=BL△x I=■=■=■

金属杆受到安培力为F■=ILB=■

由于时间极短，可以认为F■为恒力，选向右为正方向，在△t时间内，

导体棒的速度变化为：△v=-a·△t=-■

对所有的速度变化求和，可得-v■=∑（-■）=-■x其中x为杆运动的最大距离，

求得：x=■

在只克服安培力做功情况下，速度、电动势E（BLv）、电流I（■）、安培力f（BIL）都与位移x（受安培力作用时走的距离）呈线性关系。

二、既受安培力又受其他恒力的情况

例3：如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一倾角为α的光滑绝缘斜面上，导轨间距为L，电阻忽略不计且足够长，一宽度为d的有界匀强磁场垂直于斜面向上，磁感应强度为B。另有一长为2d的绝缘杆将一导体棒和一边长为d（d

【解析】穿越过程中在t→△t时间内，

由牛顿定律：■△t=△v

∑△v=∑[gsinα+■]△t？圯v■=gt■sinα-■（t■为所求）

又穿越前BILd-mgsinα·2d=■v■■？圯t■=■

例4：如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计。场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d■，间距为d■，两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直（设重力加速度为g）。若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b又恰好进入第2个磁场区域，且a.b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相同，求a穿出第k个磁场区域时的速率v。

【解析】在無磁场区域时，根据匀变速直线运动规律有v■-v■=gtsinθ

且平均速度■=■

在有磁场区域，棒a受到的合力F=mgsinθ-■v

根据牛顿第二定律，在t+△t时间内∑△v=∑■△t

则有：∑△v=∑[gsinθ-■]△t解得：v■-v■=gtsinθ-■d■

联立解得v■=■sinθ-■

由题意知：v=v■=■sinθ-■

微元法解题，体现了微分和积分的思想，在时间△t很短或位移△x很小时，非匀变速运动可以看做是匀变速运动，这一过程体现了微分思想，求和过程体现了积分思想。

这种思想在物理教材中曾出现过，如证明“在速度时间图像中图像与坐标轴所围图形的面积等于位移”结论时就用到了这一重要思想。学生具备了这种思想，更有利于理解和掌握“微元法”问题。

在具体应用微元法时，合理的操作步骤为：（1）选取微元量化元过程；（2）运用规律表达元过程；（3）实施叠加求解全过程。