噪声环境下纠缠二能级原子的量子Discord动力学

王霄萍　周清平

【摘 要】噪声环境中量子Discord动力学是实际量子信息处理的关键问题，本文研究了两个任意纠缠二能级原子与耗散环境相互作用的量子Discord。

【关键词】纠缠二能级原子；噪声环境；量子Discord

0 引言

量子纠缠现象是量子力学中最为奇妙的特征之一，量子纠缠态被认为是实现量子信息处理的一种重要的物理资源，已经广泛应用于量子隐形传态、量子密集编码、量子密码通信以及量子计算等量子信息任务。然而，在实际的物理环境中，量子系统不可避免受到外界环境的影响，量子纠缠态与环境发生相互作用导致量子纠缠退化与耗散，甚至退相干。随着量子信息技术的发展，人们发现，在没有量子纠缠的情况下仍然可以实现量子通讯等过程，这个重大发现最早是被Datta[1-2]等人提出的。近年来，Ollivier和Zurek等人[3-4]的研究工作中提出了这样一种量子关联度量方法——Quantum Discord（量子失谐）的概念，把经典世界中的互信息和条件熵理论用到量子世界中，更好地描述量子系统中所有的量子关联特性。本文主要研究两个处于任意纠缠态的二能级原子与噪声环境相互作用的量子Discord动力学。

1 二体纠缠系统态的量子Discord

对于一般的由A和B构成的两体量子系统，量子态可以用密度矩阵ρ表示。量子Discord定义为总关联和经典关联的差：

■（1）

ρ为系统的密度算符，总关联用量子互信息表示：

■（2）

其中S（ρ■■）、S（ρ■■）是冯·诺依曼熵，λj为本征值。经典关联可表示为：

■（3）

量子比特与库相互作用附加真空腔后，本征值可表示为：

■（4）

冯·诺依曼熵为：

■

（5）

2 噪声环境下纠缠二能级原子的演化规律

Alice和Bob共享一对纠缠原子量子对，在希尔伯特空间中表示为■和■。我们假设每个耗散腔是独立的，由一个可控二能级原子的激发态和基态组成的单量子比特和高-Q腔相互作用，量子比特与库相互作用的动力学取决于如下哈密度量[5]，

■（6）

ω0是跃迁频率，■和■是系统的产生和湮灭算符，ωk表示第k个场模的频率，■■和■■表示第k个场模的产生和湮灭算符，gk为耦合常数。由于初始量子比特与库之间没有相互作用，纠缠资源附加真空环境可表示成：

■（7）

■表示N摸真空腔，■表示只有第K摸是激发态的N摸腔。u（t）和v（t）都是与库的结构有关的时间演化概率幅。当最初的量子通道是最大纠缠纯态：

■（8）

那么，整个纠缠系统的动力学性质很容易得出，即演化后的量子通道为：

■（9）

通过描绘库的情形，可以得到约化密度矩阵，由于■和■， ■和■结构相同，下面只写出两个约化密度矩阵代表[6]，以■和■为例，上标0，1分别表示■、■，下同：

■

（10）

3 噪声环境下纠缠二能级原子量子Discord动力学

根据噪声环境下纠缠二能级原子的演化规律及公式（10）描绘的约化密度矩阵可知道X型Bell态的本征值：

■

（11）

冯·诺依曼熵为：

■

（12）

将公式（11）和（12）代入式子（2），即可得出关联互信息：

■

■

（13）

计算经典关联C（ρX）时，我们把公式（3）中的ρX和ρi定义为■，■，有：

■（14）

4 结论与分析

我们以X-型两体量子系统为例进行投影测量，对子系统B进行冯·诺依曼测量：

■（15）

其中■是子系统B在基矢空间■的投影算符，V表示幺正算符，V∈SU（2）。由于测量使得两体系统发生坍缩，于是ρAB变成了系综形式{ρi，pi}，本征值为[7]：

■（16）

其中ρ0和ρ1相应存在概率为：

■（17）

η和η′表示为：

■

（18）

其中，■这里lm和Re分别表示复数z的实部和虚部。其中参数m，n，k，l定义为：

■

（19）

由此可见k+l=1。η和η′取决于密度矩阵的三个参数m，n，k，这三个参数分别满足m∈[0，1/4]，n∈[-1/8，1/8]，k∈[0，1]。

要计算经典关联和量子Discord，就必须对S（ρX|{Bi}）求最小值，而S（ρX|{Bi}）的最小化取决于参数k，m和n的具体取值。由于参量k和l是对称的，那么当k=l=1/2或者k=0，1时，S（ρX|{Bi}）有极值。由m，n，k，l的定义式可知，当k=0，1时，m和n必为零，而当k=l=1/2时，有η=η′，即S（ρ0）=S（ρ1），当n=±1/8和m=0，1/4时，S（ρX|{Bi}）有极值。

当k=0，l=1时，

■

■

■

■

■

■

（20）

当k=1，l=0时，

■

■

■

■

■

■

■

■

（21）

根据以上的分析即可得到经典关联。公式（13）中的互信息与经典关联的差值即是量子Discord。

【参考文献】

[1]A Datta， A Shaji and C M Caves. Quantum discord and the power of one qubit[J] Phys. Rev. Lett.， 2008， 100： 050502～050510.

[2]A Datta and G Vidal. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. A， 2007， 75： 042310～042315.

[3]H. Ollivier， W. H. Zurek. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. Lett.， 2001， 88（4）： 017901～017911.

[4]L Henderson and V Vedral. Mathematical and General[J]. Phys. A， 2001， 34： 6899.

[5]H P Breuer and F Petruccione. The Theory of Open Quantum Systems[M]. Oxford： Oxford University， 2002.

[6]Zhang Y L， Zhou Q P， Kang G D， et al. International journal of quantum information[J]. 2012， 10： 1250030～1250043.

[7]M. Ali， A. R. P. Rau， and G. Alberl. Quantum discord for two-qubit X states[J]. Phys. Rev. A， 2010， 81： 042105～042113.

[责任编辑：汤静]

【摘 要】噪声环境中量子Discord动力学是实际量子信息处理的关键问题，本文研究了两个任意纠缠二能级原子与耗散环境相互作用的量子Discord。

【关键词】纠缠二能级原子；噪声环境；量子Discord

0 引言

量子纠缠现象是量子力学中最为奇妙的特征之一，量子纠缠态被认为是实现量子信息处理的一种重要的物理资源，已经广泛应用于量子隐形传态、量子密集编码、量子密码通信以及量子计算等量子信息任务。然而，在实际的物理环境中，量子系统不可避免受到外界环境的影响，量子纠缠态与环境发生相互作用导致量子纠缠退化与耗散，甚至退相干。随着量子信息技术的发展，人们发现，在没有量子纠缠的情况下仍然可以实现量子通讯等过程，这个重大发现最早是被Datta[1-2]等人提出的。近年来，Ollivier和Zurek等人[3-4]的研究工作中提出了这样一种量子关联度量方法——Quantum Discord（量子失谐）的概念，把经典世界中的互信息和条件熵理论用到量子世界中，更好地描述量子系统中所有的量子关联特性。本文主要研究两个处于任意纠缠态的二能级原子与噪声环境相互作用的量子Discord动力学。

1 二体纠缠系统态的量子Discord

对于一般的由A和B构成的两体量子系统，量子态可以用密度矩阵ρ表示。量子Discord定义为总关联和经典关联的差：

■（1）

ρ为系统的密度算符，总关联用量子互信息表示：

■（2）

其中S（ρ■■）、S（ρ■■）是冯·诺依曼熵，λj为本征值。经典关联可表示为：

■（3）

量子比特与库相互作用附加真空腔后，本征值可表示为：

■（4）

冯·诺依曼熵为：

■

（5）

2 噪声环境下纠缠二能级原子的演化规律

Alice和Bob共享一对纠缠原子量子对，在希尔伯特空间中表示为■和■。我们假设每个耗散腔是独立的，由一个可控二能级原子的激发态和基态组成的单量子比特和高-Q腔相互作用，量子比特与库相互作用的动力学取决于如下哈密度量[5]，

■（6）

ω0是跃迁频率，■和■是系统的产生和湮灭算符，ωk表示第k个场模的频率，■■和■■表示第k个场模的产生和湮灭算符，gk为耦合常数。由于初始量子比特与库之间没有相互作用，纠缠资源附加真空环境可表示成：

■（7）

■表示N摸真空腔，■表示只有第K摸是激发态的N摸腔。u（t）和v（t）都是与库的结构有关的时间演化概率幅。当最初的量子通道是最大纠缠纯态：

■（8）

那么，整个纠缠系统的动力学性质很容易得出，即演化后的量子通道为：

■（9）

通过描绘库的情形，可以得到约化密度矩阵，由于■和■， ■和■结构相同，下面只写出两个约化密度矩阵代表[6]，以■和■为例，上标0，1分别表示■、■，下同：

■

（10）

3 噪声环境下纠缠二能级原子量子Discord动力学

根据噪声环境下纠缠二能级原子的演化规律及公式（10）描绘的约化密度矩阵可知道X型Bell态的本征值：

■

（11）

冯·诺依曼熵为：

■

（12）

将公式（11）和（12）代入式子（2），即可得出关联互信息：

■

■

（13）

计算经典关联C（ρX）时，我们把公式（3）中的ρX和ρi定义为■，■，有：

■（14）

4 结论与分析

我们以X-型两体量子系统为例进行投影测量，对子系统B进行冯·诺依曼测量：

■（15）

其中■是子系统B在基矢空间■的投影算符，V表示幺正算符，V∈SU（2）。由于测量使得两体系统发生坍缩，于是ρAB变成了系综形式{ρi，pi}，本征值为[7]：

■（16）

其中ρ0和ρ1相应存在概率为：

■（17）

η和η′表示为：

■

（18）

其中，■这里lm和Re分别表示复数z的实部和虚部。其中参数m，n，k，l定义为：

■

（19）

由此可见k+l=1。η和η′取决于密度矩阵的三个参数m，n，k，这三个参数分别满足m∈[0，1/4]，n∈[-1/8，1/8]，k∈[0，1]。

要计算经典关联和量子Discord，就必须对S（ρX|{Bi}）求最小值，而S（ρX|{Bi}）的最小化取决于参数k，m和n的具体取值。由于参量k和l是对称的，那么当k=l=1/2或者k=0，1时，S（ρX|{Bi}）有极值。由m，n，k，l的定义式可知，当k=0，1时，m和n必为零，而当k=l=1/2时，有η=η′，即S（ρ0）=S（ρ1），当n=±1/8和m=0，1/4时，S（ρX|{Bi}）有极值。

当k=0，l=1时，

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（20）

当k=1，l=0时，

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（21）

根据以上的分析即可得到经典关联。公式（13）中的互信息与经典关联的差值即是量子Discord。

【参考文献】

[1]A Datta， A Shaji and C M Caves. Quantum discord and the power of one qubit[J] Phys. Rev. Lett.， 2008， 100： 050502～050510.

[2]A Datta and G Vidal. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. A， 2007， 75： 042310～042315.

[3]H. Ollivier， W. H. Zurek. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. Lett.， 2001， 88（4）： 017901～017911.

[4]L Henderson and V Vedral. Mathematical and General[J]. Phys. A， 2001， 34： 6899.

[5]H P Breuer and F Petruccione. The Theory of Open Quantum Systems[M]. Oxford： Oxford University， 2002.

[6]Zhang Y L， Zhou Q P， Kang G D， et al. International journal of quantum information[J]. 2012， 10： 1250030～1250043.

[7]M. Ali， A. R. P. Rau， and G. Alberl. Quantum discord for two-qubit X states[J]. Phys. Rev. A， 2010， 81： 042105～042113.

[责任编辑：汤静]

【摘 要】噪声环境中量子Discord动力学是实际量子信息处理的关键问题，本文研究了两个任意纠缠二能级原子与耗散环境相互作用的量子Discord。

【关键词】纠缠二能级原子；噪声环境；量子Discord

0 引言

量子纠缠现象是量子力学中最为奇妙的特征之一，量子纠缠态被认为是实现量子信息处理的一种重要的物理资源，已经广泛应用于量子隐形传态、量子密集编码、量子密码通信以及量子计算等量子信息任务。然而，在实际的物理环境中，量子系统不可避免受到外界环境的影响，量子纠缠态与环境发生相互作用导致量子纠缠退化与耗散，甚至退相干。随着量子信息技术的发展，人们发现，在没有量子纠缠的情况下仍然可以实现量子通讯等过程，这个重大发现最早是被Datta[1-2]等人提出的。近年来，Ollivier和Zurek等人[3-4]的研究工作中提出了这样一种量子关联度量方法——Quantum Discord（量子失谐）的概念，把经典世界中的互信息和条件熵理论用到量子世界中，更好地描述量子系统中所有的量子关联特性。本文主要研究两个处于任意纠缠态的二能级原子与噪声环境相互作用的量子Discord动力学。

1 二体纠缠系统态的量子Discord

对于一般的由A和B构成的两体量子系统，量子态可以用密度矩阵ρ表示。量子Discord定义为总关联和经典关联的差：

■（1）

ρ为系统的密度算符，总关联用量子互信息表示：

■（2）

其中S（ρ■■）、S（ρ■■）是冯·诺依曼熵，λj为本征值。经典关联可表示为：

■（3）

量子比特与库相互作用附加真空腔后，本征值可表示为：

■（4）

冯·诺依曼熵为：

■

（5）

2 噪声环境下纠缠二能级原子的演化规律

Alice和Bob共享一对纠缠原子量子对，在希尔伯特空间中表示为■和■。我们假设每个耗散腔是独立的，由一个可控二能级原子的激发态和基态组成的单量子比特和高-Q腔相互作用，量子比特与库相互作用的动力学取决于如下哈密度量[5]，

■（6）

ω0是跃迁频率，■和■是系统的产生和湮灭算符，ωk表示第k个场模的频率，■■和■■表示第k个场模的产生和湮灭算符，gk为耦合常数。由于初始量子比特与库之间没有相互作用，纠缠资源附加真空环境可表示成：

■（7）

■表示N摸真空腔，■表示只有第K摸是激发态的N摸腔。u（t）和v（t）都是与库的结构有关的时间演化概率幅。当最初的量子通道是最大纠缠纯态：

■（8）

那么，整个纠缠系统的动力学性质很容易得出，即演化后的量子通道为：

■（9）

通过描绘库的情形，可以得到约化密度矩阵，由于■和■， ■和■结构相同，下面只写出两个约化密度矩阵代表[6]，以■和■为例，上标0，1分别表示■、■，下同：

■

（10）

3 噪声环境下纠缠二能级原子量子Discord动力学

根据噪声环境下纠缠二能级原子的演化规律及公式（10）描绘的约化密度矩阵可知道X型Bell态的本征值：

■

（11）

冯·诺依曼熵为：

■

（12）

将公式（11）和（12）代入式子（2），即可得出关联互信息：

■

■

（13）

计算经典关联C（ρX）时，我们把公式（3）中的ρX和ρi定义为■，■，有：

■（14）

4 结论与分析

我们以X-型两体量子系统为例进行投影测量，对子系统B进行冯·诺依曼测量：

■（15）

其中■是子系统B在基矢空间■的投影算符，V表示幺正算符，V∈SU（2）。由于测量使得两体系统发生坍缩，于是ρAB变成了系综形式{ρi，pi}，本征值为[7]：

■（16）

其中ρ0和ρ1相应存在概率为：

■（17）

η和η′表示为：

■

（18）

其中，■这里lm和Re分别表示复数z的实部和虚部。其中参数m，n，k，l定义为：

■

（19）

由此可见k+l=1。η和η′取决于密度矩阵的三个参数m，n，k，这三个参数分别满足m∈[0，1/4]，n∈[-1/8，1/8]，k∈[0，1]。

要计算经典关联和量子Discord，就必须对S（ρX|{Bi}）求最小值，而S（ρX|{Bi}）的最小化取决于参数k，m和n的具体取值。由于参量k和l是对称的，那么当k=l=1/2或者k=0，1时，S（ρX|{Bi}）有极值。由m，n，k，l的定义式可知，当k=0，1时，m和n必为零，而当k=l=1/2时，有η=η′，即S（ρ0）=S（ρ1），当n=±1/8和m=0，1/4时，S（ρX|{Bi}）有极值。

当k=0，l=1时，

■

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（20）

当k=1，l=0时，

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（21）

根据以上的分析即可得到经典关联。公式（13）中的互信息与经典关联的差值即是量子Discord。

【参考文献】

[1]A Datta， A Shaji and C M Caves. Quantum discord and the power of one qubit[J] Phys. Rev. Lett.， 2008， 100： 050502～050510.

[2]A Datta and G Vidal. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. A， 2007， 75： 042310～042315.

[3]H. Ollivier， W. H. Zurek. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. Lett.， 2001， 88（4）： 017901～017911.

[4]L Henderson and V Vedral. Mathematical and General[J]. Phys. A， 2001， 34： 6899.

[5]H P Breuer and F Petruccione. The Theory of Open Quantum Systems[M]. Oxford： Oxford University， 2002.

[6]Zhang Y L， Zhou Q P， Kang G D， et al. International journal of quantum information[J]. 2012， 10： 1250030～1250043.

[7]M. Ali， A. R. P. Rau， and G. Alberl. Quantum discord for two-qubit X states[J]. Phys. Rev. A， 2010， 81： 042105～042113.

[责任编辑：汤静]