有效促进学生理解掌握数学思想方法例谈

黄美建

数学思想是数学的灵魂。日本著名数学家米山国藏曾经说过：在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思想方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益。这说明数学思想方法对人的发展起奠基作用。课程标准明确提出：“要使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。”那么，如何有效促进学生理解和掌握数学思想和方法呢？

一、在教学设计时，有意识地挖掘数学思想方法

老师在使用教材时，要认真分析教材。不但要分析知识之间的逻辑关系、教材的编排体系，还要理清教材中隐性的数学思想方法，明确每一章节中隐含的数学思想方法，每一种数学思想方法在小学数学教材中的分布情况。这样，教师在教学设计时就能高屋建瓴，有效地挖掘数学思想方法。如教学《园的面积》，在备课时，教师要有意识地挖掘圆的面积公式中蕴含的数学思想——整体思想。在S=πr2中，知道了哪一个条件就能求出圆的面积？大部分学生自然而然地会想到知道r就能求出面积，成绩较好的学生会想到知道直径、周长就能求出半径，然后可以求出面积。很少有学生会想到知道半径的平方也可以求出圆的面积。如果教学到此为止，就会失去渗透数学思想、有效落实数学思想的契机。在圆的面积公式S=πr2中，π是一个固定不变的常数，如果知道r2，也能求出圆的面积，这实际上是数学上的整体思想。整体思想并非在圆的面积公式中第一次出现，在三角形的面积公式中已经出现过。S=ah÷2中，知道ah的积也可以求出三角形的面积。如，在面积是10平方分米的平行四边形中画一个最大的三角形，三角形的面积是（ ）平方分米。因此在教学设计时要深刻领悟每一种数学思想在小学数学教材中的分布情况，做到心中有数，才能落实有效。

二、在探究新知时，有意识地引导学生发现数学思想方法

在学习过程中，教师要善于引导学生积极主动地经历知识的形成过程，结合具体的情境，引导学生发现问题、提出问题，探究解决问题的策略，让学生在观察、实验、分析、归纳、抽象、概括的过程中，发现潜藏其中的思想方法，自觉地理清解题思路。同时，教师要有意识地加以指导，提炼蕴含其中的数学思想方法，实现知识的正迁移。如对应思想在“找规律”（植树问题）中的运用，教师先出示尝试题：有9棵树排成一行，每相邻的两棵树之间放一盆花，头和尾都不放花，一共可以放几盆花？（1）操作——先让学生自主探索，学生通过画图和数数得出“8盆”，渗透数形结合思想。（2）探索——如果有500棵树排成一行，还这样摆，一共要放几盆花？设置悬念，寻找规律。学生可能会用以下方法解答：A.化归法。数字较大时从简单的数字想起，用不完全归纳法得出：两头都不放花，花的盆数比树的棵数少1棵，所以有499盆花。B.对应法。 ■

一棵树对应一盆花，最后一棵树没有花对应，所以花的盆数比树的棵数少1，花的盆数算式是500-1=499。这时学生得到的是个体的探索经验，是零散的经验，没有上升到基本的数学思想。（3）领悟提升——刚才我们是怎么解决500棵树中摆了几盆花的？A.采用复杂问题简单化，也就是化归法解决的。B.对应法。可能学生说不出具体的方法名称，这时教师要明示，适当强化数学思想。（4）应用提高——有500棵树排成一行，每相邻的两棵树之间放一盆花，头和尾都放花，一共要放几盆花？变式深化：有500棵树排成一行，每相邻的两棵树之间放一盆花，最前面放花，最后面不放花，一共要放几盆花？教师不断地进行变式训练，但万变不离其宗——对应思想。学生依据表象，灵活地运用这一思想方法，举一反三，体验它的价值。在不断的运用中，“对应”思想逐步“植入”学生的头脑，最终内化为学生的数学素养。这样建立的对应思想真实、扎实，学生感受真切，印象深刻。

三、在解决问题时，有意识地引导学生运用数学思想方法

要将已学的数学思想方法转化为自己头脑中稳定的认知结构，应用是实现目标的有效途径。只有在循环反复中应用，数学思想才能在不断的归属同化中深化，思维能力才能得以发展。所以，教师在教学中要鼓励学生运用已学的数学思想方法去发现、分析和解决生活中的实际问题，引导学生加以抽象、概括，建立数学模型，探求解决问题的一般方法。如化归思想的应用：化归思想是把一个实际问题通过某种转化，归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题或者把一个新问题转化为一个旧问题。例如：一项工程，甲、乙两队合作要60天完成，现在由甲队先单独做80天，乙队接着再做20天，正好完成任务。甲队单独完成这项工程要几天？如果用常规思路，就会觉得此题很难，不知从何下手。如果通过化归，把条件“甲队先单独做80天，乙队接着再做20天”转化成“甲、乙两队再合作20天，甲队再单独做60天正好完成任务”，很容易求出合作20天的工作量是■，把总的工作量减去合作20天的工作量，就得到甲队60天的工作量是1-■=■。甲队一天完成■÷60=■，甲单独做的时间是1÷■=90天。通过这样的转化达到化难为易、化繁为简的效果。又如类比思想的应用：类比思想方法就是通过对条件和问题的相同点、不同点的对比，全面而深刻地认识问题的本质。小学数学习题中，可以对题中的条件或问题进行比较，找出它们之间存在的差异，分析存在差异的原因，从而找到解决问题的方法。下图中BC=1.5AB，乙的面积是30平方厘米，甲的面积是（ ）平方厘米。

如果用常规思路，就会觉得此题缺少条件，无法解答。仔细分析比较，甲三角形和乙三角形有共同之处——它们的高相等，不同之处是底不同。运用类比思想，高相同的两个三角形，乙的底是甲的1.5倍，那么乙的面积就是甲的1.5倍，由此可求出甲的面积是30÷1.5=20平方厘米。当学生解决了这道题目后，教师不能到此为止，要及时引导学生反思：这道题我们是用什么方法解决的？——比较法。适时明示并强化数学思想，让隐形的数学思想显性化，促使数学思想植根于学生的大脑中。

四、在总结反思时，有意识地引导学生领悟数学思想方法

在总结反思某一思想方法的时候，教师要有意识地引导学生自觉地反思自己的思维过程，使获得的数学思想方法更明晰、更深刻，让学生反思自己是怎样发现问题、分析解决问题的。在这一思维过程中，又是怎样应用数学思想方法，用了哪些基本的思考方法和技巧，积累了哪些有益的成功经验，怎样去拓展和延伸的。只有这样的反思，才能使学生的思维得到良好的培养与发展，才能使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在规律，逐步体会数学思想方法的精神实质，提高学生自觉的应用意识。

要有效促进小学生理解掌握数学思想方法，先要渗透感悟，当学生积累了一定量的数学思想方法后，教师要有意识地明示，经常引导学生事后反思：“我是通过什么方法、手段解决这个问题的？”通过渗透、感悟、明示、反思，学生头脑中建立的数学思想方法是现实的、真实的，印象是深刻的。数学思想方法在学生头脑中的建立要经历一个循环往复、螺旋上升的过程，有时往往是几种思想方法交织在一起，教师在教学过程中要依据具体情况，有主有次，在某一段时间内重点渗透一两种数学思想方法，这样效果会好得多。

（责编 罗 艳）endprint

数学思想是数学的灵魂。日本著名数学家米山国藏曾经说过：在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思想方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益。这说明数学思想方法对人的发展起奠基作用。课程标准明确提出：“要使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。”那么，如何有效促进学生理解和掌握数学思想和方法呢？

一、在教学设计时，有意识地挖掘数学思想方法

老师在使用教材时，要认真分析教材。不但要分析知识之间的逻辑关系、教材的编排体系，还要理清教材中隐性的数学思想方法，明确每一章节中隐含的数学思想方法，每一种数学思想方法在小学数学教材中的分布情况。这样，教师在教学设计时就能高屋建瓴，有效地挖掘数学思想方法。如教学《园的面积》，在备课时，教师要有意识地挖掘圆的面积公式中蕴含的数学思想——整体思想。在S=πr2中，知道了哪一个条件就能求出圆的面积？大部分学生自然而然地会想到知道r就能求出面积，成绩较好的学生会想到知道直径、周长就能求出半径，然后可以求出面积。很少有学生会想到知道半径的平方也可以求出圆的面积。如果教学到此为止，就会失去渗透数学思想、有效落实数学思想的契机。在圆的面积公式S=πr2中，π是一个固定不变的常数，如果知道r2，也能求出圆的面积，这实际上是数学上的整体思想。整体思想并非在圆的面积公式中第一次出现，在三角形的面积公式中已经出现过。S=ah÷2中，知道ah的积也可以求出三角形的面积。如，在面积是10平方分米的平行四边形中画一个最大的三角形，三角形的面积是（ ）平方分米。因此在教学设计时要深刻领悟每一种数学思想在小学数学教材中的分布情况，做到心中有数，才能落实有效。

二、在探究新知时，有意识地引导学生发现数学思想方法

在学习过程中，教师要善于引导学生积极主动地经历知识的形成过程，结合具体的情境，引导学生发现问题、提出问题，探究解决问题的策略，让学生在观察、实验、分析、归纳、抽象、概括的过程中，发现潜藏其中的思想方法，自觉地理清解题思路。同时，教师要有意识地加以指导，提炼蕴含其中的数学思想方法，实现知识的正迁移。如对应思想在“找规律”（植树问题）中的运用，教师先出示尝试题：有9棵树排成一行，每相邻的两棵树之间放一盆花，头和尾都不放花，一共可以放几盆花？（1）操作——先让学生自主探索，学生通过画图和数数得出“8盆”，渗透数形结合思想。（2）探索——如果有500棵树排成一行，还这样摆，一共要放几盆花？设置悬念，寻找规律。学生可能会用以下方法解答：A.化归法。数字较大时从简单的数字想起，用不完全归纳法得出：两头都不放花，花的盆数比树的棵数少1棵，所以有499盆花。B.对应法。 ■

一棵树对应一盆花，最后一棵树没有花对应，所以花的盆数比树的棵数少1，花的盆数算式是500-1=499。这时学生得到的是个体的探索经验，是零散的经验，没有上升到基本的数学思想。（3）领悟提升——刚才我们是怎么解决500棵树中摆了几盆花的？A.采用复杂问题简单化，也就是化归法解决的。B.对应法。可能学生说不出具体的方法名称，这时教师要明示，适当强化数学思想。（4）应用提高——有500棵树排成一行，每相邻的两棵树之间放一盆花，头和尾都放花，一共要放几盆花？变式深化：有500棵树排成一行，每相邻的两棵树之间放一盆花，最前面放花，最后面不放花，一共要放几盆花？教师不断地进行变式训练，但万变不离其宗——对应思想。学生依据表象，灵活地运用这一思想方法，举一反三，体验它的价值。在不断的运用中，“对应”思想逐步“植入”学生的头脑，最终内化为学生的数学素养。这样建立的对应思想真实、扎实，学生感受真切，印象深刻。

三、在解决问题时，有意识地引导学生运用数学思想方法

要将已学的数学思想方法转化为自己头脑中稳定的认知结构，应用是实现目标的有效途径。只有在循环反复中应用，数学思想才能在不断的归属同化中深化，思维能力才能得以发展。所以，教师在教学中要鼓励学生运用已学的数学思想方法去发现、分析和解决生活中的实际问题，引导学生加以抽象、概括，建立数学模型，探求解决问题的一般方法。如化归思想的应用：化归思想是把一个实际问题通过某种转化，归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题或者把一个新问题转化为一个旧问题。例如：一项工程，甲、乙两队合作要60天完成，现在由甲队先单独做80天，乙队接着再做20天，正好完成任务。甲队单独完成这项工程要几天？如果用常规思路，就会觉得此题很难，不知从何下手。如果通过化归，把条件“甲队先单独做80天，乙队接着再做20天”转化成“甲、乙两队再合作20天，甲队再单独做60天正好完成任务”，很容易求出合作20天的工作量是■，把总的工作量减去合作20天的工作量，就得到甲队60天的工作量是1-■=■。甲队一天完成■÷60=■，甲单独做的时间是1÷■=90天。通过这样的转化达到化难为易、化繁为简的效果。又如类比思想的应用：类比思想方法就是通过对条件和问题的相同点、不同点的对比，全面而深刻地认识问题的本质。小学数学习题中，可以对题中的条件或问题进行比较，找出它们之间存在的差异，分析存在差异的原因，从而找到解决问题的方法。下图中BC=1.5AB，乙的面积是30平方厘米，甲的面积是（ ）平方厘米。

如果用常规思路，就会觉得此题缺少条件，无法解答。仔细分析比较，甲三角形和乙三角形有共同之处——它们的高相等，不同之处是底不同。运用类比思想，高相同的两个三角形，乙的底是甲的1.5倍，那么乙的面积就是甲的1.5倍，由此可求出甲的面积是30÷1.5=20平方厘米。当学生解决了这道题目后，教师不能到此为止，要及时引导学生反思：这道题我们是用什么方法解决的？——比较法。适时明示并强化数学思想，让隐形的数学思想显性化，促使数学思想植根于学生的大脑中。

四、在总结反思时，有意识地引导学生领悟数学思想方法

在总结反思某一思想方法的时候，教师要有意识地引导学生自觉地反思自己的思维过程，使获得的数学思想方法更明晰、更深刻，让学生反思自己是怎样发现问题、分析解决问题的。在这一思维过程中，又是怎样应用数学思想方法，用了哪些基本的思考方法和技巧，积累了哪些有益的成功经验，怎样去拓展和延伸的。只有这样的反思，才能使学生的思维得到良好的培养与发展，才能使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在规律，逐步体会数学思想方法的精神实质，提高学生自觉的应用意识。

要有效促进小学生理解掌握数学思想方法，先要渗透感悟，当学生积累了一定量的数学思想方法后，教师要有意识地明示，经常引导学生事后反思：“我是通过什么方法、手段解决这个问题的？”通过渗透、感悟、明示、反思，学生头脑中建立的数学思想方法是现实的、真实的，印象是深刻的。数学思想方法在学生头脑中的建立要经历一个循环往复、螺旋上升的过程，有时往往是几种思想方法交织在一起，教师在教学过程中要依据具体情况，有主有次，在某一段时间内重点渗透一两种数学思想方法，这样效果会好得多。

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数学思想是数学的灵魂。日本著名数学家米山国藏曾经说过：在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思想方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益。这说明数学思想方法对人的发展起奠基作用。课程标准明确提出：“要使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。”那么，如何有效促进学生理解和掌握数学思想和方法呢？

一、在教学设计时，有意识地挖掘数学思想方法

老师在使用教材时，要认真分析教材。不但要分析知识之间的逻辑关系、教材的编排体系，还要理清教材中隐性的数学思想方法，明确每一章节中隐含的数学思想方法，每一种数学思想方法在小学数学教材中的分布情况。这样，教师在教学设计时就能高屋建瓴，有效地挖掘数学思想方法。如教学《园的面积》，在备课时，教师要有意识地挖掘圆的面积公式中蕴含的数学思想——整体思想。在S=πr2中，知道了哪一个条件就能求出圆的面积？大部分学生自然而然地会想到知道r就能求出面积，成绩较好的学生会想到知道直径、周长就能求出半径，然后可以求出面积。很少有学生会想到知道半径的平方也可以求出圆的面积。如果教学到此为止，就会失去渗透数学思想、有效落实数学思想的契机。在圆的面积公式S=πr2中，π是一个固定不变的常数，如果知道r2，也能求出圆的面积，这实际上是数学上的整体思想。整体思想并非在圆的面积公式中第一次出现，在三角形的面积公式中已经出现过。S=ah÷2中，知道ah的积也可以求出三角形的面积。如，在面积是10平方分米的平行四边形中画一个最大的三角形，三角形的面积是（ ）平方分米。因此在教学设计时要深刻领悟每一种数学思想在小学数学教材中的分布情况，做到心中有数，才能落实有效。

二、在探究新知时，有意识地引导学生发现数学思想方法

在学习过程中，教师要善于引导学生积极主动地经历知识的形成过程，结合具体的情境，引导学生发现问题、提出问题，探究解决问题的策略，让学生在观察、实验、分析、归纳、抽象、概括的过程中，发现潜藏其中的思想方法，自觉地理清解题思路。同时，教师要有意识地加以指导，提炼蕴含其中的数学思想方法，实现知识的正迁移。如对应思想在“找规律”（植树问题）中的运用，教师先出示尝试题：有9棵树排成一行，每相邻的两棵树之间放一盆花，头和尾都不放花，一共可以放几盆花？（1）操作——先让学生自主探索，学生通过画图和数数得出“8盆”，渗透数形结合思想。（2）探索——如果有500棵树排成一行，还这样摆，一共要放几盆花？设置悬念，寻找规律。学生可能会用以下方法解答：A.化归法。数字较大时从简单的数字想起，用不完全归纳法得出：两头都不放花，花的盆数比树的棵数少1棵，所以有499盆花。B.对应法。 ■

一棵树对应一盆花，最后一棵树没有花对应，所以花的盆数比树的棵数少1，花的盆数算式是500-1=499。这时学生得到的是个体的探索经验，是零散的经验，没有上升到基本的数学思想。（3）领悟提升——刚才我们是怎么解决500棵树中摆了几盆花的？A.采用复杂问题简单化，也就是化归法解决的。B.对应法。可能学生说不出具体的方法名称，这时教师要明示，适当强化数学思想。（4）应用提高——有500棵树排成一行，每相邻的两棵树之间放一盆花，头和尾都放花，一共要放几盆花？变式深化：有500棵树排成一行，每相邻的两棵树之间放一盆花，最前面放花，最后面不放花，一共要放几盆花？教师不断地进行变式训练，但万变不离其宗——对应思想。学生依据表象，灵活地运用这一思想方法，举一反三，体验它的价值。在不断的运用中，“对应”思想逐步“植入”学生的头脑，最终内化为学生的数学素养。这样建立的对应思想真实、扎实，学生感受真切，印象深刻。

三、在解决问题时，有意识地引导学生运用数学思想方法

要将已学的数学思想方法转化为自己头脑中稳定的认知结构，应用是实现目标的有效途径。只有在循环反复中应用，数学思想才能在不断的归属同化中深化，思维能力才能得以发展。所以，教师在教学中要鼓励学生运用已学的数学思想方法去发现、分析和解决生活中的实际问题，引导学生加以抽象、概括，建立数学模型，探求解决问题的一般方法。如化归思想的应用：化归思想是把一个实际问题通过某种转化，归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题或者把一个新问题转化为一个旧问题。例如：一项工程，甲、乙两队合作要60天完成，现在由甲队先单独做80天，乙队接着再做20天，正好完成任务。甲队单独完成这项工程要几天？如果用常规思路，就会觉得此题很难，不知从何下手。如果通过化归，把条件“甲队先单独做80天，乙队接着再做20天”转化成“甲、乙两队再合作20天，甲队再单独做60天正好完成任务”，很容易求出合作20天的工作量是■，把总的工作量减去合作20天的工作量，就得到甲队60天的工作量是1-■=■。甲队一天完成■÷60=■，甲单独做的时间是1÷■=90天。通过这样的转化达到化难为易、化繁为简的效果。又如类比思想的应用：类比思想方法就是通过对条件和问题的相同点、不同点的对比，全面而深刻地认识问题的本质。小学数学习题中，可以对题中的条件或问题进行比较，找出它们之间存在的差异，分析存在差异的原因，从而找到解决问题的方法。下图中BC=1.5AB，乙的面积是30平方厘米，甲的面积是（ ）平方厘米。

如果用常规思路，就会觉得此题缺少条件，无法解答。仔细分析比较，甲三角形和乙三角形有共同之处——它们的高相等，不同之处是底不同。运用类比思想，高相同的两个三角形，乙的底是甲的1.5倍，那么乙的面积就是甲的1.5倍，由此可求出甲的面积是30÷1.5=20平方厘米。当学生解决了这道题目后，教师不能到此为止，要及时引导学生反思：这道题我们是用什么方法解决的？——比较法。适时明示并强化数学思想，让隐形的数学思想显性化，促使数学思想植根于学生的大脑中。

四、在总结反思时，有意识地引导学生领悟数学思想方法

在总结反思某一思想方法的时候，教师要有意识地引导学生自觉地反思自己的思维过程，使获得的数学思想方法更明晰、更深刻，让学生反思自己是怎样发现问题、分析解决问题的。在这一思维过程中，又是怎样应用数学思想方法，用了哪些基本的思考方法和技巧，积累了哪些有益的成功经验，怎样去拓展和延伸的。只有这样的反思，才能使学生的思维得到良好的培养与发展，才能使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在规律，逐步体会数学思想方法的精神实质，提高学生自觉的应用意识。

要有效促进小学生理解掌握数学思想方法，先要渗透感悟，当学生积累了一定量的数学思想方法后，教师要有意识地明示，经常引导学生事后反思：“我是通过什么方法、手段解决这个问题的？”通过渗透、感悟、明示、反思，学生头脑中建立的数学思想方法是现实的、真实的，印象是深刻的。数学思想方法在学生头脑中的建立要经历一个循环往复、螺旋上升的过程，有时往往是几种思想方法交织在一起，教师在教学过程中要依据具体情况，有主有次，在某一段时间内重点渗透一两种数学思想方法，这样效果会好得多。

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