“几何直观”的面面谈

马德忠

谈及“直观”，似乎与数学格格不入，因为从它们的定义就可知一二：“直观”是指通过与客观事物的直接接触而获得的感性认识和判断，而数学则是一门逻辑性强的、推理严谨的学科。然而就在看似“格格不入”情况下，2011年版的《义务教育数学课程标准》却将它们完美地糅合在一起，并生成一个崭新的名词——“几何直观”，可以说这个名词是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的十大核心概念中的重要一员，它的出现远远超出对几何图形本身的研究。曾如弗莱登塔尔所言：“几何直观的出现，让我们在最短的时间内，最有成效地把握‘什么可能重要、什么可能有意义、什么可能最接近的，并能帮助我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”

一、理解几何直观概念的诞生，可以帮助我们从另一层面理解数学

“几何直观”，是一个新鲜话题，想要真切地了解它的内涵，还得从它的上级科目内容——“直观”说起：直观这一词汇早已出现，并在不同国度、不同人群里有着不同的解释，《现代汉语词典》是这样解释的：“用感官直接接受，直接观察。”在心理学家的心目中：“直观是从感觉到的具体对象背后，发现抽象的能力。”在数学领域，数学家们把“直观”明确为 “从感觉的具体的对象背后，发现抽象的，理想的（状态）的能力。”……

综上所述：直观是一种能力，一种能够透过现象看到本质的能力，一种能够看出事物之间相互关联的能力。那么这种能力是否可以延伸到数学领域？是否可以帮助我们更好地解决问题？答案是肯定的。“几何直观”的诞生，就是让我们更好地借助这种能力把复杂的数学问题变得简明、形象，从而帮助我们更好地探索解决问题的思路，预测事物发展的轨迹。换句话说，几何直观就是借助见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知和整体把握。

二、把握几何直观的表现形式，可以帮助我们从更多角度呈现数学

虽说“几何直观”的概念是最近提出的，但关于“几何直观”的探究却早已在进行，伽利略就曾有过这样一段表述：“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如果不掌握数学的符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。”这或许就是“几何直观”中的符号直观的妙用吧。当“几何直观”这一概念被正式明确后，为了更好地研究，很多数学家就对其形式作了全面的阐述与建构。其中，较为权威的是孔凡哲和史宁中的观点，他们认为，在中小学数学领域中，几何直观通过表现为四种形式：实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观。

例如图形直观。在小学数学空间位置的领域中，图形直观是运用得最多的一种策略，它是指对实物的“动手操作”或“图形运动操作”来获取对图形的直观把握。首先谈实物的动手操作，实物的动手操作是数学教学的常见手段，具体的包括折纸、展开、折叠、切截、拼摆、密铺等操作活动，这种策略能帮学生积累丰富的、几何的直观体验，从而帮助学生获得几何体和平面图形的“物象”储备，并生成经验。而图形的运动操作，就是通过平移、旋转、反射等形式的运动，将数学中一些难以理解的概念形象化，如连“点”成“线”，铺“线”成“面”，垒“面”成“体”，等等。总之借助图形直观操作可以帮助我们从更多角度呈现数学的奥秘，可以帮助学生在脑海里生成事物来龙去脉的轨迹，可以帮助学生直观把握问题的解决之道。

三、钻研几何直观的教育价值，可以帮助我们从更深层面教育学生

尽管经过数学“洗礼”的人们都擅长逻辑推理，但在他们的思维体系中，依旧需要一种“简洁”的方法来解决问题，依旧需要一种“简洁”的模式来实现思维的嫁接，此时，几何直观，就常常成为他们的首选。因此，在数学教学中，研究几何直观的教育意义就显得尤为重要。

首先可以借助几何直观帮助学生更好地理解数学。例如，利用直观图式可以帮助学生更好地理解正方形边长和面积的关系；借助数轴可以帮助学生更好地认识小数；借助“线路图”可以更好地帮助学生理解行程问题……几何直观在数学中的作用，曾如拉格朗日所说：“当代数与几何分道扬镳时，它们的进展就会变得异常缓慢，它们的应用空间就会变得异常狭窄。”因此，我们在教学时，要充分利用直观资源，培养学生用几何直观描述、分析问题的意识，从而帮助他们更好地理解数学。 其次可以借助几何直观更好地培养学生的思维方式。 数学常常以“直观—形式—直观”模式来解决问题，可以这样说，几何直观就是这一模式中的重要一环，离开了几何直观，不仅谈不上问题解决，更谈不上思维的发展与进步。例如，小数意义的讲解，只要充分利用直观图，就能帮助学生洞察和想象其内部的信息，就能帮助他们体验和感受数学发现的过程，就能帮助他们从非形式化的直觉中形成数学的思维能力。

总之，几何直观是一个特别需要关注的话题，我们只有努力地将其内化成学生的内在素养，方能让学生在数学的道路越走越远。

（责编 金 铃）endprint