你会证明圆的面积公式吗

冉幕新

摘 要：对于每一位高中学生来说，圆的面积公式再熟悉不过了，甚至有的学生能够倒背如流。但若是要证明这个公式，可能就不是每位学生都能办到。

关键词：高中数学；圆；面积公式；证明

那么，究竟怎么证明圆的面积公式呢？下面，请先看习题：求半径是R的圆的内接正n边形的面积。（人教版（必修5）P20页A组第12题）

解：如图所示，扇形AOB的圆心角∠AOB=■，S△ABC=■R2sin■

∴S正n边形=■nR2sin■

这就是圆的内接正n边形的面积。

可见，当n的值不断增大时△ABC的面积无限接近扇形AOB的面积。正n边形的面积也就越接近圆的面积。

即：圆面积S=■■R2sin■

设x=■，则S=■■×2πR2■=πR2

∵■■=1 ∴S圆=πR2

另证：作圆的内接正n边形（假设n为偶数），将两个小扇形拼凑在一起，近似的形成一个小长方形，当n无限增大时，小长方形的面积就无限接近圆的面积。圆的半径相当于小长方形的长，小扇形的弧长相当于小长方形的宽。于是：

∵l弧■ ∴S小=■×R ∴S=■×R×■=πR2

可见，方法一是利用极限思想推导出来的，是把圆平分成若干等分，得到若干个小扇形，分的份数越多，这些小扇形就越接近三角形，扇形的半径就越接近三角形的高，从而得到圆的面积公式。而方法二是把圆平分成偶数等份，将这些小扇形两部分进行对拼，就拼成了一个长方形，通过求长方形的面积而得到圆的面积公式。两种方法各有特点，是中学阶段常见的推导方法。

（作者单位 重庆酉阳一中）

？誗编辑 董慧红

摘 要：对于每一位高中学生来说，圆的面积公式再熟悉不过了，甚至有的学生能够倒背如流。但若是要证明这个公式，可能就不是每位学生都能办到。

关键词：高中数学；圆；面积公式；证明

那么，究竟怎么证明圆的面积公式呢？下面，请先看习题：求半径是R的圆的内接正n边形的面积。（人教版（必修5）P20页A组第12题）

解：如图所示，扇形AOB的圆心角∠AOB=■，S△ABC=■R2sin■

∴S正n边形=■nR2sin■

这就是圆的内接正n边形的面积。

可见，当n的值不断增大时△ABC的面积无限接近扇形AOB的面积。正n边形的面积也就越接近圆的面积。

即：圆面积S=■■R2sin■

设x=■，则S=■■×2πR2■=πR2

∵■■=1 ∴S圆=πR2

另证：作圆的内接正n边形（假设n为偶数），将两个小扇形拼凑在一起，近似的形成一个小长方形，当n无限增大时，小长方形的面积就无限接近圆的面积。圆的半径相当于小长方形的长，小扇形的弧长相当于小长方形的宽。于是：

∵l弧■ ∴S小=■×R ∴S=■×R×■=πR2

可见，方法一是利用极限思想推导出来的，是把圆平分成若干等分，得到若干个小扇形，分的份数越多，这些小扇形就越接近三角形，扇形的半径就越接近三角形的高，从而得到圆的面积公式。而方法二是把圆平分成偶数等份，将这些小扇形两部分进行对拼，就拼成了一个长方形，通过求长方形的面积而得到圆的面积公式。两种方法各有特点，是中学阶段常见的推导方法。

（作者单位 重庆酉阳一中）

？誗编辑 董慧红

摘 要：对于每一位高中学生来说，圆的面积公式再熟悉不过了，甚至有的学生能够倒背如流。但若是要证明这个公式，可能就不是每位学生都能办到。

关键词：高中数学；圆；面积公式；证明

那么，究竟怎么证明圆的面积公式呢？下面，请先看习题：求半径是R的圆的内接正n边形的面积。（人教版（必修5）P20页A组第12题）

解：如图所示，扇形AOB的圆心角∠AOB=■，S△ABC=■R2sin■

∴S正n边形=■nR2sin■

这就是圆的内接正n边形的面积。

可见，当n的值不断增大时△ABC的面积无限接近扇形AOB的面积。正n边形的面积也就越接近圆的面积。

即：圆面积S=■■R2sin■

设x=■，则S=■■×2πR2■=πR2

∵■■=1 ∴S圆=πR2

另证：作圆的内接正n边形（假设n为偶数），将两个小扇形拼凑在一起，近似的形成一个小长方形，当n无限增大时，小长方形的面积就无限接近圆的面积。圆的半径相当于小长方形的长，小扇形的弧长相当于小长方形的宽。于是：

∵l弧■ ∴S小=■×R ∴S=■×R×■=πR2

可见，方法一是利用极限思想推导出来的，是把圆平分成若干等分，得到若干个小扇形，分的份数越多，这些小扇形就越接近三角形，扇形的半径就越接近三角形的高，从而得到圆的面积公式。而方法二是把圆平分成偶数等份，将这些小扇形两部分进行对拼，就拼成了一个长方形，通过求长方形的面积而得到圆的面积公式。两种方法各有特点，是中学阶段常见的推导方法。

（作者单位 重庆酉阳一中）

？誗编辑 董慧红