序贯概率比检验法在导航精度试飞中的应用

徐武军　侯玉宏　段亚

摘 要： 以往导航精度试飞采用基于参数估计理论的误差统计法，须完成规定的试飞架次才能得出试飞结论。这里根据假设检验理论总结出序贯概率比检验法，在给定置信度和误差概率时，求出导航精度的拒绝域、接收域和观察域；当试验曲线收敛于接收域时即可提前结束试飞，达到节省架次的目的。通过应用表明该方法不但适用于导航系统，对其他系统也具参考价值。

关键词： 序贯概率比检验； 导航精度； 飞行试验； 置信度； 误差概率

中图分类号： TN96?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）11?0124?05

Abstract： The error statistical method based on theory of parameter estimation used in navigation precision flight test can not gain test conclusion until the scheduled flight testing sortie are completed. The sequential probability ratio test method is proposed in this paper according to the testing hypothesis theory， by which refused region， received region and observed region of navigation precision can be deduced while the confidence level and error probability are stipulated. The test may be permitted to be closed ahead of schedule only when test curve converges to the received region， and the flight test sortie is saved then. The method not only is applicable to the navigation systems but also has a reference value to other systems.

Keywords： sequential probability ratio test； navigation precision； flight test； confidence level； error probability

0 引 言

飞行试验是一项复杂的系统工程，耗资大，周期长。如何利用更少的试飞架次，客观准确地评估被试对象的功能和性能是试飞工程师始终面临的问题。导航精度评估的传统方法是误差统计法，其原理是认为导航误差服从正态分布，按照参数估计理论求出试飞样本量，计算出系统误差和随机误差，与研制总要求规定的指标相比较，得出导航精度是否满足要求[1]。本文根据Wald在四十年代发展起来的序贯概率比检验法[2]，当给定置信度和误差概率时求出导航精度的拒绝域、接收域和观察域，然后分析导航精度是否满足指标；此方法的关键是随时观察误差试验的过程，当试验曲线收敛于接收域时就可提前结束试飞；与传统的误差统计法相比往往节省试飞架次，提高了试飞效率。

1 序贯概率比检验法原理[3?5]

1.1 导航精度试飞架次计算

由[m]次试验的结果发生了事件A，要求按试验结果评定系统使用时事件A出现的概率，利用概率的二项式分布可以用式（1）评定这个概率[Pm，n]：[Pm，n=CmnPm（1-P）n-m] （1）

式中：[P]表示事件A发生的概率；[n]表示试验时的总试验次数，[m]表示发生事件A的试验次数。

总试验次数[n]是有限的，不可能精确地确定事件A发生概率[P，]仅可以说是对所选择的置信概率在给定的试验次数[n]时，概率[P]的评定值，这就可能确定[P]值的上、下边界值，[P]值位于在概率等于置信概率的上、下边界内。

在实践中常会遇到这种情况，按试验结果确定出[m=0]（事件A未出现一次），这时所需的评定值可以得到。显然此种情况下事件A出现概率的下边界是零，仅需评定事件A出现的上边界。根据式（1），在[m=0]的情况下：

[P0，n=（1-P）n] （2）

规定了评定值的置信概率[p]后，就可假定评定误差的允许概率等于[1-p，]它对应于评定值的上限[Pp]为：

[（1-Pp）n=1-p] （3）

由式（3）不难得到确定事件A出现概率的上边界：

[Pp=1-（1-p）1n] （4）

利用式（4）可确定应完成的飞行试验次数，以便以置信概率[p]获取概率评定值范围的预定上限。

[n=lg（1-p）lg（1-Pp）] （5）

式中：[p]为置信度；[Pp]为系统指标误差概率。

一般情况下，研制总要求中误差是以概率[P=]0.95给出的，因而[Pp=1-P=0.05：]

[n=lg（1-p）lgP] （6）

在数理统计中选择置信度为0.60～0.90，误差概率不应小于0.9，对于正态分布[σ]对应的[P=]0.682 68，[2σ]对应[P=]0.954 5，[3σ]对应[P=]0.997 3。

假若置信度[p=]0.95，误差概率[P=]0.95，则可以得到飞行试验架次[n=]59。

置信度大于90%为高精度，60%～90%为中精度，60%以下为低精度。

对于正态分布，常用试验次数与置信度、误差概率的关系见表1。

1.2 置信区间计算

1.3 导航误差的分类

导航误差有两种情况，一种是不含系统误差或系统误差可修正为0；另一种是系统误差为时间的函数，无法修正为0。导航误差的分布可用两种分布密度函数描述。

（1） 分布密度函数为正态分布

从拉普拉斯分布密度函数看出，拉普拉斯分布与系统误差和随机误差都有关系，因此在不了解导航误差情况时，可用拉普拉斯分布进行导航精度评估。

1.3.1 对数似然函数计算

对数似然比：

3 结 论

本文研究的序贯概率比检验法，在给定置信度和误差概率的情况下，求出导航精度的拒绝域、接收域和观察域，进一步确定导航精度是否满足指标。序贯概率比检验法往往比传统的误差统计法节约架次；在导航精度试飞中得到了实际应用，取得了满意效果；该方法对航电系统、火控系统等精度鉴定也具参考价值。

参考文献

[1] H克拉美.统计学数学方法[M].上海：上海科学技术出版社，1966.

[2] WALD A. Sequential analysis [M]. New York： John Wiley， 1947.

[3] 沈凤麟，叶中付，钱玉美.信号统计分析与处理[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2001.

[4] 陈家鼎.序贯分析[M].北京：北京大学出版社，1995.

[5] LEHMANN E L. Testing statistical hypotheses [M]. New York： John Wiley， 1959.

[6] 徐松涛，周玉芬，高锡俊.二项分布参数序贯概率比检验操作特征的计算[J].空军工程学院学报，1999，19（1）：36?41.

[7] 花虹.概率比检验中的时间序贯方法[J].同济大学学报，1999，27（6）：704?707.

[8] AROIAN L A. Applications of the direct method in sequential analysis [J]. Technometrics， 1976， 18： 301?306.

[9] LORDEN G. Structure of sequential tests minimizing an expec?ted sample size [J]. Z Wahrsch verw Gebiete， 1980， 51： 291?302.

[10] BILLARD L. Optimum partial sequential tests for two? sided tests of the binomial parameter [J]. JASA， 1977， 72： 197?201.

[11] LORDEN G. 2?SPRT′s and the modified Kiefer?Weiss problem of minimizing an expected sample size [J]. Ann Math Sta?tist， 1976， 4： 281?291.

[12] BILLARD L， VAGHOLKAR M K. A sequential procedure for testing a null hypothesis against a two?sided alternative hypothesis [J]. Journal of the Roy Statist Soc， Ser B， 1969， 31： 285?294.

[13] 胡林平，崔西宁.综合化航空电子系统安全评估方法[J].现代电子技术，2012，35（14）：126?130.

[14] 胡辛，李红军，曹闹昌，等.航空电子数据总线技术研究[J].现代电子技术，2010，33（14）：96?98.