基于小波和曲线拟合对瞬变电磁信号去噪的优化
2014-07-18裘伟李享元程衍富
裘伟 李享元 程衍富
摘 要： 瞬变电磁信号容易受到各种噪声的干扰，造成数据处理时分辨率较低，导致异常解释信息，影响后续工作进程。因此，必须选取合适的方法对其进行去噪处理。本文针对瞬变电磁信号的特点利用小波去噪法的优点在噪声中提取有效信号，进而利用曲线拟合对提取的信号做进一步的优化以便得出可靠的解释结果。
关键词： 瞬变电磁信号； 勘探； 去噪； 数据解释
中图分类号： TN911.7?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）11?0061?04
Abstract： TEM signal is easy to subject to the interference of various noises， which results in lower resolution of data processing， abnormal interpreting information and great effects on the subsequent processes. Therefore， a appropriate method must be selected for its denoising. In this paper， the advantage of wavelet denoising method is adopted to extract the effective signal from noise according to the characteristics of transient electromagnetic signals， and then the curve fitting is used to perform the further optimization for the extracted signal so as to obtain a reliable interpretation.
Keywords： TEM signal； exploration； denoising； data interpretation
0 引 言
瞬变电磁法（Transient Electromagnetic Method，TEM）是近几年来应用较普遍的时间域电磁探测方法。它利用阶跃波或其他脉冲电流场源的激励在大地之中产生一个过渡过程的场，在断电瞬间会在大地中形成一个涡旋交变电磁场，测量这种由地下介质产生的二次感应电磁场随时间变化的衰减特性，从测量得到的异常信号中可以分析出地下不均匀体的导电性能以及位置，从而推断地下目标体的分布性态。该技术具有灵敏度高、分辨率强等诸多优点，因而近年来发展十分迅猛，应用前景也及其广阔。来自于人文电场噪声和地磁场微动噪声等会对瞬变电磁信号造成不同程度的影响。所以要选择合适的方法进行去噪，从而增强信号强度，减少解释误差和异常。针对噪声的多样性和复杂性，根据各种去噪方法的不同应用场合，本文采用多种去噪方法相结合的方案，介绍了小波去噪法和曲线拟合相结合的方法，理论上来说小波去噪法对分析非平稳信号处理是非常有效的，而传统傅里叶变换（包括曲线拟合）具有局限性，不能提供任何局部时间段的上的频域信息。因此，利用小波去噪法能够改变窗口形状及在时频两域具有表征信号局部能力的优点有效提取瞬变信号，并再次运用曲线拟合对已经去噪的信号进行进一步的优化。
1 瞬变电磁信号的小波变换去噪实现
瞬变电磁信号的时间范围宽，动态范围大，其衰减过程呈现一定的规律：早期的信号幅值高而且衰变速度很快，宜将采样时间间隔及门宽设定足够窄，保障衰减信号分辨的精确性；晚期的信号很弱，衰变速度慢，宜将采样时间间隔及门宽增大以适应弱信号慢衰变特性。此外，瞬便电磁信号的衰减还与地质对象本身性质以及观测点有关。
1.1 小波变换去噪定义
小波变换是一种信号的时间?频率分析方法。它具有多分辨分析的特点，是一种窗口大小固定、形状以及时间和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。小波变换去噪是建立在小波变换多分辨分析基础上的新兴算法，其基本思想是根据不同频带上噪声与信号的小波分解系数具有不同强度分布的特点，去除各频带上的噪声对应的小波系数，保留原始信号的小波分解系数，然后对处理后的系数进行小波重构，得到纯净信号。它在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，高频部分则相反，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象，进而展示其成分，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点，被誉为分析信号的显微镜。同时，适合用小波变换进行分析的信号应该具有不稳定性。正是基于这个特点，小波变换在信号消噪、弱信号的提取以及信号奇异性分析方面效果显著。
小波变换定义：
[CWTf（a，b）=
[CWTf（a，b）=
可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子[a]和伸缩因子[b]的函数。
小波逆变换：
如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波变换的逆变换是存在的：
[x（t）=1Cψ0∞-∞+∞CWTf（a，b）ψa，b（t）1a2dtda=1Cψ0∞-∞+∞CWTf（a，b）a-12ψa，bt-ba1a2dtda] （3）
1.2 小波变换去噪原理
在实际应用中，有效信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则表现为高频信号。对信号进行小波分解时，属于Besov空间的信号在小波域内其能量主要集中在一些大的系数中，噪声的能量分布集中在一些小的系数中。因此，经小波分解后，信号的小波变换系数要大于噪声的小波变换系数。应用门限阈值等形式对小波系数进行处理，然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。Symlet小波是对Debauchies小波的修改，提高了对称性，保持了近似对称的形式，它具有紧支撑正交性，可进行正交和双正交分析，能够实现精确重构。信号的形状和小波的形态越相近，去噪的效果越好。结合瞬变电磁信号的特点，本文选取Sym8小波作为TEM信号去噪的基本小波函数。
1.3 小波去噪方法步骤
小波去噪步骤如下：
（1）对含噪信号[f（x）]进行几个尺度的离散小波变换（DWT），得到各尺度小波系数[wj，k]；
（2）对各尺度小波系数[wj，k]进行阈值处理，得出估计小波系数[wj，k]，使得[wj，k-uj，k]尽量小；
（3）利用[wj，k]进行小波重构，得到信号[f（x）]的估计信号[f（k）][9]。
其中[f（x）]为含噪信号，[wj，k]为小波系数，[wj，k]为估计小波系数，[f（k）]为估计信号。
1.4 野外实测瞬变电磁数据小波去噪处理
本文实验数据是由山西某公司YCS600?I型矿用本安型瞬变电磁仪在山西大同采用连续正负方波供电方式以及重叠回线装置，发射和接收线框为2 m×2 m矩形回线，此装置既可以在狭窄的巷道空间中方便的进行各种角度的旋转、位移，也增加了发射功率，保证了探测深度。
在采集的15组正负向原始数据的基础上作正负叠加处理，如图1所示由于人文电场噪声和地磁场微动噪声等原因造成有效信号被噪声所淹没。
用小波去噪方法分别对实测瞬变电磁原始数据进行不同分层的消噪处理，如图2所示。其中图（a）为3层分解，可以看出去噪后曲线存在很大的噪声成分，无法有效地提取出正常信号。图（b）是5层分解，噪声成分明显减少，有效信号从噪声中剥离出来，信号曲线较为平滑，同时保持了信号的原始状态。图（c）和图（d）分别为7层和10层分解，随着分解层数的增大，7层分解信号形状发生了微小改变，而10层分解信号则改变明显。经过分析多尺度小波分解去噪结果，经过多尺度小波5层分解去噪后瞬变信号信噪比得到了很大提高，不仅能将噪声从有效信号中剥离，还能保持有信号的原始形态，因而也就保证了解释的准确性。可以发现小波去噪方法虽然有效从噪声中提取信号，使得曲线变得较为光滑，然而有效信号中依然存在有少数噪声，因而在小波分析基础上进行曲线拟合。综合的信号除噪方法也将是未来进行瞬变信号除噪的一个重要方向[9]。
2 曲线拟合原理及方法
2.1 曲线拟合原理
所谓曲线拟合就是离散数据公式化。即，已知样本点[xi， yi]（i = 1，2，…，n），求得解析函数[y≈?x，]使[?x]在原样本点[xi]上尽可能接近[yi]的值，这一过程就叫曲线拟合。常用的曲线拟合方法是最小二乘法。最小二乘曲线拟合：有一组数据[xi，yi，i=1，2，…，N]满足某一函数原型[y（x）=f（a，x），]其中[a]为待定系数向量，则最小二乘曲线拟合的目标：
求出这一组待定系数的值，使得目标函数为最小。
2.2 曲线拟合方法
在实际工程和科学实验中，很难确定参数之间的关系，是线性还是非线性，如果是非线性，那是多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数以及傅里叶函数等，有时候甚至是复合函数，因此在拟合的过程中，拟合曲线函数模型的确定是非常困难的。当拟合曲线函数模型很难通过一般的方法确定时，往往需要通过分析若干可能的函数模型后，经过实际计算才能选到较好的模型。一般来说最小误差平方和越小说明曲线拟合越好，也有通过相关系数[R]的值来决断拟合的优劣。
本文在小波去噪后再利用曲线拟合除噪，小波除噪保证了信号没有明显损失的情况下对信号与噪声进行有效的区分，然而去噪信号中含有少量噪声，因此需要利用曲线拟合方法，通过确定曲线函数模型来去除信号中的残存噪声作进一步的优化。
利用Matlab的曲线拟合工具（ctool）经试验和尝试后发现大部分的函数模型在拟合时对早期和晚期的信号有很明显的改变，因此将信号的拟合曲线函数模型锁定在9阶多项式和8阶傅里叶函数之间。两种函数模型分别表示为：
多项式模型：
[f（x）=p1*x9 +p2*x8+p3*x7+p4*x6+p5*x5+p6*x4+p7*x3+p8*x2+p9*x+p10] （5）
傅里叶模型：
[f（x）=a0+a1*cos（x*w）+b1*sin（x*w）+a2*cos（2*x*w）+b2*sin（2*x*w）+a3*cos（3*x*w）+b3*sin（3*x*w）+a4*cos（4*x*w）+b4*sin（4*x*w）+a5*cos（5*x*w）+b5*sin（5*x*w）+a6*cos（6*x*w）+b6*sin（6*x*w）+a7*cos（7*x*w）+b7*sin（7*x*w）+a8*cos（8*x*w）+b8*sin（8*x*w）]
2.3 野外实测瞬变电磁数据的拟合优化处理
利用如上所述的两个模型对经过小波去噪处理过的信号进一步拟合优化。而判断拟合结果的优劣主要有两个参数来衡量，和方差（SSE）与确定系数（R?square），通过综合比较这两参数来选择拟合模型。SSE公式如下：
[SSE=i=1nwi（yi-yi）2] （7）
其中SSE越小，说明模型选择和拟合更好，数据预测也越成功。
确定系数（R?square）公式如下：
[R?square=1-i=1nwi（yi-yi）2i=1nwi（yi-yi）2] （8）
R?square是通过数据的变化来表征一个拟合的好坏。由上面的表达式可以知道R?square（确定系数）的正常取值范围为[0 1]，所以越接近1，表明方程的变量对[y]的解释能力越强，这个模型对数据拟合的也较好。
根据表1的参数对两组信号之间的不同拟合函数的对比，可以看出傅里叶函数模型和方差小于多项式函数模型，而确定系数相对于多项式函数模型更接近1。因此说明傅里叶拟合更加有效。也可以从图3定性对比看出，图3（b）是多项式拟合，改变了信号晚期的曲线形状，图3（a）是傅里叶拟合，在去除噪声的同时较好的保存了曲线的原始形状。
3 结 论
瞬变电磁信号具有非平稳特征，小波变换作为一种时频分析方法，非常适合瞬变电磁信号中通常夹带瞬变反常干扰信号的消噪处理。经过小波去噪后，信号依旧带有尖峰，需要对信号做进一步处理，以便使信号更加的光滑。通过小波消噪及曲线拟合处理， 为TEM的解释工作提供了更加可靠的数据资料。在去噪过程中之所以没有直接使用拟合方法是因为原始信号中噪声复杂，因此直接拟合会将噪声纳入模型中，引起更大的误差。所以利用高分辨率的小波去噪方法将有效信号提取出来反而也能提高拟合的效果。瞬变信号的除噪，深入研究改善单一去噪法是必要的，将多种去噪方法有效结合也是行之有效的，其实际效果也是非常明显的。
注：本文通讯作者为李享元。
参考文献
[1] NABIGHIAN N M.Electromagnetic methods in applied geophysics theory volume I [M].[S.l.]： Society of Sounding Geophysicsts， 1988： 313?503.
[2] 嵇艳鞠.浅层高分辨率瞬变电磁系统中全程二次场提取技术研究[D].长春：吉林大学，2004.
[3] 牛之链.时间域电磁法原理[M].长沙：中南工业大学出版社，2007.
[4] 薛国强，李貅，底青云.瞬变电磁法理论与应用研究进展[J].地球物理学进展，2007，22（4）：1195?1200.
[5] 王华军.时间域瞬变电磁法全区视电阻率的平移算法[J].地球物理学报，2008，51（6）：1936?1942.
[6] 王华军，罗延钟.中心回线瞬变电磁法2.5维有限单元算法[J].地球物理学报，2003，46（6）：855?862.
[7] 苏朱刘，胡文宝.中心回线方式瞬变电磁测深虚拟全区视电阻率和一维反演方法[J].石油物探，2002，41（2）：216?220.
[8] 张翠芳.小波阈值降噪效果影响因素的研究[J].西安邮电学院学报，2008，13（5）：13?15.
[9] 时圣利.瞬变电磁信号的几种去噪方法研究[D].长春：吉林大学，2008.
1.3 小波去噪方法步骤
小波去噪步骤如下：
（1）对含噪信号[f（x）]进行几个尺度的离散小波变换（DWT），得到各尺度小波系数[wj，k]；
（2）对各尺度小波系数[wj，k]进行阈值处理，得出估计小波系数[wj，k]，使得[wj，k-uj，k]尽量小；
（3）利用[wj，k]进行小波重构，得到信号[f（x）]的估计信号[f（k）][9]。
其中[f（x）]为含噪信号，[wj，k]为小波系数，[wj，k]为估计小波系数，[f（k）]为估计信号。
1.4 野外实测瞬变电磁数据小波去噪处理
本文实验数据是由山西某公司YCS600?I型矿用本安型瞬变电磁仪在山西大同采用连续正负方波供电方式以及重叠回线装置，发射和接收线框为2 m×2 m矩形回线，此装置既可以在狭窄的巷道空间中方便的进行各种角度的旋转、位移，也增加了发射功率，保证了探测深度。
在采集的15组正负向原始数据的基础上作正负叠加处理，如图1所示由于人文电场噪声和地磁场微动噪声等原因造成有效信号被噪声所淹没。
用小波去噪方法分别对实测瞬变电磁原始数据进行不同分层的消噪处理，如图2所示。其中图（a）为3层分解，可以看出去噪后曲线存在很大的噪声成分，无法有效地提取出正常信号。图（b）是5层分解，噪声成分明显减少，有效信号从噪声中剥离出来，信号曲线较为平滑，同时保持了信号的原始状态。图（c）和图（d）分别为7层和10层分解，随着分解层数的增大，7层分解信号形状发生了微小改变，而10层分解信号则改变明显。经过分析多尺度小波分解去噪结果，经过多尺度小波5层分解去噪后瞬变信号信噪比得到了很大提高，不仅能将噪声从有效信号中剥离，还能保持有信号的原始形态，因而也就保证了解释的准确性。可以发现小波去噪方法虽然有效从噪声中提取信号，使得曲线变得较为光滑，然而有效信号中依然存在有少数噪声，因而在小波分析基础上进行曲线拟合。综合的信号除噪方法也将是未来进行瞬变信号除噪的一个重要方向[9]。
2 曲线拟合原理及方法
2.1 曲线拟合原理
所谓曲线拟合就是离散数据公式化。即，已知样本点[xi， yi]（i = 1，2，…，n），求得解析函数[y≈?x，]使[?x]在原样本点[xi]上尽可能接近[yi]的值，这一过程就叫曲线拟合。常用的曲线拟合方法是最小二乘法。最小二乘曲线拟合：有一组数据[xi，yi，i=1，2，…，N]满足某一函数原型[y（x）=f（a，x），]其中[a]为待定系数向量，则最小二乘曲线拟合的目标：
求出这一组待定系数的值，使得目标函数为最小。
2.2 曲线拟合方法
在实际工程和科学实验中，很难确定参数之间的关系，是线性还是非线性，如果是非线性，那是多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数以及傅里叶函数等，有时候甚至是复合函数，因此在拟合的过程中，拟合曲线函数模型的确定是非常困难的。当拟合曲线函数模型很难通过一般的方法确定时，往往需要通过分析若干可能的函数模型后，经过实际计算才能选到较好的模型。一般来说最小误差平方和越小说明曲线拟合越好，也有通过相关系数[R]的值来决断拟合的优劣。
本文在小波去噪后再利用曲线拟合除噪，小波除噪保证了信号没有明显损失的情况下对信号与噪声进行有效的区分，然而去噪信号中含有少量噪声，因此需要利用曲线拟合方法，通过确定曲线函数模型来去除信号中的残存噪声作进一步的优化。
利用Matlab的曲线拟合工具（ctool）经试验和尝试后发现大部分的函数模型在拟合时对早期和晚期的信号有很明显的改变，因此将信号的拟合曲线函数模型锁定在9阶多项式和8阶傅里叶函数之间。两种函数模型分别表示为：
多项式模型：
[f（x）=p1*x9 +p2*x8+p3*x7+p4*x6+p5*x5+p6*x4+p7*x3+p8*x2+p9*x+p10] （5）
傅里叶模型：
[f（x）=a0+a1*cos（x*w）+b1*sin（x*w）+a2*cos（2*x*w）+b2*sin（2*x*w）+a3*cos（3*x*w）+b3*sin（3*x*w）+a4*cos（4*x*w）+b4*sin（4*x*w）+a5*cos（5*x*w）+b5*sin（5*x*w）+a6*cos（6*x*w）+b6*sin（6*x*w）+a7*cos（7*x*w）+b7*sin（7*x*w）+a8*cos（8*x*w）+b8*sin（8*x*w）]
2.3 野外实测瞬变电磁数据的拟合优化处理
利用如上所述的两个模型对经过小波去噪处理过的信号进一步拟合优化。而判断拟合结果的优劣主要有两个参数来衡量，和方差（SSE）与确定系数（R?square），通过综合比较这两参数来选择拟合模型。SSE公式如下：
[SSE=i=1nwi（yi-yi）2] （7）
其中SSE越小，说明模型选择和拟合更好，数据预测也越成功。
确定系数（R?square）公式如下：
[R?square=1-i=1nwi（yi-yi）2i=1nwi（yi-yi）2] （8）
R?square是通过数据的变化来表征一个拟合的好坏。由上面的表达式可以知道R?square（确定系数）的正常取值范围为[0 1]，所以越接近1，表明方程的变量对[y]的解释能力越强，这个模型对数据拟合的也较好。
根据表1的参数对两组信号之间的不同拟合函数的对比，可以看出傅里叶函数模型和方差小于多项式函数模型，而确定系数相对于多项式函数模型更接近1。因此说明傅里叶拟合更加有效。也可以从图3定性对比看出，图3（b）是多项式拟合，改变了信号晚期的曲线形状，图3（a）是傅里叶拟合，在去除噪声的同时较好的保存了曲线的原始形状。
3 结 论
瞬变电磁信号具有非平稳特征，小波变换作为一种时频分析方法，非常适合瞬变电磁信号中通常夹带瞬变反常干扰信号的消噪处理。经过小波去噪后，信号依旧带有尖峰，需要对信号做进一步处理，以便使信号更加的光滑。通过小波消噪及曲线拟合处理， 为TEM的解释工作提供了更加可靠的数据资料。在去噪过程中之所以没有直接使用拟合方法是因为原始信号中噪声复杂，因此直接拟合会将噪声纳入模型中，引起更大的误差。所以利用高分辨率的小波去噪方法将有效信号提取出来反而也能提高拟合的效果。瞬变信号的除噪，深入研究改善单一去噪法是必要的，将多种去噪方法有效结合也是行之有效的，其实际效果也是非常明显的。
注：本文通讯作者为李享元。
参考文献
[1] NABIGHIAN N M.Electromagnetic methods in applied geophysics theory volume I [M].[S.l.]： Society of Sounding Geophysicsts， 1988： 313?503.
[2] 嵇艳鞠.浅层高分辨率瞬变电磁系统中全程二次场提取技术研究[D].长春：吉林大学，2004.
[3] 牛之链.时间域电磁法原理[M].长沙：中南工业大学出版社，2007.
[4] 薛国强，李貅，底青云.瞬变电磁法理论与应用研究进展[J].地球物理学进展，2007，22（4）：1195?1200.
[5] 王华军.时间域瞬变电磁法全区视电阻率的平移算法[J].地球物理学报，2008，51（6）：1936?1942.
[6] 王华军，罗延钟.中心回线瞬变电磁法2.5维有限单元算法[J].地球物理学报，2003，46（6）：855?862.
[7] 苏朱刘，胡文宝.中心回线方式瞬变电磁测深虚拟全区视电阻率和一维反演方法[J].石油物探，2002，41（2）：216?220.
[8] 张翠芳.小波阈值降噪效果影响因素的研究[J].西安邮电学院学报，2008，13（5）：13?15.
[9] 时圣利.瞬变电磁信号的几种去噪方法研究[D].长春：吉林大学，2008.
1.3 小波去噪方法步骤
小波去噪步骤如下：
（1）对含噪信号[f（x）]进行几个尺度的离散小波变换（DWT），得到各尺度小波系数[wj，k]；
（2）对各尺度小波系数[wj，k]进行阈值处理，得出估计小波系数[wj，k]，使得[wj，k-uj，k]尽量小；
（3）利用[wj，k]进行小波重构，得到信号[f（x）]的估计信号[f（k）][9]。
其中[f（x）]为含噪信号，[wj，k]为小波系数，[wj，k]为估计小波系数，[f（k）]为估计信号。
1.4 野外实测瞬变电磁数据小波去噪处理
本文实验数据是由山西某公司YCS600?I型矿用本安型瞬变电磁仪在山西大同采用连续正负方波供电方式以及重叠回线装置，发射和接收线框为2 m×2 m矩形回线，此装置既可以在狭窄的巷道空间中方便的进行各种角度的旋转、位移，也增加了发射功率，保证了探测深度。
在采集的15组正负向原始数据的基础上作正负叠加处理，如图1所示由于人文电场噪声和地磁场微动噪声等原因造成有效信号被噪声所淹没。
用小波去噪方法分别对实测瞬变电磁原始数据进行不同分层的消噪处理，如图2所示。其中图（a）为3层分解，可以看出去噪后曲线存在很大的噪声成分，无法有效地提取出正常信号。图（b）是5层分解，噪声成分明显减少，有效信号从噪声中剥离出来，信号曲线较为平滑，同时保持了信号的原始状态。图（c）和图（d）分别为7层和10层分解，随着分解层数的增大，7层分解信号形状发生了微小改变，而10层分解信号则改变明显。经过分析多尺度小波分解去噪结果，经过多尺度小波5层分解去噪后瞬变信号信噪比得到了很大提高，不仅能将噪声从有效信号中剥离，还能保持有信号的原始形态，因而也就保证了解释的准确性。可以发现小波去噪方法虽然有效从噪声中提取信号，使得曲线变得较为光滑，然而有效信号中依然存在有少数噪声，因而在小波分析基础上进行曲线拟合。综合的信号除噪方法也将是未来进行瞬变信号除噪的一个重要方向[9]。
2 曲线拟合原理及方法
2.1 曲线拟合原理
所谓曲线拟合就是离散数据公式化。即，已知样本点[xi， yi]（i = 1，2，…，n），求得解析函数[y≈?x，]使[?x]在原样本点[xi]上尽可能接近[yi]的值，这一过程就叫曲线拟合。常用的曲线拟合方法是最小二乘法。最小二乘曲线拟合：有一组数据[xi，yi，i=1，2，…，N]满足某一函数原型[y（x）=f（a，x），]其中[a]为待定系数向量，则最小二乘曲线拟合的目标：
求出这一组待定系数的值，使得目标函数为最小。
2.2 曲线拟合方法
在实际工程和科学实验中，很难确定参数之间的关系，是线性还是非线性，如果是非线性，那是多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数以及傅里叶函数等，有时候甚至是复合函数，因此在拟合的过程中，拟合曲线函数模型的确定是非常困难的。当拟合曲线函数模型很难通过一般的方法确定时，往往需要通过分析若干可能的函数模型后，经过实际计算才能选到较好的模型。一般来说最小误差平方和越小说明曲线拟合越好，也有通过相关系数[R]的值来决断拟合的优劣。
本文在小波去噪后再利用曲线拟合除噪，小波除噪保证了信号没有明显损失的情况下对信号与噪声进行有效的区分，然而去噪信号中含有少量噪声，因此需要利用曲线拟合方法，通过确定曲线函数模型来去除信号中的残存噪声作进一步的优化。
利用Matlab的曲线拟合工具（ctool）经试验和尝试后发现大部分的函数模型在拟合时对早期和晚期的信号有很明显的改变，因此将信号的拟合曲线函数模型锁定在9阶多项式和8阶傅里叶函数之间。两种函数模型分别表示为：
多项式模型：
[f（x）=p1*x9 +p2*x8+p3*x7+p4*x6+p5*x5+p6*x4+p7*x3+p8*x2+p9*x+p10] （5）
傅里叶模型：
[f（x）=a0+a1*cos（x*w）+b1*sin（x*w）+a2*cos（2*x*w）+b2*sin（2*x*w）+a3*cos（3*x*w）+b3*sin（3*x*w）+a4*cos（4*x*w）+b4*sin（4*x*w）+a5*cos（5*x*w）+b5*sin（5*x*w）+a6*cos（6*x*w）+b6*sin（6*x*w）+a7*cos（7*x*w）+b7*sin（7*x*w）+a8*cos（8*x*w）+b8*sin（8*x*w）]
2.3 野外实测瞬变电磁数据的拟合优化处理
利用如上所述的两个模型对经过小波去噪处理过的信号进一步拟合优化。而判断拟合结果的优劣主要有两个参数来衡量，和方差（SSE）与确定系数（R?square），通过综合比较这两参数来选择拟合模型。SSE公式如下：
[SSE=i=1nwi（yi-yi）2] （7）
其中SSE越小，说明模型选择和拟合更好，数据预测也越成功。
确定系数（R?square）公式如下：
[R?square=1-i=1nwi（yi-yi）2i=1nwi（yi-yi）2] （8）
R?square是通过数据的变化来表征一个拟合的好坏。由上面的表达式可以知道R?square（确定系数）的正常取值范围为[0 1]，所以越接近1，表明方程的变量对[y]的解释能力越强，这个模型对数据拟合的也较好。
根据表1的参数对两组信号之间的不同拟合函数的对比，可以看出傅里叶函数模型和方差小于多项式函数模型，而确定系数相对于多项式函数模型更接近1。因此说明傅里叶拟合更加有效。也可以从图3定性对比看出，图3（b）是多项式拟合，改变了信号晚期的曲线形状，图3（a）是傅里叶拟合，在去除噪声的同时较好的保存了曲线的原始形状。
3 结 论
瞬变电磁信号具有非平稳特征，小波变换作为一种时频分析方法，非常适合瞬变电磁信号中通常夹带瞬变反常干扰信号的消噪处理。经过小波去噪后，信号依旧带有尖峰，需要对信号做进一步处理，以便使信号更加的光滑。通过小波消噪及曲线拟合处理， 为TEM的解释工作提供了更加可靠的数据资料。在去噪过程中之所以没有直接使用拟合方法是因为原始信号中噪声复杂，因此直接拟合会将噪声纳入模型中，引起更大的误差。所以利用高分辨率的小波去噪方法将有效信号提取出来反而也能提高拟合的效果。瞬变信号的除噪，深入研究改善单一去噪法是必要的，将多种去噪方法有效结合也是行之有效的，其实际效果也是非常明显的。
注：本文通讯作者为李享元。
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