超静定悬臂梁临界荷载的优化算法

尤 超，朱永祥，张锦丽

在实际工程中，大部分结构都是超静定的，单纯依靠静力学的平衡条件是无法确定出结构的全部反力和内力，因此，具有多余约束是超静定结构的基本特征，这也使得问题的求解变得更加复杂。本文选取超静定悬臂梁变形后的平衡状态为研究对象，采用终态分析优化算法来分析，最后确定超静定悬臂梁的优化问题，并编制相应优化程序求解其变形和转角。

1 建立力学模型

梁结构一端为固定端，另一端为链杆约束，具有一次超静定问题。受集中力F作用。弯曲刚度EI，在受载荷前位置为OA，受载荷后平衡位置为OA′，如图1，变形后梁总长不变，但是其A支座在x方向向左移动。

图1 超静定悬臂梁变形前后的平衡状态图

2 局部坐标系下结构静力分析

图2对超静定悬臂梁的第k个微段进行变形分析，左端点坐标是Sk－1（Xk－1，Yk－1），右端点坐标是Sk（Xk，Yk），以微段左端点Sk－1（Xk－1，Yk－1）的切线和法线为x轴和y轴，建立局部坐标系oxy，则变形梁的第k子段，可看成左端为固定端的悬臂梁变形问题。略去剪力和轴力作用。

图2 超静定悬臂梁第k个微段在局部坐标系下的变形分析图

弯矩大小为：

式（2）即为超静定悬臂梁第k个微段的转角和变形的表达式

3 整体坐标系下整体坐标的建立

在整体坐标系下，Sk点的位置由Sk－1点位置和第k个微段的变形与转角共同决定，第k个微段的转角与变形分别为 Δθk，Δxk，Δyk。Sk点 的转角和坐标由下面递推关系式得到：

4 结构优化问题与目标函数的实现

优化问题为：

5 算例分析

算例：集中力P作用在距左端点0.5处，发生变形时，本文优化分析算法和ANSYS分析软件分别计算载荷p＝10时的情况。

当p＝10时，超静定悬臂梁的变形和转角计算结果列于表2和表3中，其中设计变量如表1所示。

表1 p＝10作用下超静定悬臂梁的设计变量列表

表2 当p＝10情况下本文优化算法所计算的变形和转角

36 0.150082 0.711066 －0.06999 37 0.162202 0.730823 －0.06688 38 0.173357 0.750542 －0.06354 39 0.183603 0.770224 －0.05999 40 0.192833 0.789871 －0.05625 41 0.201162 0.809484 －0.05234 41 0.208523 0.829066 －0.04827 43 0.214930 0.848619 －0.04406 44 0.220384 0.868147 －0.03975 45 0.224882 0.887654 －0.03533 46 0.228481 0.907142 －0.03083 47 0.231164 0.926616 －0.02528 48 0.232563 0.946080 －0.01968 50 0.233055 0.965539 －0.01206 51 0.234448 0.984993 0－0.024000

表3 当 作用时，有限元方法计算出的变形和转角

根据上述结果，绘制p＝10作用时，本文优化算法和有限元方法确定的变形后的平衡状态图，

如图3所示。

图3 本文优化算法和有限元方法确定的平衡变形图

结论：从本文优化算法和有限元方法的计算结果对比图，可以看出二种方法的计算结果十分吻合，从另一方面验证了本文算法在解决超静定悬臂梁问题上的正确性和有效性。

6 结束语

本文通过计算实例，对超静定悬臂梁的结构进行了受力分析，从对比图和计算结果中可以看出，采用本文优化算法和ANSYS有限元方法的计算结果具有很好的一致性，验证本文算法在解决超静定结构问题上具有有效性和正确性。从而为处理工程实际问题，提供了一种求解的新思路。

［1］侯祥林，尤 超.大转动几何非线性梁变形问题的优化计算［J］.沈阳建筑大学学报：自然科学版，2006，22（5）：726－731.

［2］杨慧丽.工程力学［M］.北京，水利水电出版社，2008：298－301.

［3］侯祥林，刘大任.杆件大变形问题的优化精确算法［J］.沈阳建筑大学学报：自然科学版，2006，22（2）：221－223.

［4］李 权.ANSYS在土木工程中的应用［M］.北京，人民邮电出版社，2005：1－3.

［5］龚曙光.Ansys工程应用实例解析［M］.北京：机械工业出版社，2003.