利率风险及隐含期权调整后的久期计算

唐恩林

随着我国计划经济向市场经济的逐步转轨，市场机制在配置资源中起到了越来越重要的作用。当前国际上对于利率市场化的呼声较高，在我国，中国人民银行对存贷款基准利率的调整也越来越频繁，这使得我国商业银行这种背景下面临着较大的利率风险，这样的利率风险无疑会给商业银行带来不可预测的损失，而免疫策略就是用来规避利率风险的［1］。然而，免疫策略的内涵很广，选择具体的免疫策略尤为重要，久期匹配策略就是一种常规的资产负债管理策略，用以平衡利率变动引起的资产负债价值不匹配［2］。本文在介绍久期凸度和Redington基本模型时，基于利率期限结构［3］和现金流相互独立的假设，给出了隐含期权条件下久期计算方法［4］。

1 久期的含义

久期是指某一项资产或者负债（也可以是债券）距离到期的加权平均时间，决定权重的是现金流折算后的现值大小，它可以由以下公式表达：

式（1）中，D表示资产（负债）的久期；CFt表示t时刻由金融工具产生的现金流；T表示到期时间，这里特别指资产（或负债）的整个期限；R表示当前市场利率；P表示资产（或负债）的现值。

从另一个方面，资产（负债）关于1＋R的点弹性，可知：

从式（2）中我们可以看出久期不仅可以表示金融工具收入或支出现金流的加权平均期限，还可以表示资产（或负债）的价值相对于利率变动的敏感程度，即资产（或负债）的价值关于1＋R的点弹性，因此这一概念可以用来衡量利率变动百分之一时，资产（或负债）的价值变动百分之几。

然而在实际应用上，为了减少利率变动较大带来的衡量误差，通常采用修正久期Dmod，即久期相对于1＋R的比值，来衡量资产（或负债）的价值相对于利率变动的敏感程度。

久期在利率变动幅度很小的时候能有效的测量利率风险，但实际中利率的较大幅度变动则不能再应用久期法，于是凸度模型在这种情形下应运而生。反映在图像上，它刻画了资产（或负债）的当前的市场价值随便当前市场利率的变动而变动的斜率，即下图中曲线2要表达的意思。显然曲线1是用来代表久期的意义。从图中还可以看出，随着利率的变动，两曲线的距离越来越大，这正是Dmod（修正久期）的意义［5］。

如果用C代表凸度，那么：

图1 凸度

因此

2 Redington基本模型

1952年Redington［6］第一次提出了免疫利率的思想和概念，他的“免疫”概念指的是能够保护现有交易不受利率变动影响的投资模式，据此他创立的Redington模型即构成了免疫理论的基础。

时间序列｛sj｝的债务支付我们可以用｛lj｝表示，支付时间和支付金融是可以知道的；用现金流｛ak｝对债务进行融资，记tk为ak的发生时间，基于资产项目没有提前还款的违约风险的假设，再用利息力δ（t），t≥0代替当前的利率模型，可知资产负债的现值是完全相同的：

我们假设在考察的初始期资产和负债的价值相等，但是随着利率的波动，资产和负债的价值相对于利率的变化而发生变化的程度是不一样的。所以至少应使资产价值不小于负债的价值。即问题可以转化为当δ（t）变成δ（t）时，资产现值不小于负责的现值，即：

则式（7）可以表示成

式（8）可以表示成

又f（t）随着ε（t）的变动而变动，如果ε（t）等于一常数ε，可得：

又令 ∑αktk＝ ∑λjsj，∑αk（tk）2＝ ∑λj（sj）2

再者我们可以从 ∑αk＝∑λj和∑αktk＝∑λjsj推出

由麦考莱 久期的含义，∑αktk／∑αk是资产的麦考莱久期，∑λjsj／∑λj是负债的麦考莱久期，则上式意味着DA＝DL。

3 隐含期权条件下的久期计算

在实际经运行中，传统的麦考莱久期不能有效的衡量在利率变动情况下金融工具现金流的加权平均期限，因为传统的久期基于现金流独立于利率的变动，然而在现实中许多金融工具的现金流会随着利率的变动而变动，如可提前支取的存款、可以提前偿付的贷款以及可赎回债券、可转换债券、保单的退保权利，这种利率期权就叫隐含期权。对于这类金融品种，传统的久期匹配策略显然是无效的，我们需要对传统的久期加以修正，进而匹配修正后的久期以达到规避利率风险的目的。

可赎回债券和可回售债券的行权情形可以见表1。

现在以可赎回固定利率债券为例分析。可赎回固定利率债券可以分解成固定利率债券部分和买入期权部分，由此可知可赎回固定利率债券的市场价值等于普通债券（固定利率债券）减去赎回权（期权），如果用Mc代表可赎回固定利率债券的市场价值；MB固定利率债券的市场价值；c代表期权费，则

表1 含权债券的比较分析

如果用DC代表可赎回债券的久期；DB代表固定利率债券部分的久期；D∞为隐含期权的久期，那修正后的久期即期权调整后的久期可以表示如下：

而期权费就相关于固定利率债券部分的价值和利率等因素，则表达为如下的函数：

综合以上各式可得：

对于期权费c可以通过期权定价模型得出，进而可以得到其他有关参数如Δ和ρ的值。

与可赎回债券类似，保单的退保权利也可以

可知，期权调整后的久期DC可表达如下：分解成精算价值和隐含期权价值两部分，如果用MB代表预定利率下保单的精算价值；p代表期权费；MP是保单的实际价值，MP＝MB＋p，DB为预定利率下保单精算的久期；Δ＝ ∂P／∂MB；ρ＝（∂p／p）／（∂i／i），因此也可以推出隐含退保权的保单的久期DP：

4 结论

传统的麦考莱久期是基于利率期限结构和现金流相互独立的假设，然而在实际经济情形中，利率的变动严重影响了资产或负债的现金流，使资产或负债中嵌入了选择权即隐含期权，导致已有的久期匹配利率风险管理策略失效，因此在放开利率期限结构和现金流相互独立的假设下，使用期权调整后的久期进行匹配可以很好地进行资产负债的利率风险管理。

［1］黄金老.利率市场化与商业银行风险控制［J］，经济研究，2001（1）：19－20.

［2］王春峰，张 伟.基于久期缺口模型的隐含期权利率风险管理［J］.系统工程理论方法应用，2001（4）：269－276.

［3］Cox J C，Ingersoll J E，Ross S A.A Theory of the Term Structure of Interest Rates［J］.Econometric，1985，53（2）：385－407.

［4］Jae Ha Lee，Duane R.Stock.Embedded Options and Interest Rate Risk for Insurance Companies，Banks and other Financial Institutions［J］.The Quarterly Review of Economics and Finance.2000（40）：169－187.

［5］王春峰，张 伟.具有隐含期权的商业银行利率风险测量与管理.凸度缺口模型［J］，管理科学学报，2001（10）：21－29.

［6］Redington F M.Review of the principles of life－office valuations［J］.Journal of the Institute of Actuaries，1952（78）：286－315.