基于贝叶斯理论的导弹发动机可靠性研究＊

洪 亮 杨春周 衣冠琛 陈 健

（海军航空工程学院 烟台 264001）

1 引言

导弹是一种结构复杂的武器装备，由于有着长期贮存、一次性使用的特点，因此，其发生故障的可能性就会随着贮存时间变长而逐步增大。作为导弹的心脏，导弹发动机的可靠性更是值得我们重视的现实问题。如何运用科学的方法对导弹发动机可靠性进行科学评判，是当前需要研究的一项现实而又紧迫的课题。

2 SPOT方法理论

关于序贯的检验方法，人们通常所熟悉的是A.Wald提出的序贯概率比检验（Sequential Probability Ratio Test，SPRT）方法［1］。这种方法的平均试验次数较之传统的检验方法要少，易于组织实施，因此对于成本高昂的试验，人们乐于采用。但是由于这种方法对验前信息没有考虑，所需试验次数仍然比较大。为了对小子样条件下的试验结果进行分析，得出合理的结论，需要充分利用验前信息，所以我们采用序贯验后加权检验（Sequential Posterior Odd Test，SPOT）方法对R＆M 指标进行验证［2］。

SPOT方法以Baves理论为基础，不仅运用了总体分布未知参数的验前信息，而且决策的过程是“序贯”的，即在每次试验之后，连同以往试验的结果，进行统计推断，看能否做出统计决策。如果尚不足以作出决策，那么再进行下一次试验，因此在这种决策过程中样本的容量不是事先固定的，而是视出现的样本而定，即试验数是随机的。所以运用SPOT方法对战技指标进行验证，当试验信息已足够用于得出统计推断时，就停止试验，这样就可以避免不必要的试验，达到节省费用、缩短试验周期和提高试验质量的作用。

由于在实际的试验方案制订过程中，考虑到试验费用和时间等因素的影响，受武器装备试验数量的限制，不能任试验无限制地“序贯”下去，往往一般要求预先确定试验次数的上界，即规定最大试验样本量，在这种情况下，如果未能在规定的样本量内得出指标合格与否的结论，就需要采用截尾SPOT方法对指标进行验证。

3 MTBF验证约束条件

一般情况下，在研制合同中根据作战需要会要求战技指标为某一个数值，要求检验的指标不大于或不小于另一个数值，这个数通常表示军方最大限度的可接受值，如果不满足要求，则可能对作战任务造成重大影响。对于可靠性指标参数的验证而言，设θ表示装备的平均故障间隔时间（Mean Time Between Failures，MTBF），根据作战任务的要求，这里规定θ应不小于θ1，θ1表示军方最大限度的可接受值，由于试验结果的随机性，统计检验结果带有一定的误判风险，即生产方风险α和使用方风险β（生产方风险α表示产品实际上合格时，由于是抽样试验而被判定为不合格的概率，这种错误使产品的生产方受到损失；使用方风险β表示产品不合格时，而被判定为合格的概率，这种错误将导致用户方受到损失。）。并且为了兼顾研制方的利益，设定检出比为λ，令θ0表示参数θ希望达到的值（检验上限）。

设可靠性真值为θ，希望达到的可靠性值为θ0（检验上限），最大可接受值为θ1（检验下限），基于简单假设的SPOT方法，就是通过借助验前信息，在每次试验之后对所有试验数据进行分析，对试验结果进行统计推断，判断在可靠性检验下限和检验上限中究竟取哪个值更为合适。

4 导弹发动机MTBF的验证过程

在已知生产方、使用方两类风险，军方对某型导弹发动机MTBF［3］规定值以及最大试验样本量的条件下，通过现场试验，获取一组现场试验数据。将导弹发动机MTBF的仿真信息和专家信息这两种验前信息以分布函数的形式进行描述，获得各自的先验分布。通过D－S证据融合方法将先验分布进行融合，获得最终的先验分布。最后，利用现场试验数据和最终的先验分布，通过SPOT方法及截尾SPOT方法对某型导弹发动机系统的MTBF做出验证，判断其是否符合军方对导弹发动机系统的可靠性要求，具体过程如图1所示。

图1 某型导弹发动机MTBF的验证过程

5 导弹发动机可靠性数据需求分析

在某型导弹发动机系统的可靠性指标验证过程中，需要综合利用专家信息、仿真信息等形成可靠性指标参数的先验分布，进而结合现场试验数据进行可靠性指标的验证。下面给出进行验证试验前的数据需求分析。

5.1 研制方、使用方需求数据

α为生产方风险；β为使用方风险；θ1为军方最大限度的可接受值；N为最大试验样本量；

通过对某型导弹发动机系统的工程需求的分析，试验单位需对平均故障间隔时间MTBF按如下条件进行验证：α＝β＝0.2，θ1＝4.5m，N＝5。

5.2 验前信息

由于导弹发动机寿命的现场试验数据为小样本，因此需要对导弹发动机可靠性的验前信息进行分析，形成先验分布，进而用于Bayes统计推断。假设在对某型导弹发动机系统的验前信息分析中共得到仿真信息和专家信息两类，下面分别对这两种信息进行分析。

5.2.1 仿真信息分析

对于导弹发动机系统的可靠性分析，仿真信息是一种主要的验前信息来源。对该导弹通过仿真模型仿真得到500组仿真数据，在表1中列出了其中50组数据的MTBF估计结果。

得到仿真数据后，可以利用极大似然法得出每次仿真后系统θ（MTBF）的点估计，这样针对上述500组数据就有500个数据点可供分析。进一步假设系统B的先验分布为逆Gamma分布IG（a，b），则由矩等效法即可求出超参数（a，b）［4］。由逆Gamma分布IG（a，b）的期望和方差的计算公式，有

联合上述两个公式求解得到：

经过分析仿真所得的500组数据，得出系统MTBF点估计的均值为4.60，方差为0.40，分别代入a、b的计算公式，得到

所以在做系统的可靠性分析中，可以以仿真试验分析所得的可靠性指标MTBF的先验分布IG（54.9000，247.94）作为θ的先验分布。

表1 MTBF估计结果

5.2.2 专家信息分析

对于导弹发动机系统的MTBF的估计，专家信息是一种常用的验前信息，通过模拟对3名专家进行咨询得到表2所示的模拟验前信息。

通过对表2的分析，由专家信息的规范化描述方案，可以求解出导弹发动机系统MTBF的先验分布，如表2所示。

表2 模拟验前信息

5.3 信息融合

出于计算与绘图简便的考虑，将上述四种先验分布转化为Gamma分布后的图像如图2所示，对验前信息融合过程，可以得出系统可靠性指标θ的先验分布，由数据融合方法，可以得到如图3所示的由直方图表示的融合结果［5］。

5.4 先验分布的确定

在5.3中已得出验前信息融合结果的离散化表示，为了对系统的MTBF进行验证，需要利用Gamma分布的形式对上述融合结果进行拟合，得到其中的超参数，进而转化为系统MTBF的逆Gamma分布描述。通过运用矩等效法求解超参数，得到融合先验分布为Gamma分布G（228.1772，1042.4），如图4所示。因此，通过对四种验前信息的规范化描述和合理融合，得到系统MTBF的融合先验分布为IG（228.1772，1042.4）。

图2 四种先验概率密度函数图形显示

图3 验前信息融合结果的直方图显示

图4 融合先验分布概率密度函数

6 可靠性指标仿真验证分析

首先设统计假设为

此时，θ0＝｛0＜θ≤4.5｝，θ1＝｛θ＞4.5｝。

由前面的计算可得θ（MTBF）的先验分布为（228.1772，1042.4），由验后分布的超参数与先验分布的超参数的关系可知，其验后分布为IG（232.1772，1057.9）。计算后加权比为

其中α1＝232.1772，β1＝1057.9，θ1＝4.5。

经模拟现场试验获得第五发导弹发动机无故障时间为4.6734m，此时现场试验数据为4.5573，4.5665，1.7811，4.6734，故¯x＝4.0329。根据前面的计算公式可知θ的先验分布为IG（232.1772，1042.4），则其后验分布为IG（232.1772，1062.6）。

此时验后加权比为

显然A＜O5＜B，O5仍处于继续试验区，但由于在实验之前就已规定了最大试验样本量为五发，所以此时根据截尾SPOT方法，需要在决策阈值A，B之间嵌入阈值C，当A＜O5＜C时，接受原假设H0；当C≤O5＜B时，接受备择假设H1。

由以上分析与计算结果可以看出，通过试验五枚此类型导弹，即可以对此导弹发动机的可靠性指标MTBF做出验证。相比传统统计试验方法，基于Bayes理论的SPOT方法大大减低了试验次数。大量可信的验前信息是对Bayes序贯检验方法统计推断优良性的保证。当给定的验前信息越可信、越有效时，基于多源验前信息［6］的指标验证方法越可以充分体现它的优势，可以在小样本的条件下对指标作出合理的验证，从而达到了节省试验费用，缩短试验周期和提高试验质量的目的。

7 结语

基于贝叶斯理论下小子样可靠性评定方法对某型导弹发动机质量可靠性进行分析和研究，运用SPOT法对导弹系统可靠性分析进行模型的构建与仿真，针对系统性能可靠性评定面临数据不足的实际情况，提出了利用仿真进行系统性能可靠性评定的方法，工程上易于实现，对高可靠性的复杂系统可靠性评定更加准确有效。

［1］Martz attribute H.F.，Waller R.A.The basics of Bayesian reliability esitamation from test data Los Alamos Scientific Laboratory［R］.Report UC－79p，February，1976：325－327.

［2］Walter G.G.，Hamedani G.G.Bayes Empirical Bayes Estimation for Natural Exponential Families with Quadratic Variance Functions［J］.Ann.Statist.，1991，19（3）：119－1224.

［3］Robbins H.Some Thoughts on Empirical Bayes Estimation［J］.Ann.Statist.，1983，11：713－723.

［4］冯静，刘琦，周经伦.Bayes分析中多源信息融合的最大嫡一矩估计方法［J］.质量与可靠性，2003（6）：131－34.

［5］李军，郭辉煌.物流配送车辆优化调度理论与方法［M］.北京：中国物资出版社，2001：21－32.

［6］MENG Xian－quan，ZHAO Ying－nan，XUE Qing.Application of genetic algorithm in path planning［J］.Computer Engingeering，2008（16）：215－217.

［7］Martz H F，Waller R A.Bayesian Reliability Analysis［M］.New Jersey：John Wiley and Sons，1982：135－139.

［8］杜振华.研制阶段产品可靠性综合评估技术研究［D］.北京：北京航空航天大学，2003，10：67－73.

［9］陈生玉，王少龙.美国核武器安全管理与可靠性［M］.北京：国防工业出版社，2002：231－235.

［10］Ze'ev PoraMeir Haim，Yaffa Markiewicz.Estimation of pr（X＞Y）or pr（X＜Y）［J］.IEEE Transactions on Reliability，1994，143（3）：467－471.