多输入多输出非线性系统ZG 控制方法框架展望

任竞尧，邱俊乔，王 英，殷勇华，张雨浓

（1. 中山大学 信息科学与技术学院，广东 广州 510006；2. 自主系统与网络控制教育部国家重点实验室，广东 广州 510640；3. 中山大学 卡内基梅隆大学国际联合研究院，广东 顺德 528300）

1 引言与问题描述

线性系统控制理论的发展和研究已相当成熟，但非线性系统控制领域仍有许多无成熟解决方案的难题，而非线性系统跟踪控制及其可能出现的奇异点问题更是非线性控制领域中引起广泛关注的难题之一[1-4]。

作者团队前期主要对于单输入单输出系统的ZG控制方法的研究[3-11]已经证明了该控制方法在非线性系统跟踪控制中的有效性及其克服奇异点的优越性。本文把研究对象选为具有更广泛意义的多输入多输出非线性系统，从而对ZG 控制方法进行进一步的思考和推广，给出解决多输入多输出非线性系统的跟踪控制问题及可能出现的奇异点问题的ZG控制方法的框架与展望。

2 ZG 控制方法框架

针对上述跟踪控制问题，下面给出ZG 控制方法用于设计相对应跟踪控制器的步骤框架。

ZG 控制方法的第1 步：按照ZG 控制器的设计方法[3-11]，构建关于 y1和 yd1一系列的Z 函数，一直到出现有显式u（也即，出现有u 的分量）的Z 函数（如在第 φ1个Z 函数z1φ1( x,u )，其中 φ1为正整数）为止[12]。此时ZG 控制方法的第1 步结束，定义如下第1 步Z 函数向量：

然后进入第2 步。值得注意的是，如果无论构建多少个Z 函数都无法得到显含u 的函数则该ZG 控制器无法用于该非线性系统跟踪yd1。

ZG 控制方法的第2 步：构建关于的一系列Z 函数，一直到出现有显式u 的Z 函数（如在第2φ 个Z 函数）为止。与第1 步相似，如果无论构建多少个Z 函数都无法得到显含u 的则该Z G 控制器无法用于该非线性系统跟踪 yd2。如能得到显含u 的则类似(1)定义如下第2 步Z 函数向量：

ZG 控制方法的第3 步：按照前2 步的方法，构建关于 y3和 yd3的一系列Z 函数，最终得到Z 函数并类似(2)定义如下第3 步Z 函数向量：

与前2 步相似，如果无论构建多少个Z 函数都无法得到显含u 的则该ZG 控制器无法用于该非线性系统跟踪yd3。

ZG 控制方法的第m 步：按照前述步骤方法，最终得到关于 ym和 ydm的Z 函数并定义如下第m 步Z 函数向量：

与前(m-1)步相似，如果无论构建多少个Z 函数都无法得到显含u 的则该ZG 控制器无法用于该非线性系统跟踪 ydm。

ZG 控制方法的最后1 步：首先定义能量函数然后采用梯度动力学公式最后把ε 代入其中即可得用于该多输入多输出系统跟踪控制的以u 形式表示的ZG 控制器。最后，也值得给出上述ZG 控制方法的一些简要说明：1）对于单输入单输出非线性系统，只需要进行ZG 控制方法的第1 步和最后1 步即可，是上述算法的特例[3-4]；2）使用ZG控制方法设计控制器的过程中并无除法或矩阵求逆/伪逆等操作，因此可克服由于除以零或矩阵无法求逆/伪逆而导致的奇异点问题。

3 展望

本文首次思考和探讨把ZG控制方法推广用于解决较广义的多输入多输出非线性系统的输出跟踪控制问题及其可能出现的奇异点问题，给出了该方法用于设计ZG 跟踪控制器的步骤框架。关于该ZG 控制器的更详细的表达式、其相对应的关于闭环系统跟踪误差和奇异点求解性能的理论分析以及具体的仿真实验验证等都将在后续工作中进行详细的、完备的探讨、开展和补充，同时也欢迎读者思考与开展该类ZG 控制研究。

[1] 甄恒洲. 基于视觉测量激光焊接复杂焊缝跟踪控制[J]. 大连大学学报, 2013, 34(3): 13-17.

[2] SLOTINE J E, LI W. Applied Nonlinear Control [M]. New Jersey: Prentice Hall, 1991: 262-271.

[3] ZHANG Y, YU X, YIN Y, et al. Singularity-conquering ZG controllers of z2g1 type for tracking control of the IPC system [J]. International Journal of Control, 2014, 87(9): 1729-1746.

[4] ZHANG Y, LUO F, YIN Y, et al. Singularity- conquering ZG controller for output tracking of a class of nonlinear systems [C]. In: Proceedings of the 32nd Chinese Control Conference, 2013: 477-482.

[5] ZHANG Y, LIU J, YIN Y, et al. Zhang-Gradient tracking controllers of Z1G0 and Z1G1 types for time-invariant linear systems [C]. In: Proceedings of the 2nd International Computer Science and Network Technology Conference, 2012: 146-150.

[6] ZHANG Y, LI M, YIN Y, et al. Controller design of nonlinear system for fully trackable and partially trackable paths by combining ZD and GD [C]. In: Proceedings of the 25th Chinese Control and Decision Conference, 2013: 209-214.

[7] ZHANG Y, CHEN J, YU X, et al. ZG controllers of z2g0 and z2g1 types for tracking control of IPC mathematical model [C]. In: Proceedings of the 3rd IFAC International Intelligent Control and Automation Science Conference, 2013: 472-477.

[8] ZHANG Y, LIU J, YIN Y, et al. Zhang-Gradient controllers of Z0G0, Z1G0 and Z1G1 types for output tracking of time- varying linear systems with control-singularity conquered finally [C]. In: Proceedings of the 10th International Neural Networks Conference, 2013: 533-540.

[9] ZHANG Y, WANG Y, YIN Y, et al. ZG controllers for output tracking of nonlinear mass-spring-damper mechanical system with division-by-zero problem solved [C]. In: Proceedings of the 2013 IEEE International Robotics and Biomimetics Conference, 2013: 1845-1850.

[10] ZHANG Y, ZHAI K, WANG Y, et al. Design and illustration of ZG controllers for linear and nonlinear tracking control of double-integrator system [C]. In: Proceedings of the 2014 IEEE Chinese Control Conference, 2014: 3462-3467.

[11] ZHANG Y, CHEN D, YIN Y, et al. ZG tracking control of Lu system with multiple inputs and with division-by-zero problem solved [C]. In: Proceedings of the 2014 IEEE Chinese Control Conference, 2014: 3477-3482.

[12] 戴先中. 多变量非线性系统的神经网络逆控制方法[M]. 北京: 科学出版社, 2005: 30-37.