高一学生对函数对应关系的理解偏差及解决对策

杨琼洲

摘要：函数对应关系是高中学生经常出现理解偏差的重要知识点，分析学生出现理解偏差的原因并从根源予以杜绝、纠正，是确保学生得以顺利掌握函数对应关系概念的关键。本文分析了高一学生函数对应关系理解偏差的原因，并探讨了解决对策，希望能为高中函数教学提供新思路。

关键词：函数对应关系；概念；偏差；理解

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）10-105-02

我国数学教学历来重视基础的学习，函数对应关系作为中学最重要也最复杂的概念之一，是教学过程中学生们经常出现表述模糊或理解偏差的难点之一，为何学生们对这个概念的理解经常出现失误，是数学教学中我们需要反思的重要课题，也是教学中需要予以积极引导和解决的难点。下面我们结合高中数学教学中学生对函数对应关系理解偏差出现的原因和解决对策加以分析探究。

一、 高一学生函数对应关系理解偏差的原因

函数对应关系定义：函数的核心是对应关系.在函数符号y＝f(x)中，f是表示函数的对应关系，等式y＝f(x)表明，对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径。高一学生函数概念的理解水平低，出现偏差的情况比比皆是，这主要与三个原因有关。

1、学习态度

学生高一学习函数对应关系是在高一上学期开始，此时学生们正结束初中生活，心态极度放松，中学学习过的一次、二次和反比例函数知识已然变淡，在高一开始学习时多数不会做过多详细的复习，对于突然间开始学习函数对应关系的学生而言在认识上有一定阻碍与排斥。

2、函数概念的抽象性

函数概念本身的复杂性和发展性，作为高中数学中的一个重要知识点，函数对应关系形式丰富多彩，形成函数关系的两个集合元素可以是任意的，对于学生而言，深入理解难度较大，学生不易从多样的表征形式中抽象出函数共同的本质的对应关系，无法排除非本质因素的干扰去正确识别表征类型[1]。从初中简单的x变量与y变量的对应关系到高中变量与集合的对应关系，函数概念变得更加复杂多元化，使得学生头脑中存在着多种函数表象，无法抽象统一，造成理解混乱。

3、初中函数概念的负迁移

函数对应关系本身概念抽象且内涵丰富，学生在初接触时如果未及时理清其内涵与外延之间关系，得出简明扼要的理解，就会为之后概念的深入理解和再现埋下隐患，但是如果过度解读概念，也会使得学生觉得难度加大，不知所云。

二、高一学生函数对应关系理解偏差的类型及解决对策

对于学生在函数对应关系理解偏差这个问题，要从多个方面入手，解决问题，注重教学观念的更新与方法的进步，从表征形式的识别和转换角度引导学生区分本质和非本质因素，从而让学生掌握函数对应关系的本质，结合自身理解与认识扭转偏差。具体到教学中，可以从余下方面做出改变：

1、早期注重概念的渗透

早期要注重函数概念的渗透。高一函数教学中，学生受中学函数思想影响，在初期学习时并未意识到函数的对应关系，只是根据头脑中熟悉的几种函数模型来识别函数，或是认为函数是含有字母的等式、变量的关系式，从而出现认知偏差。基于此，要注重引导学生理解和认识函数对应关系思想，正确与初中所学知识相区分，了解到量与量之间的依存性，在通过数的概念的发展，让学生明确几何的概念、思想和意义，并批核坐标与数轴等教学，逐步渗透并确立对应关系的思想，在此铺垫基础上，学生日后在接触概念时才可能尽少的出现偏差。对于刚升上高一的学生，学习函数时必须对一次、二次和反比例函数的解析式和图像及图像上变量的关系做详细复习，以便让抽象的函数概念可以以具体的函数为依托，遵循从特殊到一般的认知规律，根据学生认知特点，完成难易过渡，防止偏差与混淆。

2、中期着眼于微观

学生在初步学习后，对函数对应关系已有所认识，但是只局限于了解函数表对应关系，不了解函数对应的内涵，认知上较为宽泛，不细致、不深入，是一种全局式的泛泛了解。对于高一新生而言，初中函数的学习着眼于全局，重点考察宏观数量之间的彼此依存关系，关注总体发展趋势，高中函数则着眼于微观，关注静态发展，尤其是两个数集之间对应关系的描述，这种宏观与微观上的差异也是造成学生落差过大，学习与理解难度增大的原因之一，需要在教学中引导学生逐步认识。比如在讲述集合时，让学生夯实基础，借助veen图和圆与圆加箭头的树图让学生反复理解A、B两个集合关系，及其和初中所学x、y两变量的关系，让学生形象理解集合的对应。对y=f（x）中的对应法则“f”的理解可进行以下形象的比喻：“（ ）”就像一个加工厂，“x”就像进入了加工厂的原材料，则“f”就是加工程序。只有满足了规格即定义域的产品才能进入工厂，而进入到工厂的原材料即x就必须按照加工程序f进行加工。如函数 中，只要是非负数就按照加程序“开平方根”进行加工，故有 ， 。

3、后期注重知识建构

当学生对函数对应关系的认识已经逐步深入之后，在整体把握上多数会出现偏差，虽然可以理解“单值对应”关系，但在对变化了的、不熟悉的函数表征形式则常常难以区分自变量和函数值。因此，教学中要注重学生对函数概念的掌握过程的体验，及时修正错误概念。通过揭示学生知识发生、发展的过程帮助其加强理解，构筑起完整的知识框架，从实际问题引入，完成知识建构。对于教学中发现的学生认识错误，及时予以指导和纠正，鼓励学生明晰正确概念与错误概念之间的差异，从而针对性的加以修正[2]。教师要简明扼要的将函数概念的实质、灵魂抽取出来，将之变成学生口头能说、脑子易记、今后能够慢慢理解的东西，比如可以将函数的概念简述为——任意、唯一四字，以此为主干，让学生自己不断充实丰满。或者将函数对应关系分为清晰的层次加以描述，比如任取的一个x必对应唯一的y，即一对一，如y=x；任取的y不一定对应唯一的x，即一对多，如y=x2；任意一个x不可对应多个y，即不可一对多，如y2=x不是函数。这种层次描述可以帮助学生更好的理解和记忆，纠正偏差。

函数对应关系认知偏差作为高中数学教学中的一个典型问题，造成学生认知偏差的原因有多种，只有在深入认识分析这些原因的基础上通过针对性对策予以解决，才能够真正解决学生学习中的这个大难点，更好的完成数学知识的学习。

参考文献：

[1] 宋健.高中学生函数概念理解水平的初步研究[D].苏州大学,2010.

[2] 李吉宝.数学概念教学应该帮助学生形成七种数学观念[J].数学教育学报,2011(02)