航空公司动态价格竞争复杂性与延迟反馈控制

胡 荣，江 超，李天睿

（南京航空航天大学 民航学院，南京210016）

航空公司动态价格竞争复杂性与延迟反馈控制

胡 荣*，江 超，李天睿

（南京航空航天大学 民航学院，南京210016）

为深入研究航空公司动态价格竞争的复杂性及延迟反馈控制方法的有效性，综合运用有限理性决策理论与非线性动力学理论，构建航空公司动态价格竞争博弈模型，分析航空公司复杂的动力学行为，研究针对系统变量、系统参数的两类延迟反馈控制方法的有效性与差异性.研究结果表明，航空公司价格调整速度对模型的复杂性有显著影响；选取合适的控制因子，两类延迟反馈控制方法都能对陷入混沌的动态价格竞争模型实施有效地混沌控制；两类延迟反馈控制方法在控制因子取值范围、收敛速度等方面存有显著差异；控制因子取值对系统的收敛速度呈规律性影响趋势.

航空运输；延迟反馈控制；博弈论；航空公司；价格竞争；复杂性

1 引 言

航空公司是整个航空运输产业链的主体，具有强大国际竞争力的航空公司是我国建设民航强国的首要标志.由于价格是市场研究的核心，同时考虑到航空运输市场是典型的寡头垄断竞争市场，故众多学者运用博弈论对航空公司价格竞争问题展开研究.文献[1]研究了不完全信息的航空公司价格竞争博弈问题；文献[2]在考虑“航线网络”、“市场威慑”的基础上，研究了航空公司市场竞争的动态博弈模型；文献[3]、[4]运用博弈论研究了航空公司动态价格竞争的复杂性，重点分析了竞争战略对价格竞争的影响；文献[5]研究了“价格战”和“价格联盟”问题，对东方航空公司和南方航空公司间的“价格战”进行了模拟和分析；文献[6]、[7]运用博弈论研究了航空公司机票价格调控问题等.自Pyragas提出延迟反馈控制方法后[8]，该方法得到长足发展与广泛应用.学者们不仅拓展了延迟反馈控制模型[9]，还研究了高速公路匝道控制系统、汽车动力系统、企业生产系统及房地产投资等领域中的延迟反馈控制问题[10-12].

纵观当前研究文献，有关航空公司价格竞争的研究取得了丰富的成果，但尚有如下内容值得进一步深化：一是绝大多数文献均假设航空公司能获取完全的市场决策信息，决策具有完全理性，但在实际中，航空公司由于受到种种主客观条件的限制，不可能掌握决策的全部信息，决策只能是有限理性的；二是航空运输市场是典型的多寡头垄断竞争市场，如2013年，南航、东航、国航三家航空公司就占据了我国近60%的航空运输市场份额，属于典型的三寡头垄断.但现有研究以双寡头为主，三寡头研究尚显不足；三是虽然现有研究解决了航空公司价格竞争调控手段与方法的可行性问题，但仍缺少对调控方法有效性、差异性等深入研究.

因此，本文针对上述研究不足，引入有限理性价格调整机制，运用博弈理论构建航空公司动态价格竞争模型，同时构建针对系统变量与系统参数的两类延迟反馈控制模型，根据非线性动力学理论，分析竞争模型的复杂性，探讨两类延迟反馈控制方法对混沌控制的有效性、控制结果的差异性，以期为航空公司市场价格的有序竞争及有效调控提供理论指导与实施建议.

2 基本模型

目前，我国共有近30家航空公司参与航空运输市场竞争，近年主要航空公司的生产数据如表1所示.

表1 2009-2013年我国主要航空公司生产数据统计表Table 1 Statistics of production data of main airlines in China from 2009 to 2013

由表1可知，2009-2013年运输量排名前五位的航空公司占据了全国市场份额的70%左右，剩余20多家航空公司仅占了30%左右的份额；其中，南航、东航和国航的市场份额又远远高于海航、深航的份额，三家公司共占据了全国近60%的市场份额.基于此，可以认为我国航空运输市场主要被南航、东航和国航三家公司所占据，属于典型的三寡头垄断竞争市场.

根据我国航空运输市场的特征，假定市场中有三家航空公司(分别称为A1、A2和A3)开展多轮次的价格竞争，不妨设Ai在时期t的机票平均价格为 pi(t)，旅客流量为 qi(t)，其中 i=1,2,3, t=0,1,2,…下同，可得航空运输市场需求函数

式中 ai＞0表示市场对Ai的需求水平；bi＞0表示价格敏感系数；di,ei＞0表示差异化系数(或称为交叉价格敏感系数)；一般而言，有 0＜di, ei＜bi(i=1,2,3)，意味着某航空公司自身的价格影响大于交叉价格的影响.假设每家航空公司的成本函数均为线性形式，即Ci=ciqi.则航空公司Ai在时期t的利润函数为

边际利润为

由于航空公司无法获取完全的、充分的市场决策信息，其市场价格决策很难是完全理性的，因此其需要按照一定调整规则对其市场价格进行调节直至竞争最终达到市场均衡.这类市场决策调整规则有很多种[13]，而“短视”调整规则是市场竞争中最常用、最便捷的调整机制，其调整过程为

式中 αi＞0表示Ai的市场价格调整速度，该参数反映了该航空公司对边际利润信号的反应速度.由式(3)、式(4)，可得航空公司Ai均采用“短视”调整机制的动态价格竞争模型

3 模型分析

3.1 动态价格竞争模型分析

由于只有当均衡点非负时式(5)才有现实意义，故在式(5)中令 pi(t+1)=pi(t)，可得非线性式（6）.

式(6)有如下8个非负解：

根据动力系统稳定性判定定理及July判定条件可知[3,13]，式（6）有界均衡点E0,E1,E2,E3,E4,E5,E6均是不稳定均衡点；Nash均衡点E*在满足July判定条件的情形下是稳定均衡点.

3.2 延迟反馈控制模型分析

混沌控制的方法很多，但经济系统的混沌控制方法必须能够转换成经济主体可操作的市场竞争适应性行为[12].Pyragas提出的延迟反馈控制法可仅依据系统当前状态和延迟状态获得控制信息对系统变量和参数进行调节.延迟反馈控制法在理论上易于实现，同时也体现了控制主体对市场波动的延迟决策思想，很大程度上符合经济混沌系统控制的实际.

考虑如下形式的延迟反馈系统

式中 x(t)是状态变量；u(t)是控制信号.Pyragas的控制模型为

式中 τ为延迟时间长度；k为控制因子.

根据延迟反馈控制对象不同，可划分为两大类，针对系统变量的延迟反馈控制方法和针对系统参数的延迟反馈控制方法.

（1）系统变量的延迟反馈控制模型.

为便于说明问题，本文假设只有航空公司A3引入延迟反馈控制，将式(8)代入到式(5)中，即可得到式(5)的控制系统

若令延迟时间长度τ=1，即信息延迟1期反馈到系统，则有

根据动力系统稳定性判定定理及July判定条件，即可得出k1的有效取值范围.

（2）系统参数的延迟反馈控制模型.

由于式(5)是一个多参数非线性系统，参数αi,ai,bi,di,ei及边际成本ci均可能引发系统出现分岔或混沌现象.由于式(5)Nash均衡点的取值与价格调整速度αi无关，参数ai,bi,di,ei等属于市场特征参数，单个航空公司一般也很难通过对这些参数进行调节来控制混沌；而ci属于公司内部参数，航空公司可采取相应的管理措施加以调节.同时，为便于与系统变量延迟反馈控制开展对比分析，假设仅航空公司A3引入针对系统参数的延迟反馈控制，可得到控制系统为

式中 u(t)是控制信号，是式(11)的延迟反馈控制输入，将τ=1代入，可得

同理，根据稳定性判定定理及July判定条件，可得出k2的有效取值范围.

4 仿真模拟

本节利用MATLAB软件对航空公司动态价格竞争的复杂性及延迟反馈控制有效性、差异性进行仿真模拟.

4.1 系统参数取值的灵敏度

对航空公司动态价格竞争模型的系统参数取值进行灵敏度分析，可以求出在保持式(5)处于稳定状态的前提下，系统参数取值所允许的变化范围，进而可以确定对系统稳定性较为敏感的指标集.这将为有效分析动态价格竞争的复杂性、混沌控制有效性等奠定基础.

式(5)是一个多参数系统，这些参数大致可分为两类：(1)市场特征参数，如ai,bi等；(2)企业内部参数，如ci,αi等.我们分别选取a1和c1作为两类参数的典型，开展参数取值的灵敏度分析.设参数初始值a1=5，a2=6，a3=5.5，b1=3.5，b2=3.3，b3= 3.1，c1=0.001 5，c2=0.001 3，c3=0.001 1，d1= 0.4，d2=0.5，d3=0.6，e1=0.45，e2=0.55，e3= 0.65，α1=0.3，α2=0.25，α3=0.3.

表2 系统参数取值的灵敏度分析Table 2 Sensitivity analysis of the system parameters value

综合a1,c1＞0与上述灵敏度分析结果，当a1∈(0,6.48]或c1∈(0,0.44]时，式(5)处于稳定状态，此时参数a1和c1的取值对系统稳定性不敏感.当然，其他系统参数也可采用同样方法开展灵敏度分析，限于篇幅，本文不详细列出分析结果.

4.2 动态价格竞争的复杂性

图1描绘的是当系统参数均取上述初始值时，三家航空公司市场价格的动态演化图.从图中可以看出随着α3的取值增大，式(5)由初期的均衡状态进入到分岔和混沌状态.系统在分岔和混沌状态下，市场价格波动很大，表现出很强的复杂性，给航空公司的价格决策带来困难.

图1 航空公司动态价格竞争动态演化图Fig.1 Bifurcation diagram of airlines’dynamic price competition

图2描绘的是价格调整速度α3=0.44(系统处于混沌状态)，三家航空公司市场价格的时间历程图.可知，系统处于混沌状态时，市场价格波动很大，很难找出某种简单的变化规律，系统表现出极强的复杂性.

图2 混沌状态下航空公司价格历程图Fig.2 Process diagram of airlines’price in chaos state

4.3 延迟反馈控制的有效性

图3描绘了A3采取系统变量延迟反馈控制法对图2实施混沌控制的效果图.由图3可知，随着k1取值的不断增大，式(10)逐渐从混沌状态稳定到均衡状态，当k1≥0.34时，式(10)稳定于均衡状态.图4描绘了A3采取系统参数延迟反馈控制法对图2实施混沌控制的效果图.当k2≥0.22时，式(12)稳定于均衡状态.

图3、图4表明针对系统变量、系统参数的两类延迟反馈控制方法都能对陷入混沌状态的动态价格竞争模型实施有效的混沌控制，使系统稳定于均衡状态.

4.4 延迟反馈控制的差异性

虽然两类控制方法均能取得预期的混沌控制效果，但由于控制对象选取不同，两类控制方法也存在明显差异.

图3 系统变量延迟反馈控制效果图Fig.3 Effect diagram of delayed feedback control with system variables

图4 系统参数延迟反馈控制效果图Fig.4 Effect diagram of delayed feedback control with system parameters

首先，控制因子的有效取值范围明显不同.从图3、图4中可以看出，当两种延迟反馈控制方法对混沌系统实施有效地混沌控制时，控制因子的取值范围明显不同，控制因子的最小取值k1大于k2.

其次，系统稳定的收敛速度明显不同.本文假定市场价格与均衡价格满足时市场竞争达到均衡.图5、图6描绘了k1=k2=0.4，两种控制方法下的价格历程图.市场竞争达到均衡时，竞争周期T1=95、T2=52，显然有T1＞T2.

此外，收敛速度的变化趋势明显不同.图7描绘了实施系统变量延迟反馈控制时，系统收敛速度随k1取值变化的演化趋势图，由图7可知，收敛速度呈现先加速后减速的变化趋势；尤其当k1取值较小时，收敛速度变化较快；当k1=0.921时，系统的收敛速度最快，仅需31次市场博弈即可达到市场均衡.图8描绘了两种延迟反馈控制下，收敛速度随控制因子取值变化的演化趋势图.由图8可知，当控制因子取值较小时，系统参数延迟反馈控制下的收敛速度明显快于系统变量延迟反馈控制的系统；但随着控制因子取值的增大，系统参数延迟反馈控制下的收敛速度逐步慢于系统变量延迟反馈控制的系统；特殊地，当k1,k2∈[0.763,0.780]时，两个系统的收敛速度相同，均为经37次博弈达到市场均衡，如图8中M所示区域.

图5 系统变量延迟反馈控制的历程图Fig.5 Process diagram of delayed feedback control with system variables

图6 系统参数延迟反馈控制的历程图Fig.6 Process diagram of delayed feedback control with system parameters

图7 系统变量延迟反馈控制的收敛速度变化图Fig.7 Convergence speed of delayed feedback control with system variables

图8 两种延迟反馈控制的收敛速度对比图Fig.8 Convergence speed of delayed feedback control with system variables and parameters

5 研究结论

定价问题是航空公司参与市场竞争的重要决策议题.本文引入有限理性理论，研究了航空公司动态价格竞争的复杂性和两类延迟反馈控制方法的有效性、差异性.研究结果表明：

(1)采用有限理性价格调整机制参与市场竞争的航空公司，其价格调整速度的快慢对动态价格竞争的稳定性有显著影响，一旦价格调整速度超过某一临界值，系统将表现出分岔、混沌等复杂的动力学现象；

(2)只需选取合适的控制因子，针对系统变量与系统参数的两类延迟反馈控制方法都能对混沌系统实施有效地混沌控制；

(3)由于控制对象不同，两类控制方法的控制因子有效取值范围、收敛速度等有显著差异；

(4)控制因子是实施延迟反馈控制的关键，随着控制因子取值的增大，系统收敛速度呈现先加速后减速的变化趋势.

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Complexity and Delayed Feedback Control of Airlines’Dynamic Price Competition

HU Rong，JIANG Chao，LI Tian-rui
（College of Civil Aviation,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016，China）

To investigate the complexity and validity of the delayed feedback control method in airlines’dynamic price competition,the model of airlines’dynamic price competition is established by using the theory of bounded rationality and nonlinear dynamics,and complexity of airlines dynamic behavior is analyzed.The validity and differences of two kinds of delayed feedback control methods which aimed at system variables and system parameters are also discussed.The simulation results show that the speed of airlines’price adjustment has significant effects on the complexity of model.The dynamic price competition model enables to maintain stable with controlled by two kinds of delayed feedback control method if appropriate control factors are chosen.Besides,two kinds of delayed feedback control method have significant difference in the value range of control factors and the convergence speed,and the value of control factors has a regular influence on the system’s convergence speed.

air transportation；delayed feedback control；game；airlines；price competition；complexity

2014-06-11

2014-08-12录用日期：2014-09-15

国家自然科学基金项目（71201082）;中央高校基本科研业务费专项资金（NR2014007）.

胡荣(1980－)，男，江苏扬州人，博士，副教授，硕士生导师. *

hoorong@nuaa.edu.cn

1009-6744(2014)06-0042-08

U8；N94

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