空间坐标系变换的函数梯度描述方法

段鹏硕,刘根友,龚有亮,郝晓光,王娜子

1.中国科学院测量与地球物理研究所大地测量与地球动力学国家重点实验室,湖北武汉 430077; 2.中国科学院大学,北京 100049;3.信息工程大学地理空间信息学院,河南郑州 450052

空间坐标系变换的函数梯度描述方法

段鹏硕1,2,刘根友1,龚有亮3,郝晓光1,王娜子1,2

1.中国科学院测量与地球物理研究所大地测量与地球动力学国家重点实验室,湖北武汉 430077; 2.中国科学院大学,北京 100049;3.信息工程大学地理空间信息学院,河南郑州 450052

为了将空间坐标系变换由静态的、不随时间发生变换的情况推广到动态的、随时间发生变换以及任意角度发生变换的情况,基于单位四元数构造的旋转矩阵和罗德里格矩阵的完全等价性,揭示出空间坐标系(空间直角坐标系)变换与函数梯度的数学关系,推导出由函数梯度表示的空间坐标系变换的数学公式,在理论上说明了用函数梯度描述空间坐标系变换的方法。研究表明,在数学意义上,空间坐标系变换的本质是“场”,可以用“场”的概念统一以任意角度发生旋转变换的空间坐标系变换特例,为进一步研究空间坐标系随时间发生连续变换的情况或以新的思路为运动载体定姿奠定了理论基础。

空间坐标系变换;函数梯度场;完全等价性;场

1 引 言

在测量工作中,空间直角坐标基准转换工作的地位极其重要,如在大地测量中,经常遇到WGS-84坐标系到1954北京坐标系或是1980西安坐标系的转换,以及国家坐标系到地方坐标系的转换等[1-4]。在以往的工作中,一般采用小角度模型进行空间坐标转换,如众所周知的布尔沙-沃尔夫(Bursa-Wolf)转换模型、莫洛金斯基转换模型和范士转换模型等[5-9]。文献[6]将众多的坐标转换数字模型统一为线性回归模型,提出了模型的检验方法,并将其统一于线性约束的回归模型。在处理大角度转换问题时,可对作业方法进行改进,使大旋转角变成小旋转角;或先将大旋转角近似地改正后转换成小旋转角,再采用小旋转角的空间直角转换模型,上述方法的目的都是为了简化计算过程,避免复杂的数学模型,因为在大旋转角的空间坐标转换中,需要处理极为复杂的非线性问题且过程非常复杂,计算误差也较大,不能保证其精度及合理性[1]。文献[8]讨论了三维坐标转换的线性模型的应用范围,提出了三维坐标转换的非线性模型,解决了模型对旋转角大小的限制。文献[9]针对我国平面控制网与高程控制网分开布设的特点,借助过渡坐标系,改进了计算坐标转换参数的常用模型。

在实际工作中,很多领域不可避免地会遇到大旋转角的空间坐标转换问题,而且在许多情况下不能对模型进行线性处理[1]。对此,许多学者进行了深入研究,提出了一些能够适用于大旋转角的空间坐标转换模型[10-14],如利用罗德里格矩阵代替方向余弦矩阵的方法和利用四元数构造旋转矩阵等。文献[10]利用反对称矩阵和罗德里格矩阵的性质,把传统的3个旋转角参数用反对称矩阵的3个独立元素代替,解决了任意角度的坐标系变换问题。文献[14]提出一种基于四元数构造旋转矩阵来解算三维空间相似变换模型的方法,结果表明该方法可适用于大旋转角度的坐标变换。

以上关于空间坐标系变换的文章研究的都是固定的、静态的空间坐标系之间的变换问题(如1954北京坐标系到1980西安坐标系之间的转换等)。对于大角度的空间坐标系变换虽有理论研究,但主要还是固定的、静态(旋转角不随时间发生变化)的空间坐标系之间的变换问题。如何在理论上将空间坐标系变换由小角度推广到任意角度、由静态推广到动态,即研究空间坐标系随时间发生连续变换、任意角度连续变换的情况(能够为确定运动载体的姿态提供一种新思路、新方法),需要研究和深入探讨空间坐标系变换的本质问题。

基于单位四元数构造的旋转矩阵与罗德里格矩阵两者的内在一致性,本文从更深层次上探讨空间坐标系变换的本质,提出用函数梯度描述空间坐标系变换的方法。理论研究表明,空间坐标系变换对应函数梯度场,即空间坐标系变换的本质是“场”,可以用“场”的概念统一以任意角度发生旋转变换的空间坐标系变换特例。从而在理论上为进一步研究任意角度的空间坐标系变换,尤其是空间坐标系随时间发生连续变换的情况奠定理论基础。

2 基于单位四元数的旋转矩阵与罗德里格矩阵

文献[15—18]提出四元数的概念,认为四元数是一个有着4个元素的列向量,用矢量表示见式(1)

式中,w为实部;i、j、k为虚部。

单位四元数需要满足下式

设单位四元数q＝ [x y z w],则构造的代数旋转矩阵RI为

其详细的推导过程见文献[14—18]。

对于罗德里格矩阵,设反对称矩阵为

式中,a、b、c 3个变量是独立的,由S可构成罗德里格矩阵RII。根据反对称矩阵S构造的罗德里格矩阵RII,其数学表达式为[1,10,19-20]

式中,I是三阶单位矩阵。

将反对称矩阵S代入式(3),经过有关矩阵运算可得

式(4)即为罗德里格矩阵的完整形式。

基于单位四元数构造的旋转矩阵式(2),经常应用在摄影测量与遥感领域,用四元数描述三维旋转以及运动载体的姿态具有优越性[14-18]。文献[16]指出采用单位四元数描述相机姿态,可较好地克服欧拉角在空间方位的描述和插值中的局限性;文献[17]介绍了四元数的概念及运算性质,提出利用单位四元数表示旋转的方法,给出了基于单位四元数的空间后方交会解算方法及其计算公式,并证明了该方法对角元素不加任何限制,适用于大倾角摄影的航片;文献[14]研究表明,基于单位四元数的旋转矩阵可以适用于小角度、大角度以及任意角度的空间坐标系变换。罗德里格矩阵经常应用于大地测量领域,特别是在研究大角度的空间坐标系的变换时,在计算的简易程度方面相对于空间欧拉角具有明显的优越性,且适用于任意角度的空间坐标系变换[1,10]。

以上分析说明,基于单位四元数构造的旋转矩阵RI和罗德里格矩阵RII均能够表示空间任意角度的坐标系变换。那么,RI和RII在数学上存在统一性或完全等价性条件吗?如果此完全等价性条件存在,则空间坐标系变换就对应此完全等价性条件。

3 基于单位四元数的旋转矩阵和罗德里格矩阵的完全等价条件

由单位四元数的归一化条件

令罗德里格矩阵中的3个独立元素a、b、c分别为

将其代入式(4),可得

上式右边便是单位四元数构造的旋转矩阵RI。

综上分析,如果罗德里格矩阵要转化为单位四元数构造的旋转矩阵,需要满足如下条件(仅考虑w＞0时的情况,对于w＜0,与此类似,不再赘述)

然而,当w→0时,a、b、c同时趋近于无穷大。因此在罗德里格矩阵向基于单位四元数构造的旋转矩阵转化的过程中,会出现“奇点”现象。

如果假设空间向量

u为函数f(x,y,z)的梯度。由以上证明过程可知,罗德里格矩阵与基于单位四元数构造的旋转矩阵完全等价,针对的不是函数f(x,y,z)在某点处的具体的梯度向量,而是它的所有点的梯度向量,是所有点处的梯度向量所组成的区域或者空间。因此,罗德里格矩阵与基于单位四元数的旋转矩阵完全等价所要求的条件是,函数f(x,y,z)在其定义域内的所有点处的梯度向量所组成的向量空间。

在高等数学中,对于“场”的概念有明确的定义,即如果对于空间区域G内的任意一点M,都有一个确定的数量f(M),则称在这空间区域G内确定了一个数量场。一个数量场可以用一个数量函数f(M)来确定。如果与点M相对应的是一个向量F(M),则称在这空间区域G内确定了一个向量场。一个向量场可以用一个向量值函数F(M)来确定,而

F(M)＝P(M)i＋Q(M)j＋R(M)k

式中,P(M)、Q(M)、R(M)是点M的数量函数。按照“场”的定义可知

将式(7)代入式(3)就可得到罗德里格矩阵RII,这时的RII将对应一个确定的空间坐标系变换特例,或者说此时RII表示一个已经确定的空间坐标系变换情况。

按照上述观点可得一个奇特的结论,三维空间两个确定的坐标系之间的变换(如1954北京坐标系到1980西安坐标系的转换)对应一条确定的(三维)梯度向量,即可以用一条梯度向量来描述。如果上述观点成立,则描述两个确定的空间坐标系之间的旋转变换仅用一条(三维)向量就足够了。下面将证明上述结论。

4 空间坐标系变换与函数梯度场

4.1 空间坐标系变换的梯度场描述

其中

考虑单位四元数的归一化条件

可得

即

以上两种情况表明,由于单位四元数的归一化条件使得用一条三维向量来描述坐标系变换变得困难起来。因此在三维空间内,单独用单位四元数向量无法描述空间坐标系变换,必须将单位四元数与罗德里格矩阵中的3个独立元素结合起来考虑问题。

考虑单位四元数的4个元素的定义式(8)、式(9),可得

结合式(5)、式(6)进一步得到

因此

综上,空间中的任一旋转轴指向向量可表示为

由式(5)、式(6)、式(13),可得

式(14)即为旋转角度θ的计算公式。

综上,可得含有系数的公式为

在式(15)中,由于n表示的是空间坐标系的旋转轴指向向量,与自身系数无关,可将式(15)中的μ去掉,并令空间坐标系的旋转轴指向向量为单位矢量ne,可进一步得到由函数梯度表示的空间坐标系变换的数学公式

对于一般情况或者广义的空间坐标系变换,即为空间坐标系变换对应函数梯度场。因此根据式(16)以及在数学上对于“场”的定义可以得出结论,空间坐标系变换在本质上是一种“场”。

4.2 布尔莎(Bursa)模型的梯度场描述

将其代入式(16),并经化简可得

其含义是坐标系绕x轴旋转εx。

式(21)即为绕x轴旋转的旋转矩阵。绕y、z轴情况类似,不再赘述。不难看出,以上证明过程在理论上验证了式(16)的正确性。

将式(22)代入罗德里格矩阵,可得

一般情况下,可视x0、y0、z0数值在同一数量级,故约去二次项可得到

此旋转矩阵为布尔莎模型中的旋转矩阵。

因此,综合以上两类情况的证明过程可进一步验证式(16)的正确性以及在理论上可对布尔莎模型作出梯度场的描述。

5 结 论

在大地测量学中,εx、εy、εz称为空间欧勒角,用它描述空间坐标系变换比较形象直观。对于大角度的变换情况,会涉及非线性问题线性化的问题,往往会造成较大的模型误差或使模型解算过程烦琐等缺点[6-7]。由于在三维空间中,点位和向量是一一对应的,式(16)已经表明,空间坐标系变换与向量一一对应,因此,空间坐标系变换亦与三维空间中的点位产生一一对应的关系。按照这样的思路,可将以任意角度发生旋转变换的空间坐标系变换的特例转化成为三维空间之中的点位,按照点位去研究空间坐标系变换问题,可使要研究的问题变得更加方便和直观,笔者将在后续工作中作进一步研究。

空间小角度的坐标系变换对应的是函数f(x,y,z)在其定义域内离原点较近处点的梯度所形成的势场;较大角度的空间坐标系变换对应的是函数f(x,y,z)在其定义域内离原点较远处点的梯度所形成的势场;将空间坐标系变换视为“场”的观点很容易理解:坐标系变换可看成矢量,即它是一个既有大小又有方向的量,方向就是旋转轴指向,大小就是旋转角大小的弧度值。通过空间坐标系变换的数学公式——式(16)可知,空间坐标系变换的方向为梯度方向,大小由该梯度的模决定。其实,上述观点已经蕴含了一种空间坐标系变换的“统一”思想。值得说明的是,本文着力探讨空间坐标系变换的本质问题,由于空间坐标系变换中的平移和伸缩不能改变空间坐标系变化的本质,即“场”的特性,考虑到在空间坐标系变换中,平移因子和尺度因子相对于旋转矩阵的确定要容易得多,因此本文不涉及平移和伸缩问题。

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(责任编辑:陈品馨)

The Functional Gradient Description Method of Space Coordinate Transformation

DUAN Pengshuo1,2,LIU Genyou1,GONG Youliang3,HAO Xiaoguang1,WANG Nazi1,2
1.State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics,Institute of Geodesy and Geophysics,Chinese Academy of Sciences,Wuhan 430077,China;2.University of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100049,China;3.Institute of Geospatial Information,Information Engineering University,Zhengzhou 450052,China

The conception of coordinate transformation gradient field is proposed in this study,which can realize the space coordinate transformation from small angle to arbitrary angle and from static to dynamical.Based on the equivalent of the unit quaternion rotation matrix and the Rodrigues matrix,the mathematical relationship between the spatial coordinate transformation and the functional gradient is revealed and an arbitrary coordinate transformation formula expressed by functional gradient in space is derived.The results indicate that the essence of spatial coordinate transformation is potential field in mathematic means and we can unify all the space coordinate transformations by using the conception of field,which is the theoretical foundation for the further study of time continuous space coordinate transformation and this study also gives a new solution for the attitude determination of motion carriers.

spatial coordinate transformation;functional gradient field;complete equivalence;field

DUAN Pengshuo(1986—),male,PhD candidate,majors in space geodesy and timeseries analysis.

P226.3

A

1001-1595(2014)10-1005-08

国家自然科学基金(41021003);大地测量与地球动力学国家重点实验室基金(SKLGED2013-4-1-Z)

2012-09-20

段鹏硕(1986—),男,博士生,研究方向为空间大地测量及时序分析与应用。

E-mail:duanpengshuo12＠163.com

DUAN Pengshuo,LIU Genyou,GONG Youliang,et al.The Functional Gradient Description Method of Space Coordinate Transformation[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(10):1005-1012.(段鹏硕,刘根友,龚有亮,等.空间坐标系变换的函数梯度描述方法[J].测绘学报,2014,43(10):1005-1012.)

10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0145

修回日期:2014-07-10