涵洞流量方程不确定性及参数敏感度分析

□ 王 芳

在泄洪涵洞流量计算中，为取得更准确的计算结果，提高设计安全性，必须有相应的设计流量公式。本文所研究的涵洞地处国外某水管局运营范围内，该水管局运行维护超过400座水利工程设施，包括泄洪道、泵站、涵洞和堰等。为了充分利用地表径流，泄水涵洞作为泄水建筑物，利用竖井式闸室内的闸门来控制泄水涵洞的流量，对蓄纳夏洪及冬闲水起到了重大作用。涵洞流量的估算可以通过实测、流量曲线法和经验公式计算等得到。流量测量中存在大量的不确定性因素(Gonzalez, et. al., 2000a and 2000b)，包括测量误差、流量公式不能精确地再现涵洞的复杂性等原因。此外，水温、非稳流影响、随季节变化的水利粗糙度影响、渠道冲刷或沉积等因素也会给流量测量带来误差。而对于流量计算的一个重要问题是流量公式的不确定性（或精度）。Damisse和Fru等人于2006年在量纲分析的基础上开发了满管流涵洞流量公式，目前该水管局用该流量公式来估算流量。由于客观世界变化的复杂性以及测量技术水平的限制，公式中有些变量目前还不能精确地进行测量或估计，存在较大的不确定性。因此，分析研究这些变量的不确定性对涵洞流量估算值的影响，是目前工程设计人员面临的亟待解决的问题之一。

一、涵洞水文设计概况及数据准备

（一）涵洞水文设计情况

该泄洪涵洞共包括4孔混凝土涵洞，单孔净宽8ft，孔高8ft，孔长153ft，设计流量255cfs，总设计流量为1 020cfs，闸门为钢结构平板直升门，闸门尺寸均为8×8ft。其详细结构剖视如图1所示。

图1 涵洞结构剖视图

（二） 数据准备

泄洪期间，闸门开启孔数为4孔，开启高度在1.0～6.0 ft之间，通过ADCP测量仪，每组样本数据要进行3～5次的反复测量，以消除误差。从实测资料来看，其相应的下游水位大于涵洞出口顶部高程，涵洞出口淹没在水面以下，呈淹没式出流。由于4个涵洞具有相同的水力特性，因此满管流流量公式适用于所有涵洞。涵洞满管流流量的计算可用由Damisse和Fru（2006）开发的公式（1）计算：

其中：Q为涵洞流量，cfs；Δh= HW- TW = 水头-尾水位(ft)；A0= B×H0为涵洞横断面积(ft2)；AG= B×G0为涵洞在闸门下的面积(ft2)；B 为涵洞= the barrel span(ft)；H0=D为涵洞高度 (ft)；G0为闸门开启高度 (ft)；R为涵洞水利半径 (ft)；L 为涵洞长度 (ft)；n为曼宁系数；Cd为流量系数。

满管流涵洞条件下涵洞入口处测得的14组流量数据见表1。通过使用Chauvenet的标准异常检测方法，检测和剔除测量数据的异常值。表1中还提供了流量测量样本均值（Qave），样本标准偏差(σQ)和bootstrapping算法样本标准偏差(σQ)等相关测量值的统计学信息。Bootstrapping算法提供了一种易于处理的方法，以减少或消除由于样本量有限而引起的统计问题。在这里，Mathmatica bootstrap 程序被用于对每一组样本数据进行500万次重复采样。结果显示，当重复抽取样本数足够大时，即使在每组数据中增加样本也不会影响bootstrap样本的平均值，同时也不会影响原始数据的信息量。数据显示，样本点流量全部服从正态分布。以第一组样本为例，流量服从以171.93为均值，标准偏差为2.33的正态分布。

（三）现有流量公式校正

从公式（1）可以看出，设计流量计算公式中存在大量的不确定性因素。形成流量的主要变量包括闸门开度、水头差、曼宁系数、流量系数等七个变量。这些主要变量和基本变量都存在或强或弱的不确定性，有的可以根据已有的资料分析，有的还不能分析。

对于该泄洪涵洞来说，曼宁系数n的区间为（0.011～0.015），优选值为0.012（ADCP，2007）。而流量系数Cd在文献中并没有给出适当的范围，在这种情况下，通过改写公式（1）得到Cd的计算公式（2），并使用蒙特卡罗法计算出Cd的优选值()和选值区间(±σCd,M)。流量系数将用于现有流量公式校正和下一步的流量公式不确定性分析。结果显示，Cd优选值为0.8029，选值区间为（0.7303～0.8820），见表1所示。

现有流量公式校正是在公式（1）的基础上，使用表1中测量到的公式参数和现场测量值来进行的。使用校正公式重新计算的流量与测量流量和现有流量公式计算流量对比，来验证该模型参数的优选值是否合理，见图2所示。结果显示，校正后公式表现较好，与测量流量的相对误差在1.93～13.69%之间，平均相对误差为7.11%。但其与现有流量公式的相对误差不超过5%，因此未来使用时无须修订现有流量公式。

图2 现有流量公式与校正后公式比较

二、泄洪涵洞流量估算的不确定度分析

表1 测量数据样本值及统计学信息

由于水文或水力学模型输入参数存在不确定性，因此，水文或水力学模型的输出变量一般也存在不确定性。其不确定性特征可由其分布函数和统计矩（如均值、方差等）来概括。理论上，水文或水力学问题的不确定性分析，就是根据水文或水力学模型中随机输入变量的概率密度函数，来推求模型中输出变量的精确概率密度函数。由于模型的非线性特征，使得精确推求输出变量的概率密度函数难之又难。在工程设计中，通常先假定模型的随机输入变量各自服从某一概率分布，再通过统计理论估计出模型输出变量的头几阶矩，并在假定输出变量服从某一概率分布的基础上，对输出变量进行不确定性分析，如本文采用的第一阶方差估计方法（FOV）。而蒙特卡罗法（MCS）不需假设输出变量服从何种分布函数，而是通过大量运算，给出输出变量的可能分布函数及其统计矩。通常情况下，当评价函数是非线性或包括高度偏斜分布时，FOV法与MCS法分析结果大相径庭。因此，同时使用并比较两种方法的结论十分必要。

（一）分析方法

1.各参数标准不确定度A、B类评定及合成

在计算流量合成标准不确定度计算前，先要计算每个参数的标准不确定度。参数标准不确定度可用以下两种方法衡量：

（1）A类不确定度的近似评定：对观测列进行统计分析的方法来确定标准不确定度，A类不确定度评定使用公式（3）计算。其中N为测量次数，xi为测量的数据，是xi的平均数，s为平均数据标准偏差。

（2）B类不确定度的近似评定：测量工作中，有时无法取得观测值，这时不确定度无法由A类评定得到，只能用B类方法评定。由于B类不确定度通常采用非统计方法评定，一般不需要对被测量的目标在统计控制状态下进行重复观测而是按照现有信息加以评定。B类不确定度评定的通用计算如下：

其中，ai为被测量可能值的区间半宽度，其信息来源需考虑经验和一般知识、技术说明书、手册参考资料、校准证书；k为置信因子，k的确定可首先测定测量值落在±a区间内的概率分布，常用概率分布的置信因子见表2所示。

（3）各参数的合成标准不确定度，公式如下：

2.输入参数分布函数和标准不确定度分析

为了准确量化流量的不确定性，需要确定流量公式中每个参数的不确定性来源和其不确定值，进行这些参数的不确定性是如何传递到整体流量的不确定性分析。在工程设计中，通常选用统计参数较少且易于估计的分布函数。均匀分布和三角分布就是其中两种常用分布，其中三角分布只需给出随机变量的最小值、最可能值和最大值，就可获得随机变量的分布函数，而无需做大量的统计试验。涵洞流量公式相关输入参数的不确定值计算和概率分布情况见表3所示。

3.流量标准不确定度计算

当输入参数xi之间相关时，测量结果Q的合成方差表达式为：

（二）第一阶方差估计方法 (FOV)

通过改写方程1，得到流量方程的一阶方差计算公式（7）。连同表1和表3一起使用FOV法，估算出每组样本的流量误差和相对流量误差值，结果见表5和图3所示。结果显示，流量相对误差在10.35～22.19%区间内，平均相对误差为11.94%，部分样本流量相对误差较高的原因可能是因为测量质量引起的。

表2 研究所用概率分布的置信因子

表3 流量公式输入参数分布函数及不确定度分析

图3 FOV法流量的不确定性区间

使用上述方法，同时也可以预测水头差在0.01～2ft范围内，闸门开度在5ft高时且其它参数确定的条件下，涵洞流量的相对不确定性UQ/Q与水头差的相关性如图4所示。其结果显示，当水头差大于0.2 ft时，UQ/Q变化不明显；而当水头差小于0.2 ft时，UQ/Q变化显著。例如，当水头差从0.2 ft下降到0.025 ft时，UQ/Q从6.24%显著增加到32.37%。这个变化趋势符合实际测量水头差与其相对流量不确定值之间的趋势关系。

图4 水头与流量相对不确定度的关系

同样的曲线拟合步骤被用来研究闸门开度和流量相对不确定性之间的趋势，预测条件为水头差为0.4ft，G0在0.05～6.0 ft之间，如图5所示。结果表明，当G0＞0.5ft时，UQ/Q只有微小变化；而当G0从0.5 ft下降到0.05 ft（最小闸门开度为0.05 ft）时，UQ/Q有显著的变化，即从7.43%增加到58.36%。

图5 闸门开度与流量相对不确定度的关系

（三）蒙特卡罗方法 (MCS)

MCS是一种随机模拟方法。因为输入参数是由概率分布而随机生成的。所以，采用和已有数据分布接近的概率分布是十分必要的，能够很好地解释已有数据。在本研究中，每个输入参数，包括流量系数（Cd）、闸门开度（G0）、曼宁系数（n）、涵洞长度（L）、水头差（△H）、涵洞跨度（B）和涵洞深度（H0），通过统计分析或经验分析得出其概率分布函数。其中G0、N、L、B和H0的概率分布被假定服从均匀分布且通过两个关键因子的测定（最小值和最大值），水头差（ΔH）被假定服从三角形分布，流量系数Cd被假定服从正态分布（其关键参数为均值和标准偏差 ），详细信息见表4。

表4 MCS法输入参数的概率分布与关键因子

图6 在ΔH=0.42ft和G0=4.5 ft样本点的流量不确定性预测结果

表7 MCS法流量的不确定性区间

（四）两种方法对比

结果表明，FOV和MCS对于流量不确定度的估值高度吻合，但是目前的模型只适用于水头差在0.08～0.84 ft之间，需要采集更多的流量数据（如水头差和闸门开度较高）以进一步完善模型。两种方法估算的流量不确定度的比较如图8所示。

图8 各样本点两种方法对流量相对不确定性的比较

表5 FOV法和MCS法对流量相对不确定度的预测结果

表6 两种方法中各参数平均敏感度分析

通过计算，FOV法和MCS法输入参数对于流量不确定性的敏感度见表6中所示。结果显示，两种方法中流量系数Cd对流量不确定性的敏感性均最显著，平均敏感度为64.94%和63.44%，而其它参数如L、n、B和H0，对流量不确定性的估算敏感性不显著。

通过对两种方法中各输入系数对流量不确定性的敏感性研究，发现流量系数（Cd）和水头差（△H）对流量不确定性的敏感性比其他参数显著，是最显著的两个敏感性因素（FOV法：Cd+ΔH= 88.35%；MCS法：Cd+ΔH= 88.59%）。其中当△H <0.2ft时，△H对模型不确定度的敏感度较大；而当△H>0.2ft时，Cd对模型不确定度的敏感度较大。通过比较两种方法，MCS因其减少对复杂或非线性模型分析工作，或在不了解各参数敏感性的情况下，提供了一种更切实可行的方法对流量方程进行不确定度分析。

三、结论

本研究的目的是要分析涵洞满管流流量公式中各参数的不确定性变化（所固有的误差源）和参数敏感性对评估流量的影响。因此首先确定流量公式，并确定影响流量变化的参数误差，以这些参数集为起点进行模型的不确定性分析。通过研究发现，在现有的满管流条件下，流量公式和校正公式相对误差小于5%，因此可以使用现有流量公式进行不确定性分析。而不确定性分析通过使用一阶方差的估算方法（FOV）和蒙特卡罗模拟（MCS）来计算。分析显示，除了水头差仅为0.08ft的一个样本点外，几乎所有计算流量的相对不确定性均位于10～15%之间。此外，随着水头差或闸门开启高度的增加，计算流量的相对不确定性将逐渐减小至4.5%；在所有七个输入参数中，水头差和流量系数对流量不确定性的敏感性最显著，两者的总敏感性达88.47%，两种方法表现出了很好的一致性。然而，蒙特卡罗模拟方法因其减少对复杂或非线性模型分析工作，或在不了解各参数敏感性的情况下，提供了一种更切实可行的方法对流量方程进行不确定度分析。

图9 两种方法中Cd和△H对流量不确定性敏感度叠加分析