旋转超声换能器的建模与仿真

徐晓明， 张向慧

（北方工业大学机电工程学院，北京100144）

旋转超声换能器的建模与仿真

徐晓明， 张向慧

（北方工业大学机电工程学院，北京100144）

在输入功率一定的一维纵振旋转超声加工系统中，为高效、精确地获取加工刀具末端的输出振幅，文中根据牛顿定律将换能器抽象为一个由质量、刚度和阻尼3个参数来描述的动力学模型。然后利用MATLAB/Simulink软件对换能器系统进行动力学仿真，分析超声换能器的数学模型及状态空间仿真模型，并利用有限元分析软件ANSYS验证MATLAB/Simulink仿真的准确性。换能器末端输出振幅的大小直接影响超声振动系统的加工性能，得到的仿真结果为超声振动系统的设计和改进提供了理论依据。

超声换能器；MATLAB/Simulink；数学模型；仿真建模

0 引言

旋转超声加工是集传统超声加工与磨粒磨削加工为一体的复合加工，是加工硬脆性材料的一种有效方法。换能器是超声加工机床的重要组件之一，用以将超声频电振荡信号转化为机械振动输出。常用的换能器主要有磁致伸缩式和压电式两种类型，其中夹心式压电换能器结构简单、电声转化效率高，是普遍使用的一种结构类型［1］。一维纵振超声振动系统的振动规律比较复杂，目前其设计依据主要以理论分析与实验为核心，而借助于计算机软件MATLAB进行仿真分析的研究还较少。本文在满足工程要求的条件下，利用牛顿定律将换能器抽象为动力学模型，并采用MATLAB软件对系统模型进行仿真处理。应用计算机仿真技术对换能器的动态工作特性进行分析，可在设计阶段预测其运行结果，并能实现换能器的结构优化。MATLAB/Simulink仿真模块能方便地定义和修改输入参数，通过模型化图形输入/输出系统模型，可高效地实现动态建模、仿真与分析。为了验证MATLAB仿真研究的合理性，利用软件ANSYS对换能器系统进行有限元分析，观察所得结果与MATLAB仿真是否一致。

1 换能器空载受力分析

设换能器末端的机械负载阻抗为ZL，它与F3、u˙3满足如下关系式：

图1 超声换能器的结构组成

F1、F2、F3分别代表换能器后盖板、压电陶瓷片、前盖板所受的作用力。空载时，ZL=0，综合式（1）～（3）可得：

换能器各组件的尺寸值及其材料属性如表1所示。

表1 换能器的结构参数

2 换能器各组件的等效物理参数［4 ］

2.1 等效质量

质量是衡量物质惯性力大小的量，在求解等效质量时需遵循能量守恒原则，保证系统转换前后的振动动能不变。旋转超声加工为一维纵振，则换能器的等效质量可近似等效为各组件的质心质量。

2.2 等效刚度

2.3 等效阻尼

由于材料的黏弹性而产生的内部阻力F=-cv，在振动中这些阻力称为阻尼，阻尼力在一个周期内所做的功为：

多数金属（如钢、铝）的阻尼在一个很大频率范围内与频率ω无关，而在一个周期内所消耗的能量与振幅的平方成正比，即W=αX2，α为常数，是黏性阻尼比。

即等效阻尼与系统频率ω（超声振动系统的频率为20 kHz）成反比。后盖板、压电陶瓷和前盖板的黏性阻尼比α分别取α1=0.005，α2=0.01，α3=0.03。

3 建立换能器的动力学模型与数值仿真

3.1 建立超声换能器的动力学模型

系统的数学模型是描述输入、输出变量及内部各变量之间关系的数学表达式，最常用的数学模型有微分方程与差分方程。正确的数学模型是原型系统的一次近似，是建立仿真模型的依据。当换能器的径向尺寸小于介质中传播的波的四分之一波长时，根据一维纵振理论，忽略泊松效应和径向振动效应，有利于分析、建立换能器的数学模型［5］。

将换能器抽象为集中质量的质量—刚度—阻尼系统，忽略电极建立的三自由度模型如图2所示。

超声换能器矩阵形式的运动微分方程为［6］：

图2 换能器的三自由度模型

M、C、K分别是3×3阶的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，F为激励力矩阵。利用影响系数法［7］建立系统矩阵如下：

3.2 建立换能器的仿真模型

正确的仿真模型是数学模型的近似，即原型系统的二次近似。在MATLAB/Simulink模块中，换能器系统可以采用以下方法建立仿真模型［8］：1）Integrator模块建模。换能器系统的数学模型为一个线性微分方程组，采用Integrator建模速度较快，但可读性较差；2）S-function模块建模。用MATLAB语言、C语言或C++等语言构成S函数模块，以在Simulink模型中通过S函数直接调用，具有编程灵活的特点；3）State-space模块建模。根据MATLAB语言编写一个计算参数值的M文件，再进入Simulink环境设置相关仿真参数，应用简单灵活。

3.2.1 将微分方程化成状态方程

3.2.2 利用State-space模块建立仿真模型

启动MATLAB/Simulink之后，采用Continuous模块库中的State-space模块建立模型，选择Sources模块组中的Sine Wave模块为输入信号，输出子模块库中的Scope模块来显示仿真结果［9］。

采用State-space模块库建立的仿真模型如图3所示。

图3 采用状态空间模块建模

1）模块参数设置。

采用State-space模块建立的模型需要设置各模块参数，在运行仿真前新建一个M文件，输入计算A、B、C、D的程序代码，仿真时在MATLAB命令窗口中调用此M文件。换能器系统进行仿真分析的程序代码如下：

双击Sine Wave Function模块，在弹出的对话框中，Amplitude设置为向量［0.171 54.2 477］，Frequency为2*pi*20000，其余为默认值。双击State-space模块，设置参数A为A，B为B，C为C0，D为D，初始条件设为0。

2）仿真参数配置。

在对模型进行仿真之前需要配置仿真参数，在模型窗口中，选择 Simulation主菜单下的 Configuration Parameters命令，在Solve参数配置界面中设置仿真start time为0，stop time设为0.25。解算器选项配置Solver options中，Type设为Variable-step，解算方法Solve采用ode45类型，其余采用默认设置。

3）运行仿真模型及分析仿真结果［10］。

执行窗口菜单Simulink→Start，再点击各个示波器Scope，对应传递函数的图形结果将显示出来。其中，换能器系统仿真位移幅值—时间曲线如图4所示。

由图可知，换能器末端输出位移振幅可达0.001mm，满足超声振动加工要求。利用Simulink仿真，可以方便地在模型窗口上画出各个环节传递函数模型图，以对系统进行仿真与分析。

图4 位移-时间曲线

4 ANSYS软件仿真验证与结论

通过有限元仿真软件ANSYS Workbench中的模态分析模块，可以方便地得到换能器的固有振动特性。设定换能器的工作频率为f=20 kHz，因超声换能器暴露在空气中，所以进行模态分析时，只需要在压电陶瓷片上施加零电压载荷便可得到超声换能器的固有频率和振型。仿真得到换能器的三阶纵振频率f=20.10 kHz，模态振型如图5所示。

图5 三阶模态振型

由振动模型图分析知，换能器在频率为20 101 Hz时沿轴向作一维纵向振动，此频率和激励频率的误差为0.505%，误差在允许的范围之内，满足工程设计的要求。

5 结语

本文根据换能器的结构特征，求得各组件的等效物理参数，并利用牛顿运动定律建立超声换能器振动系统的动力学方程，采用影响系数法求出系统的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵，建立了一维纵振超声波换能器加工系统的数学模型。基于MATLAB/Simulink软件进行了数值仿真，并通过ANSYS Workbench软件进行了有限元分析，验证了建模和数值仿真方法的可行性。通过对三自由度换能器振动系统的仿真研究，为处理整个超声振动系统的仿真提供了理论依据，可应用于超声振动系统的结构优化设计。

［1］ 张向慧．旋转超声加工振动系统设计及关键技术的研究［D］．北京：北京林业大学，2011．

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（编辑：立 明）

Modeling and Simulation of the Rotary Ultrasonic Transducer

XU Xiaoming,ZHANG Xianghui
（North China University of Technology,College of Mechanical and Electrical Engineering,Beijing 100144,China）

In the one-dimensional longitudinal vibration rotary ultrasonic machining system while the input power is set,in order to obtain the tip of the tool’s amplitude efficiently and accurately,the transducer system can be abstracted as a dynamic model described with mass,stiffness and damping according to Newton’s law.Then the MATLAB/ Simulink software is used to carry out dynamics simulations of the transducer system,the mathematical model and the state space simulation model of the ultrasonic transducer are studied,the ANSYS software is used to verify the exactness of the MATLAB/Simulink.The amplitude of transducer tip will influence the processability of the ultrasonic vibration system directly,the simulation results provides a new method for the design of the ultrasonic vibration system.

ultrasonic transducer;MATLAB/Simulink;mathematical model;simulation modeling

TH 16;TH 128

A

1002－2333（2014）04－0121－04

徐晓明（1986—），女，硕士研究生，主要研究方向为超声振动系统的仿真与研究，振动与噪声的防止和治理；张向慧（1966—），女，博士，硕士生导师，主要研究方向为旋转超声加工、机械振动与冲击、机器人技术等。

2014-01-09