基于试验数据的魔术轮胎模型参数估计

田洪刚， 芮强， 王红岩

（装甲兵工程学院a.机械工程系；b.训练部，北京100072）

基于试验数据的魔术轮胎模型参数估计

田洪刚a，b， 芮强a， 王红岩a

（装甲兵工程学院a.机械工程系；b.训练部，北京100072）

为了准确估计魔术轮胎模型参数并构建可信的轮胎动力学模型，基于某型轮胎的纵向力及侧向力试验数据，以测试数据和模型拟合数据残差加权平方和最小为目标函数，采用麦夸尔特法（Levenberg-Marquardt）与全局优化法相结合的混合优化算法，分别对8个轮胎纵向力及10个轮胎侧向力模型参数进行估计。拟合优度统计检验结果表明：魔术轮胎模型回归效果非常显著，拟合精度较高。纵向力及侧向力模型拟合曲线与试验测点拟合较好，纵向刚度及侧偏刚度测试结果与计算结果的最大相对误差分别只有8.48%和9.96%，具有很好的一致性，验证了参数估计的准确性。

魔术轮胎模型；参数估计；麦夸尔特法；拟合优度检验

0 引言

除了空气作用力和重力外，几乎其它所有影响车辆运动的力和力矩都通过滚动的轮胎与地面相互作用而产生。建立精确的轮胎模型来模拟车辆行驶状态下轮胎与地面的相互作用关系，对于准确研究车辆系统的动力学特性有很大的影响。轮胎模型的精度必须与车辆模型的精度相匹配。常用的轮胎模型主要分为经验—半经验模型、物理模型、有限元模型等三类，由于轮胎具有结构的复杂性和力学性能的非线性，选择符合实际又便于使用的轮胎模型至关重要［1-2］。

由Pacejka提出的魔术公式作为一种典型的经验—半经验模型，以其简洁统一的表达方式和较高的拟合精度，在车辆动力学研究领域得到了最为广泛的应用［3-4］。目前使用魔术公式的轮胎模型主要有Pacejka 89、Pacejka 94、MF-Tyre、MF-Swift等4种类型。虽然魔术轮胎模型具有较好的通用性，在没有某一轮胎的试验数据时而采用同类轮胎数据代替，仍可取得较好的模拟效果，但是为了使模型能更加符合轮胎的实际物理特性，通常需要根据轮胎试验测试数据对魔术模型的参数进行估计。尽管与其他模型相比，魔术轮胎模型的拟合参数相对较小，但是要想准确地估计魔术模型的参数也是相当困难的。

本文在进行某型越野轮胎纵向力及侧向力试验测试的基础上，为了准确构建该轮胎的动力学模型，根据试验测试数据对魔术轮胎模型的参数进行识别。为了提高模型参数识别的收敛效率和识别精度，采用麦夸尔特法（Levenberg-Marquardt）与全局优化法相结合的混合优化算法识别了魔术轮胎模型的参数，并通过拟合优度检验的方法对参数识别结果进行验证。

1 魔术轮胎模型力学表达式

魔术模型采用三角函数的组合公式拟合轮胎试验数据，用一套形式相同的公式就可以完整地表达轮胎的纵向力、侧向力及回正力矩，故称为“魔术公式”［5-6］，具有统一性强、编程方便等优点。由于魔术公式基于试验数据，因此在试验测试范围内具有较高的精度，并且具有很好的外推特性，在极限值以外一定程度仍可使用，可以对有限工况进行外推且具有较好的置信度。

1.1 轮胎纵向力模型

用魔术公式表示的轮胎纵向力模型表示为：

式中：Fx为轮胎纵向力，N；Fz为轮胎垂直载荷，N；κ为轮胎纵向滑移率；D为峰值因子；C为形状因子；BCD1为纵向力为零时轮胎的纵向刚度；B为刚度因子；E为曲率因子；ai（i=1，2，…，8）为轮胎模型拟合系数。

1.2 轮胎侧向力模型

同样，轮胎侧向力模型表示为：

式中：Fy为轮胎侧向力，N；BCD2为侧向力为零时轮胎的侧偏刚度；α为轮胎侧偏角；Sh为曲线的水平方向漂移；Sv为曲线的垂直方向漂移；ai（i=1，2，…，10）为轮胎模型拟合系数。

2 轮胎模型拟合参数估计

2.1 参数估计模型

要对魔术轮胎模型中的未知参数进行估计，就是要使根据魔术公式拟合得到的纵向力及侧向力与试验测试结果之间的差异最小。以试验测试数据点与模型拟合数据点之间差异的加权平方和构建如下的目标函数［6－7］

式中：S为构建的目标函数；Fi为轮胎纵向力或侧向力第i个测点的试验值，N；Fˆi为魔术公式拟合值，N；N为试验测点总数；wi为权重系数，权重系数的选取会影响修正结果，一种方法是可以根据不同测点的测试精度进行确定，这里取wi=1。

目标函数式（3）的最小化过程就是魔术模型参数的修正过程。轮胎的侧向力及纵向力试验数据及魔术公式拟合曲线具有很强的非线性特性，并且在参数修正过程中，要根据有限的试验数据分别对纵向力中的8个参数以及侧向力中的10个参数进行修正，因此，选择合适的修正算法非常重要，否则很难得到理想的修正结果。

2.2 轮胎试验测试

为了研究轮胎的动态特性，试验测试了不同垂直载荷下，对应于不同纵向滑移率的轮胎纵向力以及对应于不同侧偏角时的轮胎侧向力。试验对象为某公司生产的某型子午线轮胎，标准胎压为830kPa，试验温度25°C，试验时采用的垂直载荷分别为：5 586N、10 388 N、15 141 N、19 865 N，在进行侧向力试验时，基于最常用的试验工况，选择外倾角为0°。不同垂直载荷下，轮胎纵向力及侧向力试验数据分别见表1、表2所示，根据纵向力及侧向力的对称性，表中只列出一半数据。

表1 轮胎纵向力试验数据 N

表2 轮胎侧向力试验数据 N

2.3 轮胎模型参数辨识

目前，在非线性曲线拟合及参数估计方面，最常用的算法有麦夸尔特法［10-11］或简面体爬山法（SimplexMethod）等，具有收敛速度快、拟合精度高等优点，只要初始参数的选取比较合理，就能够得到非常理想的收敛结果。但是由于这两种方法均属于局部优化算法，它们的解依赖于选择的参数初值。因而如何有效地确定参数初始值始终是难以克服的瓶颈。而诸如遗传算法（GA）等全局算法虽然能够收敛到全局最优解，但是收敛速度比较慢。因此，本文采用了麦夸尔特法（LM）与全局优化算法（Universal Global Optimization-UGO）［12-13］相结合的混合优化算法，对魔术轮胎纵向力及侧向力模型中的参数进行估计，既确保了能够收敛到全局最优解，又显著提高了收敛效率。

采用LM+UGO算法，将轮胎稳态纵向滑移特性和稳态侧偏特性试验数据分别代入式（2）、（3）进行参数估计，得到相应的参数值如表3所示。

表3 魔术轮胎模型拟合参数

3 参数估计结果检验及验证

3.1 拟合优度检验

为了对参数估计结果进行验证，采用了拟合优度检验的方法［14］。所采用的模型统计检验量包括：决定系数R2和检验统计量F，分别由式（4）～式（7）给出，具体计算结果见表4。

表4 轮胎模型参数估计统计检验结果

式中：n为观测值数量；p为回归参数数量；m为回归方程数量为yi的估计值为n个估计值的平均值。

由表4可见，纵向力Fx和侧向力Fy回归方程的决定系数R2分别为0.998和0.999，非常接近于1，说明回归方程与试验测点拟合很好，整个回归结果非常显著。方差分析结果表明，临界值F0.01（4，76）=3.597，F0.05（4，76）=2.493。纵向力Fx的检验统计量F=11 768.01>10×F0.01（4，76）= 35.97>10×F0.05（4，76）＝24.93，侧向力Fy的F=23 730.80> 10×F0.01（4，76）>10×F0.05（4，76），说明采用魔术公式的轮胎纵向力及侧向力非线性模型的回归效果特别显著，表明该模型是合适的，反映了拟合值与试验值之间的差异很小，拟合程度非常显著。

轮胎纵向力及侧向力拟合值与试验值的比较如图1、图2所示。纵向力的试验值Fx与拟合值、侧向力的试验值Fy与拟合值均分布在对角线两侧，说明轮胎纵向力及侧向力的拟合计算值与试验值吻合良好。

图1 轮胎纵向力拟合值与试验值

图2 轮胎侧向力模型计算值与试验值比较

3.2 轮胎特性的分析与比较

3.2.1 轮胎纵向力及纵向刚度

在不同的垂向载荷下，由魔术轮胎模型拟合得到的轮胎纵向力与纵向滑移率关系曲线和试验数据点的比较如图3所示。从图中可以看出轮胎模型纵向力拟合特性曲线与试验数据有很好的一致性。

图3 轮胎纵向力试验数据点及魔术模型拟合曲线

图4 轮胎纵向刚度试验及拟合曲线

轮胎的试验纵向刚度表示为纵向力试验曲线在零点时的斜率［15］，可以由图3的试验数据点求得，魔术模型中的拟合纵向刚度由表达式BCD1计算得到。图4为轮胎试验纵向刚度及拟合纵向刚度对比曲线，从图中看出，轮胎纵向刚度随轮胎垂向载荷的增加而增大，两者呈近似线性关系，并且由轮胎模型得到的纵向刚度拟合结果与试验曲线之间的最大相对误差为8.48%，表明两者有较好的一致性。

3.2.2 轮胎侧向力及侧偏刚度

轮胎侧向力与侧偏角关系拟合曲线与试验数据点的比较如图5所示，从图中可以看出轮胎模型侧向力拟合特性曲线与试验数据有很好的一致性。

图5 轮胎侧向力试验数据点与魔术模型拟合曲线

轮胎的试验侧偏刚度表示为侧向力试验曲线在零点时的斜率，可以由图5的试验数据点求得，魔术模型中的拟合侧偏刚度由表达式BCD2计算得到。图6为轮胎试验侧偏刚度及拟合侧偏刚度对比曲线，从图中看出，轮胎侧偏刚度随着轮胎垂向载荷的增加而增大，两者呈近似线性关系，并且由魔术轮胎模型得到的侧偏刚度拟合结果与试验曲线之间的最大相对误差为9.96%，表明两者之间也有较好的一致性。

图6 轮胎侧偏刚度试验与拟合曲线

4 结论

1）进行某型轮胎纵向力及纵向力的试验测试，基于魔术轮胎模型公式，采用麦夸尔特局部法与全局法相结合的混合优化算法，分别拟合了轮胎的侧向力及纵向力特性曲线，识别了魔术轮胎纵向力模型中的8个及侧向力模型中的10个参数。

2）采用拟合优度检验中的决定系数及检验统计量对魔术公式的拟合结果进行了检验，结果表明：采用魔术公式的轮胎纵向力及侧向力非线性模型的回归效果非常显著，轮胎纵向力及侧向力的拟合值与试验值吻合良好，表明了参数识别结果的可信度。

3）由轮胎模型得到的纵向刚度以及侧偏刚度拟合结果与试验测试结果之间最大相对误差分别为8.48%和9.96%，具有很好的一致性，表明该型轮胎对魔术轮胎模型较适应，从而为准确的整车建模及动力学特性分析奠定了基础。

［1］ 王裕鹏，赵龙庆.典型轮胎模型及其发展趋势［J］.农业装备与车辆工程，2006（12）：3-5.

［2］ 喻凡，林逸.汽车系统动力学［M］.北京：机械工业出版社，2005.

［3］ Pacejka H B，Bakker E.The magic formula tyre model［J］.Vehicle System Dynamics，1992，21（1）：1-18.

［4］ Gima G，Choia Y，Kima S.A semi-physical tire model for a vehicle dynamics analysis of handling and braking［J］.Vehicle System Dynamics，2007，45（1）：169-190.

［5］ 边明远.用于纵向道路附着系数评估的简化轮胎模型［J］.重庆理工大学学报：自然科学版，2012，26（1）：1-5.

［6］ Van Oosten J J M，Bakker E.Determination of magic tyre model parameters［J］.Vehicle System Dynamics，1992，21（1）：19-29.

［7］ 张鹏，张明，夏群生，等.基于LuGre摩擦模型的轮胎稳态模型参数识别［J］.农业机械学报，2008，39（5）：204-207.

［8］ 刘红光，顾彬彬，邱峰，等.7.50R20 14PR PW 02型轮胎侧偏刚度的试验与拟合［J］.拖拉机与农用运输车，2009，36（5）：63-65.

［9］ Lin J，Li S T.Frequency identification of fractional systems based on gain and phase data［C］//8th World Congress on Intelligent Control and Automation（WCICA），2010：5636-5641.

［10］ Yamashita N，Fukushima M.On the rate of convergence of the Levenberg-marquardt method［J］.Computing，2001（15）：239-249.

［11］ Fan J Y，and Yuan Y X.On the quadratic convergence of the Levenberg-marquardt method without nonsingularity assumption［J］.Computing，2005（74）：23-39.

［12］ Huang D，Allen T T，Notz W I，et al.Global optimization of stochastic black-box systems via sequential kriging metamodels［J］.Journal of Global Optimization，2006，34（3）：441-466.

［13］ Redondo J L，García I，Ortigosa P M.Universal global optimization algorithm on shared memory multiprocessors［R］//Distributed Computing，Artificial Intelligence，Bioinformatics，Soft Computing，and Ambient Assisted Living Lecture Notes in Computer Science，2009，5518：219-222.

［14］ 董聪，戎海武，夏人伟.疲劳寿命分布模型及其拟合优度检验［J］.航空学报，1995，16（2）：148-152.

［15］ 韩加蓬，王艳阳，周孔亢.基于模式搜索的轮胎纵向刚度估计方法［J］.农业机械学报，2007，38（12）：28-31.

（编辑启 迪）

Identification of Magic Tyre Mode Parameters Based on Experimental Data

TIAN Hongganga,b,RUI Qianga,WANG Hongyana
（a.Department of Mechanical Engineering,b.Department of Training,Academy of Armored Force Engineering,Beijing 100072,China）

In order to estimate magic tyre model parameters with more confidence,the weighted sum of squares residual（WSSR）between experimental data and fitted data is taken as objection function,a kind of hybrid optimizing algorithm has been adopted to estimate eight longitudinal force magic model parameters and ten lateral force magic model parameters based on experimental data of tire longitudinal force and lateral force.The applied optimizing approach is the combination of Levenberg-Marquardt local method and global optimization method.The regression effect of magic tire model is very significant and fitting accuracy is high in testing of goodness of fit.The accuracy of parameter estimation is verified by the small relative error（8.48%and 9.96%）between experimental values and fitted values of longitudinal stiffness and cornering stiffness.

magic tyre model;parameter identification;Marquardt method;test of goodness of fit

U 463

A

1002－2333（2014）05－0019－04

田洪刚（1980—），男，硕士研究生，研究方向为军用车辆系统论证、仿真与评估技术；王红岩（1965—），男，教授，博士学位，研究方向为军用车辆论证与仿真。

2014-02-03

军内科研资助项目（2012JC037）