高中数学教学中二次函数应用初探

吴长理

【摘 要】高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，函数是高中数学课程的必修内容，在高中数学中对二次函数应用显得十分重要。首先，要进一步深入理解函数概念；其次，要理解二次函数的单调性，最值与图象；最后，二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维。

【关键词】高中数学；二次函数；函数概念；数学思维

《高中数学新课程标准》明确规定，高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。高中数学课程应具有基础性。函数是高中数学课程的必修内容，因此，在高中数学中对二次函数应用显得十分重要。那么，在高中数学教学中，如何深入研究应用二次函数呢？

一、要进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为?（x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知?（x）= 2x2+x+2，求?（x+1）

这里不能把?（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

二、要理解二次函数的单调性，最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（-∞，-b2a]及[-b2a，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅱ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

（1）y=x2+2|x-1|-1

（2）y=|x2-1|

（3）y= x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅲ：设二次函数?（x）=ax2+bx+c（a>0）方程?（x）-x=0的两个根x1，x2满足0

（Ⅰ）当X∈（0，x1）时，证明X

（Ⅱ）设函数?（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0< x2。

解题思路：

本题要证明的是x

（Ⅰ）先证明x

因为00，又a>0，因此?（x） >0，即?（x）-x>0.至此，证得x

根据韦达定理，有x1x2=ca∵ 0?（0），所以当x∈（0，x1）时?（x）

（Ⅱ）∵?（x）=ax2+bx+c

=a（x+-b-2a）2+（c-b2—4a），（a>0）

函数?（x）的图象的对称轴为直线x=-b-2a，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=-b-2a，因为x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=-b--1-a，∵x2-1-a<0，∴x0= -b-2a=12（x1+x2-1-a）

二次函数有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

总之，二次函数的内容涉及很广，只有在高中数学教学中多关注这方面知识，才能对它的研究更深入。