匀强磁场中的通电悬链线＊

邱为钢

（湖州师范学院理学院 浙江 湖州 3130 00 ）

经典的悬链线是指质量均匀分布的绳子，在重力场中两端固定时候的位形［1，2］．除重力之外，如果给予绳子某种外力，那么，绳子就会呈现类似悬链线形状．垂直匀强磁场的通电导线所受的安培力就是一个很好的例子．在重力和安培力共同作用下，通电导线（悬链线）的形状，相比通常的悬链线，有什么变化？

1 通电悬链线的形状方程

首先，我们利用微元分析法推导通电悬链线的形状方程，为简单起见，通电悬链线是对称放置的．设磁感应强度为B，方向垂直于通电悬链线所在平面，电流为I．悬链线长度为2l，线密度为ρ．忽略电流元之间的相互作用，弧长坐标在（s，s＋ds）的悬链线微元在重力G，两端张力T（s），T（s＋ds）和安培力F作用下平衡，如图1所示．通电悬链线微元在x，y轴方向受力平衡

通电悬链线上弧长微元满足

把式（1）～（3）无量纲化，张力以ρg l为单位，长度以l为单位，比例参数

那么，式（1）、（2）转化为

或者

图1 匀强磁场中通电导线微元受力分析示意图

现在先给出一般边界情况下悬链线形状方程式（3）～（7）的解．以通电悬链线的最低点为原点，在原点处切角是θ0，张力为T0．式（4）和式（5）积分，并利用原点的边界条件，得到

式（6）直接积分得到

联立式（8）和式（10 ），得到

把式（11 ）代入式（6），积分得到

其中

x的参数表示由式（9）、（13 ）和（14 ）给出．悬链线端点切角值θ1由a＝确定，其中a是悬链线的半宽度．当＞1时，式（14 ）出现的反正切函数具有多值性，θ1可能取多个值．

2 通电悬链线的形状

通电悬链线的形状由比例参数λ和悬链线宽度a确定，分为多类情况．取a＝为例来讨论．

第一类情形是λ＞－a，θ0＝0．

当λ＝1时，悬链线形状的参数方程是

悬链线形状如图2所示，其中虚线是未通电时悬链线的形状．

第二类情形是λ＝－a，θ＝arc cos（a）．

此时悬链线的形状就是“V”字形．

第三类情形是λ＜－a，θ0＝π．

此时悬链线形状类似扭结形．当λ＝－1时，悬链线形状的参数方程是

图2 比例参数λ＝1时通电悬链线形状

悬链线形状如图3所示，其中虚线是未通电时悬链线的形状．

图3 比例参数λ＝－1时通电悬链线形状

第四类情形是λ＜－a，θ0＝．

此时悬链线底下部分重合，设重合部分长度为s0，分叉点处张力与底下部分重力平衡，即

T0＝s0

切角为θ0＝．仿照以上推导，计算得到分叉部分的参数方程为

当λ＝－1时，悬链线分叉部分形状的参数方程是

悬链线形状如图4所示，其中虚线是未通电时悬链线的形状．

图4 比例参数λ＝－1时通电悬链线形状

由于悬链线端点切角值θ1方程a＝是超越方程，没有解析解，所以，其余比例参数时的悬链线形状直接数值求解式（3～5）来画出．数值计算发现，当λ＝－3时，存在多种形状，因篇幅所致，只给出6种形状，如图5所示．

图5 比例参数λ＝－3时通电悬链线形状

3 结束语

我们的模型忽略了通电导线本身电流元的相互作用，解析和数值计算发现，相对于经典悬链线，通电悬链线形状丰富多彩．当比例参数λ和悬链线宽度2a取不同组合时，由于最底端的几何条件不一样（切线水平或垂直），最底端的张力不一样，以及体系重力势能和安培力对应的势能之和不一样，悬链线形状存在多种可能性．

1 于凤军，崔金玲，李立新．利用平衡原理导出悬链线方程．工科物理，1998 ，8（4）：14 ～16

2 李玉良 黄湘茹．匀质悬链几何形状的力学研究．物理与工程，2013 ，23 （1）：8～10