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匀强磁场中的通电悬链线*

2014-06-29邱为钢

物理通报 2014年6期
关键词:链线切角安培力

邱为钢

(湖州师范学院理学院 浙江 湖州 3130 00 )

经典的悬链线是指质量均匀分布的绳子,在重力场中两端固定时候的位形[1,2].除重力之外,如果给予绳子某种外力,那么,绳子就会呈现类似悬链线形状.垂直匀强磁场的通电导线所受的安培力就是一个很好的例子.在重力和安培力共同作用下,通电导线(悬链线)的形状,相比通常的悬链线,有什么变化?

1 通电悬链线的形状方程

首先,我们利用微元分析法推导通电悬链线的形状方程,为简单起见,通电悬链线是对称放置的.设磁感应强度为B,方向垂直于通电悬链线所在平面,电流为I.悬链线长度为2l,线密度为ρ.忽略电流元之间的相互作用,弧长坐标在(s,s+ds)的悬链线微元在重力G,两端张力T(s),T(s+ds)和安培力F作用下平衡,如图1所示.通电悬链线微元在x,y轴方向受力平衡

通电悬链线上弧长微元满足

把式(1)~(3)无量纲化,张力以ρg l为单位,长度以l为单位,比例参数

那么,式(1)、(2)转化为

或者

图1 匀强磁场中通电导线微元受力分析示意图

现在先给出一般边界情况下悬链线形状方程式(3)~(7)的解.以通电悬链线的最低点为原点,在原点处切角是θ0,张力为T0.式(4)和式(5)积分,并利用原点的边界条件,得到

式(6)直接积分得到

联立式(8)和式(10 ),得到

把式(11 )代入式(6),积分得到

其中

x的参数表示由式(9)、(13 )和(14 )给出.悬链线端点切角值θ1由a=确定,其中a是悬链线的半宽度.当>1时,式(14 )出现的反正切函数具有多值性,θ1可能取多个值.

2 通电悬链线的形状

通电悬链线的形状由比例参数λ和悬链线宽度a确定,分为多类情况.取a=为例来讨论.

第一类情形是λ>-a,θ0=0.

当λ=1时,悬链线形状的参数方程是

悬链线形状如图2所示,其中虚线是未通电时悬链线的形状.

第二类情形是λ=-a,θ=arc cos(a).

此时悬链线的形状就是“V”字形.

第三类情形是λ<-a,θ0=π.

此时悬链线形状类似扭结形.当λ=-1时,悬链线形状的参数方程是

图2 比例参数λ=1时通电悬链线形状

悬链线形状如图3所示,其中虚线是未通电时悬链线的形状.

图3 比例参数λ=-1时通电悬链线形状

第四类情形是λ<-a,θ0=.

此时悬链线底下部分重合,设重合部分长度为s0,分叉点处张力与底下部分重力平衡,即

T0=s0

切角为θ0=.仿照以上推导,计算得到分叉部分的参数方程为

当λ=-1时,悬链线分叉部分形状的参数方程是

悬链线形状如图4所示,其中虚线是未通电时悬链线的形状.

图4 比例参数λ=-1时通电悬链线形状

由于悬链线端点切角值θ1方程a=是超越方程,没有解析解,所以,其余比例参数时的悬链线形状直接数值求解式(3~5)来画出.数值计算发现,当λ=-3时,存在多种形状,因篇幅所致,只给出6种形状,如图5所示.

图5 比例参数λ=-3时通电悬链线形状

3 结束语

我们的模型忽略了通电导线本身电流元的相互作用,解析和数值计算发现,相对于经典悬链线,通电悬链线形状丰富多彩.当比例参数λ和悬链线宽度2a取不同组合时,由于最底端的几何条件不一样(切线水平或垂直),最底端的张力不一样,以及体系重力势能和安培力对应的势能之和不一样,悬链线形状存在多种可能性.

1 于凤军,崔金玲,李立新.利用平衡原理导出悬链线方程.工科物理,1998 ,8(4):14 ~16

2 李玉良 黄湘茹.匀质悬链几何形状的力学研究.物理与工程,2013 ,23 (1):8~10

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