一类周期系数的一阶微分方程的周期解研究

王玉萍, 蔺小林, 李美丽

(1.陕西科技大学 理学院， 陕西 西安 710021； 2.东华大学 应用数学系, 上海 201620)

0 引言

我们研究如下类型的周期系数的一阶微分方程

a1(x)y+a0(x)

(1)

(其中ai(x)(i=0,1,…,n)是以T为周期的实连续周期函数) 周期解的存在性问题.周期系数的一阶微分方程在流体力学、弹性震动理论、控制理论与工程等许多科技领域都有非常广泛的应用，因此，研究周期系数一阶微分方程的周期解的存在性具有非常重要的意义.

对方程(1)，当n=2(即Riccati微分方程)时周期解的存在性与空间柱面上的闭曲线的存在性密切相关，1979 年秦元勋教授回答了陈省身教授提出的Riccati微分方程在什么条件下存在周期解的问题[1]，之后，Riccati方程周期解的问题不断被研究[2-4].周尚仁[5]对n=3(即Abel 微分方程)周期解的存在性进行了研究，蔺小林[6-10]对一般类型的周期系数一阶微分方程(1)进行深入的研究，得到了存在周期解的一些充分性条件.A.L.Neto[11]和Lioyd,N.G[12,13]对一类周期系数一阶微分方程周期解的个数问题进行了讨论.窦霁虹[14]对奇次周期Riccati型微分方程的周期解存在性问题进行了研究，推广了周期Riccati微分方程的类型.我们对周期系数的一阶微分方程(1)的一些特殊类型[15,16]，应用代数方程的性质和不动点理论，得到了周期解存在的一些充分性条件，给出了Abel 方程存在周期解的充分性条件，同时用例子验证了所得结论的正确性.本文中，我们继续对周期系数一阶微分方程(1)周期解的存在性进行研究，利用范德蒙德行列式和系统(1)的示性代数方程以及不动点理论，得到了周期解的存在性充分必要条件和一些新的充分性条件，丰富了周期系数一阶微分方程(1)的研究内容.

1 主要结论

由于我们假定系统(1)的系数ai(x)(i=0,1,…,n)是以T为周期的实连续周期函数，所以对系统(1)我们仅在区域D={(x,y)|0≤x≤T,-∞

定义1称方程

F(x,y)an(x)yn+an-1(x)yn-1+…+

a1(x)y+a0(x)=0

(2)

为方程(1)的示性代数方程.

定义2方程(2)的实解称为示性代数方程的分枝曲线.

引理1系统(1)的周期解曲线必与方程(2)的某一分支曲线相交[1,3,6].

定理1系统(1)存在n+1个实的T周期解yk(x)(k=1,2,…,n+1)的充分必要条件是ai(x)(i=0,1,…,n)是以T为周期的实周期函数, 且

证明:若系统(1)存在n+1个实的T周期解，yk(x)(k=1,2,…,n+1),则

利用范德蒙德行列式，由上式可解得

反之，若系统(1)的系数ai(x)(i=0,1,…,n)是以T为周期的实周期函数，且满足

即

(3)

示性代数方程(2)是y的n次方程，它最多只有n个实分支曲线，由引理1可知，系统(1)的周期解和实分支曲线必定相交，由于示性代数方程(2) 最多只有n个实分支曲线，那么系统(1)最多有多少个实周期解?A.L.Neto和Lioyd,N.G对周期系数一阶微分方程(1)周期解的个数问题进行了讨论，得到非常数周期解可以有无穷多个.对于系统(1)常数周期解的性质和个数问题，我们容易得到下列结论.

定理2系统(1)存在实常数解的充分必要条件是该实常数解是示性代数方程的分支曲线.

定理3系统(1)存在n+1个互不相同的实常数解yk(k=1,2,…,n+1)的充分必要条件是ai(x)≡0(i=0,1,…,n)，即系统(1)为平凡系统.

定理4对系统(1)，当n为奇数，并且对任何0≤x≤T有an(x)≠0，则系统(1)在区域D内至少存在一个周期解.

|ai(x)|≤Mi(i=0,1,…,n).由于n为奇数，且

F(x,+∞)=+∞，

F(x,-∞)=-∞(0≤x≤T)

则存在充分大Y>0，使得

取“2.3”项供试品溶液，参照《中国药典》2015年版水蒸气蒸馏法[1]测定黄丝郁金挥发油的含量，测定结果见表2。

mnYn-Mn-1Yn-1-…-M1Y-M0>0

-mnYn+Mn-1Yn-1+…+M1Y+M0<0

因此

a1(x)Y+a0(x)≥

mnYn-Mn-1Yn-1-…-M1Y-M0>0,

a1(x)(-Y)+a0(x)≤

-mnYn+Mn-1Yn-1+…+M1Y+

注：当n=3时，本定理的结论就是文献[11]中定理1的结论.

2 应用举例

Δ0(x)=0,

Δ2(x)=0,

所以

满足定理1的所有条件和结论，也符合定理2的条件和结论.

sinxcosx

解显然在0≤x≤2π内a3(x)=1≠0，按照定理4可知该系统至少存在一个2π周期解.事实上，容易验证y(x)=-(1+sinx)就是它的一个2π周期解.

3 小结

由于一阶微分方程的周期解有非常广泛的应用，因此深入研究周期系数的一阶微分方程的周期解的存在性具有非常重要的意义.我们仅对一类特殊的周期系数的一阶微分方程的周期解的存在性进行了讨论，应用范德蒙德行列式得到了周期解的存在性的充分必要条件；应用示性代数方程和不动点理论，得到了周期解存在性的一些新的充分性条件；最后举例说明所得结论的正确性.

一阶微分方程的周期解的存在性，虽然有一些研究结论，但还有很多问题需要研究.如例1至例3，方程的右端均是y的三次多项式，但是周期解的情况大不相同.所以，对系统存在多少个周期解,每个周期解的稳定性如何等等，还需要我们今后继续深入研究.

[1] 秦元勋.周期系数的吕卡提方程的周期解[J].科学通报,1979,30(23):1 062-1 066.

[2] 陆毓琪.吕卡提方程的周期解[J].南京理工大学学报,1989,13(3):76-80.

[3] 武津刚.周期系数Riccati方程的周期解存在性[J].系统科学与数学,1990,10(1):24-30.

[4] 翁爱治.关于Riccati方程周期解[J].工程数学学报,2005,22(5):893-897.

[5] 周尚仁，苏殿贞.阿贝尔方程的周期解[J].兰州大学学报，1984,20(S1)：57-62.

[7] 蔺小林,马 燕.关于一阶微分方程周期解的讨论[J].延安大学学报,1988，7(2):41-50.

[8] 蔺小林,马 燕.对关于一阶微分方程周期解的讨论一文的补充[J].延安大学学报,1992，11(4):38-40.

[9] 蔺小林.一阶微分方程周期解的研究[J].西北轻工业学院学报,2000,19(4):69-73.

[10] 蔺小林.一阶微分方程周期解[J].工程数学学报,2000,17(S):133-134.

[12] Lioyd N.G.The number of periodic solutions of the equationZ′=Zn+p1(t)Zn-1+…+pn-1(t)Z1+pn(t)[J].Proc.London Math.Soc,1973,27(3):667-700.

[13] Lioyd N.G.On analytic differential equations[J].Proc.London.Math.Soc.,1975,30(4):430-444.

[14] 窦霁虹.奇次周期Riccati型微分系统的周期解[J].西北大学学报,2002,32(2):114-116.

[15] 王玉萍,蔺小林,王存荣.周期系数Abel 方程的周期解[J].西南民族大学学报,2006,32(6):1 120-1 122.

[16] 王玉萍.一类偶次周期Riccati型方程的周期解[J].西南民族大学学报，2008,34(3):423-425.