基于差分进化算法的卫星轨道计算方法

2014-06-27刘秀平孙海峰景军锋韩丽丽

西安工程大学学报 2014年5期

刘秀平,孙海峰,景军锋,韩丽丽

(1.西安工程大学电子信息学院,陕西西安 710048;2.西安电子科技大学空间科学与技术学院,陕西西安 710071;3.西安交通工程学院电子工程系,陕西西安 710065)

0 引言

卫星或航天器的轨道位置信息是执行空间任务或导航的基础[1].不论是用于通信的低轨道卫星,还是用于导航定位的高轨道卫星都对轨道位置的计算时间和精度有相应的容忍要求[2-3],及时获取高精度的位置信息是导航的目标.通过对圆轨道、椭圆轨道、抛物线和双曲线轨道建立位置与时间相关联的开普勒方程来获取高精度轨道位置信息[4].除圆轨道外,其他形式轨道的开普勒方程均涉及到超越方程的求解[5].传统的Newton迭代法、梯度法等方法对初始值的选取要求较高,对函数的梯度计算敏感,并且导数冗繁[6].在面对不可微、函数性质复杂等问题时,传统方法的优化结果不能令人满意.研究高效的、稳定的、导数信息和初始值要求不高的求解方法十分重要.差分进化算法对约束的优化问题能获得较好的性能.本文首先介绍了差分进化算法的原理,构建卫星轨道计算模型,然后利用差分进化算法对轨道参数计算,最后分析了各种卫星轨道的计算性能,并与其他算法进行了比较.

1 差分进化算法

差分进化算法(Differential Evolution,DE)是目前进化算法中最优秀的一种,在含约束的单目标优化问题和无约束的多目标优化问题中有广泛的应用[7].DE算法是基于浮点矢量编码具有保优思想的贪婪遗传算法,其思想是从某一随机产生的初始化种群(I),通过变异操作(M)和交叉操作(C)产生新个体,再通过选择操作(S)实现优胜劣汰.不断迭代,引导搜索过程向最优解逼近,直到满足精度要求或满足停止条件为止.具体操作步骤为:

Step 1:初始化(Initialization),在定义内随机生成含有N个p维变量的个体,组成初始种群;当前迭代次数t=1,最大迭代次数为G.

Step 2:变异操作(Mutation),从当前种群中随机选择两个个体xr1，xr2,对其进行变异操作,即

(1)

Step 3:交叉操作(Crossover),其目的是增加群体的多样性,即

(2)

Step 4:选择操作(Selection),为保证算法不断向全局最优解靠近,算法采用“优胜劣汰”的选择策略.经过变异和交叉后的个体,只有适应度更优时,才能被竞争选入子代,即

(3)

式中f()为目标函数,假设解决的为最小化问题.

图1 地心赤道坐标系和近焦点坐标系关系

2 差分进化算法的轨道预测算法

在实际工程应用中,轨道根数是卫星的主要参数.轨道根数包括轨道的半长轴(a)(或比角动量的模)、倾角(i)、升交点赤经(Ω)、偏心率(e)、近地点幅角(ω)和真近点角度(θ).

(4)

式中μ为地球的引力参数,μ=398 600km3/s2,h为比角动量的模

(5)

(6)

(4) 根据地心赤道坐标下的初始位置向量rXYZ0和速度向量vXYZ0,迭代Δt时刻后的状态向量.

根据rXYZ0和vXYZ0,计算出rXYZ0的模,vXYZ0在rXYZ0上投影得到速度的径向分量和长半轴的倒数,分别表示为r0，vr0，α.

(7)

设t0为全局变量为零的时刻,则(t0+Δt_时刻的χ值,可由全局开普勒方程获得.

(8)

(9)

当t0为其他不同于近地点的时间时,全局变量χi与近点角的关系为

(10)

针对轨道参数预测问题,通过DE算法得到的解决方案,能够扩展搜索空间,提高群体的多样性,能得到更优的轨道参数[8].通过启发式策略修正使其满足约束条件,并根据式(9)评价各个个体的适应值.DE算法具体如下:

Step 1:输入轨道根数的参数和约束的上下限值,设置DE算法的参数.

Step 2:初始化群体，每个个体都有一组决策变量组成,这些变量为时间段内近点角的输出值.

Step 3:针对个体χi,从群体中随机选择互不相同的个体χk,χi,χm,利用式(1)生成变异个体.

Step 4:针对个体χi,利用式(2)产生临时测试个体ui.

Step 5:利用测试个体ui,使其满足各种约束条件,并对ui的适应值进行评估[9].

Step 6:当适应值较大时,进入下一次迭代，且迭代次数增加.

Step 7:判断停止条件.当群体中个体数目达到最大，或达到最大迭代次数，则满足停止条件；否则，转向Step3.

Step 8:输出群体最优的方案.

3 结果与分析

测试DE算法对轨道全局近点角及轨道位置和速度信息的寻优性能,并与其他算法比较.算法利用Matlab平台实现,各算法均在Intel(R) Core(TM) i3 CPU M370@2.4GHz 2.4GHz内存,Win 7系统的PC机上运行.

为了测试算法的性能,选取卫星轨迹为椭圆、抛物线和双曲线轨道为测试函数.DE算法对卫星轨道的真近点角的预测性能,如表1所示.对3类不同类型的5个卫星轨迹全局近点角进行了计算.椭圆轨道的参数为近地点半径9 600km和远地点半径21 000km,利用DE算法计算1.132h和3h后的近点角,其最优解为120°和193.0°，DE算法比PSO算法和GA算法获得的近点角有更好的逼近.对于双曲线,参数分别为速度15km/s和近地点半径300km,计算4.15h和3h的近点角,其理论值为111.1°和99.8°.从表1看出,DE算法有更高的轨道精度逼近性能.轨迹为抛物线时,也获得了较好的效果.可见,DE算法在卫星轨道预测方面有较好的寻优能力.这主要得益于DE进化算法使得种群的进化在每一个较好的解附近搜索.因此,一旦有较好解出现在种群中,就获得很大的发展空间,算法有较快的速率收敛.已知t0时刻的位置r0和速度v0,由拉格朗日系数及其导数,可以求得任意时刻的位置r和速度v,从而,确定任意时刻的位置信息和速度信息.