多变量逻辑函数的卡诺图化简方法

高青　赵文艺

摘要：数字电路中的逻辑函数卡诺图化简是一种简单、直观的方法，常用于四变量化简。该文分析了多变量逻辑函数的卡诺图法化简，使卡诺图化简法得到了更广泛的应用。

关键词：多变量逻辑函数；卡诺图；降维；化简；对折；分幅

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）11-2622-05

在数字逻辑电路中，逻辑函数的化简是进行数字电路分析与设计的重要环节。逻辑函数的化简一般有两种方法：一种是代数法，此方法有其局限性，它不仅要求熟记公式，还要有一定的化简技巧，其最大弊端在于不易判断化简结果是否为最简。另一种是卡诺图法。用卡诺图化简逻辑函数是一种既简单，又直观的方法。它可以直接写出最简逻辑函数，避免了繁琐的逻辑代数运算。

常见教材卡诺图化简只介绍到四个变量，当变量增加到五个及五个以上时，卡诺图的方格数目增多、输入变量取值之间的相邻关系变得复杂，使得作图和填写都十分繁琐，这在一定程度上削弱了卡诺图的优势。因此，采用适当的方法用较少变量的卡诺图表示多变量逻辑函数，使多变量逻辑函数的卡诺图化简变得简单，有助于数字逻辑电路的分析与设计。

1 卡诺图的特点

卡诺图是将函数的最小项用方格来表示的一种逻辑函数表示方法。一个方格对应一个最小项，为保证几何位置相邻的两个小方块的变量取值有一个是相反的，行列变量的取值必须按格雷码规律排列。由于格雷码任意相邻的两项之间，其变量取值只有一个是互补的，其余变量的取值完全相同。按此规律画出的卡诺图中，任意两个相邻方格的变量取值中只有一个变量取值是互补的，根据[AB+AB=A]，可消去互补变量，使两个相邻的方格合并为一项，达到化简的目的。

2 卡诺图化简多变量逻辑函数

对含有五个及五个以上变量的卡诺图化简可有以下方法。

2.1 降维卡诺图法化简多变量逻辑函数

卡诺图中的每个方格是逻辑函数的一个最小项，这种全变量卡诺图，用于四个及四个以下变量的逻辑函数化简较方便。由于函数中的变量数量决定卡诺图的方格数，对于多变量函数而言，若卡诺图的变量数少于其函数的变量数，卡诺图的方格数就会减少，有利于进行卡诺图化简，这种减少了变量数的降维卡诺图，其图中的每个方格是一个部分化简的积项。

1）降维卡诺图的填法

降维卡诺图的填法是以四变量卡诺图为基础，当给定逻辑函数为五个及五个以上变量时，可以转换填成四变量以下的降维卡诺图（维数即变量数）。

首先根据给定函数确定降维卡诺图的变量，或者说要确定哪个是要去掉的变量（降维变量）。一般来讲，选择给定函数式中各“与”项里出现次数较多的变量作为降维卡诺图的变量，出现次数较少的变量作为要去掉的变量即降维变量，由于降维变量出现次数少，降维卡诺图方格中的降维变量或降维变量的“与”项组合少，降维卡诺图就比较简单。若给定函数式中各“与”项中变量出现次数相同均较少，可画出几组不同降维变量的降维卡诺图进行比较后确定。

因此，降维卡诺图的化简除与卡诺图化简相同步骤外

1）根据原始逻辑函数进行分幅，填写分幅后的卡诺图。

2）化简分幅卡诺图，按分幅的互补变量将卡诺图重叠，完全重合的消去互补变量，不重合的保留。

3）将多次重叠后的结果写出最简逻辑表达式。

3 结束语

综上所述，多变量逻辑函数卡诺图化简的方法很多，其本质都是利用卡诺图中逻辑变量取值具有相邻性的特点，使卡诺图的面积减小，消去互补变量，达到化简的目的。比较上述几种多变量逻辑函数的卡诺图化简方法，对折法和分幅法虽然简单，但画图量较大。降维法选择降维变量后，只需画降维卡诺图即可，卡诺图简单，且降维变量选择灵活。无论哪种方法，都有其规律，只要对各种方法理解透彻，在数字逻辑电路的分析与设计中，不管多变量逻辑函数以何种形式出现，都可以比较方便地对其进行化简，最终达到简化电路的目的。

参考文献：

[1] 安德宁.数字电路与逻辑设计[M].北京：人民邮电出版社，2004.

[2] 阎石.数字电子技术基础[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3] 万学斌.浅析卡诺图的降维[J].湖北职业技术学院学报，2003.endprint

摘要：数字电路中的逻辑函数卡诺图化简是一种简单、直观的方法，常用于四变量化简。该文分析了多变量逻辑函数的卡诺图法化简，使卡诺图化简法得到了更广泛的应用。

关键词：多变量逻辑函数；卡诺图；降维；化简；对折；分幅

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）11-2622-05

在数字逻辑电路中，逻辑函数的化简是进行数字电路分析与设计的重要环节。逻辑函数的化简一般有两种方法：一种是代数法，此方法有其局限性，它不仅要求熟记公式，还要有一定的化简技巧，其最大弊端在于不易判断化简结果是否为最简。另一种是卡诺图法。用卡诺图化简逻辑函数是一种既简单，又直观的方法。它可以直接写出最简逻辑函数，避免了繁琐的逻辑代数运算。

常见教材卡诺图化简只介绍到四个变量，当变量增加到五个及五个以上时，卡诺图的方格数目增多、输入变量取值之间的相邻关系变得复杂，使得作图和填写都十分繁琐，这在一定程度上削弱了卡诺图的优势。因此，采用适当的方法用较少变量的卡诺图表示多变量逻辑函数，使多变量逻辑函数的卡诺图化简变得简单，有助于数字逻辑电路的分析与设计。

1 卡诺图的特点

卡诺图是将函数的最小项用方格来表示的一种逻辑函数表示方法。一个方格对应一个最小项，为保证几何位置相邻的两个小方块的变量取值有一个是相反的，行列变量的取值必须按格雷码规律排列。由于格雷码任意相邻的两项之间，其变量取值只有一个是互补的，其余变量的取值完全相同。按此规律画出的卡诺图中，任意两个相邻方格的变量取值中只有一个变量取值是互补的，根据[AB+AB=A]，可消去互补变量，使两个相邻的方格合并为一项，达到化简的目的。

2 卡诺图化简多变量逻辑函数

对含有五个及五个以上变量的卡诺图化简可有以下方法。

2.1 降维卡诺图法化简多变量逻辑函数

卡诺图中的每个方格是逻辑函数的一个最小项，这种全变量卡诺图，用于四个及四个以下变量的逻辑函数化简较方便。由于函数中的变量数量决定卡诺图的方格数，对于多变量函数而言，若卡诺图的变量数少于其函数的变量数，卡诺图的方格数就会减少，有利于进行卡诺图化简，这种减少了变量数的降维卡诺图，其图中的每个方格是一个部分化简的积项。

1）降维卡诺图的填法

降维卡诺图的填法是以四变量卡诺图为基础，当给定逻辑函数为五个及五个以上变量时，可以转换填成四变量以下的降维卡诺图（维数即变量数）。

首先根据给定函数确定降维卡诺图的变量，或者说要确定哪个是要去掉的变量（降维变量）。一般来讲，选择给定函数式中各“与”项里出现次数较多的变量作为降维卡诺图的变量，出现次数较少的变量作为要去掉的变量即降维变量，由于降维变量出现次数少，降维卡诺图方格中的降维变量或降维变量的“与”项组合少，降维卡诺图就比较简单。若给定函数式中各“与”项中变量出现次数相同均较少，可画出几组不同降维变量的降维卡诺图进行比较后确定。

因此，降维卡诺图的化简除与卡诺图化简相同步骤外

1）根据原始逻辑函数进行分幅，填写分幅后的卡诺图。

2）化简分幅卡诺图，按分幅的互补变量将卡诺图重叠，完全重合的消去互补变量，不重合的保留。

3）将多次重叠后的结果写出最简逻辑表达式。

3 结束语

综上所述，多变量逻辑函数卡诺图化简的方法很多，其本质都是利用卡诺图中逻辑变量取值具有相邻性的特点，使卡诺图的面积减小，消去互补变量，达到化简的目的。比较上述几种多变量逻辑函数的卡诺图化简方法，对折法和分幅法虽然简单，但画图量较大。降维法选择降维变量后，只需画降维卡诺图即可，卡诺图简单，且降维变量选择灵活。无论哪种方法，都有其规律，只要对各种方法理解透彻，在数字逻辑电路的分析与设计中，不管多变量逻辑函数以何种形式出现，都可以比较方便地对其进行化简，最终达到简化电路的目的。

参考文献：

[1] 安德宁.数字电路与逻辑设计[M].北京：人民邮电出版社，2004.

[2] 阎石.数字电子技术基础[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3] 万学斌.浅析卡诺图的降维[J].湖北职业技术学院学报，2003.endprint

摘要：数字电路中的逻辑函数卡诺图化简是一种简单、直观的方法，常用于四变量化简。该文分析了多变量逻辑函数的卡诺图法化简，使卡诺图化简法得到了更广泛的应用。

关键词：多变量逻辑函数；卡诺图；降维；化简；对折；分幅

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）11-2622-05

在数字逻辑电路中，逻辑函数的化简是进行数字电路分析与设计的重要环节。逻辑函数的化简一般有两种方法：一种是代数法，此方法有其局限性，它不仅要求熟记公式，还要有一定的化简技巧，其最大弊端在于不易判断化简结果是否为最简。另一种是卡诺图法。用卡诺图化简逻辑函数是一种既简单，又直观的方法。它可以直接写出最简逻辑函数，避免了繁琐的逻辑代数运算。

常见教材卡诺图化简只介绍到四个变量，当变量增加到五个及五个以上时，卡诺图的方格数目增多、输入变量取值之间的相邻关系变得复杂，使得作图和填写都十分繁琐，这在一定程度上削弱了卡诺图的优势。因此，采用适当的方法用较少变量的卡诺图表示多变量逻辑函数，使多变量逻辑函数的卡诺图化简变得简单，有助于数字逻辑电路的分析与设计。

1 卡诺图的特点

卡诺图是将函数的最小项用方格来表示的一种逻辑函数表示方法。一个方格对应一个最小项，为保证几何位置相邻的两个小方块的变量取值有一个是相反的，行列变量的取值必须按格雷码规律排列。由于格雷码任意相邻的两项之间，其变量取值只有一个是互补的，其余变量的取值完全相同。按此规律画出的卡诺图中，任意两个相邻方格的变量取值中只有一个变量取值是互补的，根据[AB+AB=A]，可消去互补变量，使两个相邻的方格合并为一项，达到化简的目的。

2 卡诺图化简多变量逻辑函数

对含有五个及五个以上变量的卡诺图化简可有以下方法。

2.1 降维卡诺图法化简多变量逻辑函数

卡诺图中的每个方格是逻辑函数的一个最小项，这种全变量卡诺图，用于四个及四个以下变量的逻辑函数化简较方便。由于函数中的变量数量决定卡诺图的方格数，对于多变量函数而言，若卡诺图的变量数少于其函数的变量数，卡诺图的方格数就会减少，有利于进行卡诺图化简，这种减少了变量数的降维卡诺图，其图中的每个方格是一个部分化简的积项。

1）降维卡诺图的填法

降维卡诺图的填法是以四变量卡诺图为基础，当给定逻辑函数为五个及五个以上变量时，可以转换填成四变量以下的降维卡诺图（维数即变量数）。

首先根据给定函数确定降维卡诺图的变量，或者说要确定哪个是要去掉的变量（降维变量）。一般来讲，选择给定函数式中各“与”项里出现次数较多的变量作为降维卡诺图的变量，出现次数较少的变量作为要去掉的变量即降维变量，由于降维变量出现次数少，降维卡诺图方格中的降维变量或降维变量的“与”项组合少，降维卡诺图就比较简单。若给定函数式中各“与”项中变量出现次数相同均较少，可画出几组不同降维变量的降维卡诺图进行比较后确定。

因此，降维卡诺图的化简除与卡诺图化简相同步骤外

1）根据原始逻辑函数进行分幅，填写分幅后的卡诺图。

2）化简分幅卡诺图，按分幅的互补变量将卡诺图重叠，完全重合的消去互补变量，不重合的保留。

3）将多次重叠后的结果写出最简逻辑表达式。

3 结束语

综上所述，多变量逻辑函数卡诺图化简的方法很多，其本质都是利用卡诺图中逻辑变量取值具有相邻性的特点，使卡诺图的面积减小，消去互补变量，达到化简的目的。比较上述几种多变量逻辑函数的卡诺图化简方法，对折法和分幅法虽然简单，但画图量较大。降维法选择降维变量后，只需画降维卡诺图即可，卡诺图简单，且降维变量选择灵活。无论哪种方法，都有其规律，只要对各种方法理解透彻，在数字逻辑电路的分析与设计中，不管多变量逻辑函数以何种形式出现，都可以比较方便地对其进行化简，最终达到简化电路的目的。

参考文献：

[1] 安德宁.数字电路与逻辑设计[M].北京：人民邮电出版社，2004.

[2] 阎石.数字电子技术基础[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3] 万学斌.浅析卡诺图的降维[J].湖北职业技术学院学报，2003.endprint