Lee相变传质方程中传质系数取值的分析

邱国栋，蔡伟华，吴志勇，姜益强，姚 杨（.哈尔滨工业大学市政环境工程学院，50090哈尔滨；.哈尔滨工业大学能源科学与工程学院，5000哈尔滨）

Lee相变传质方程中传质系数取值的分析

邱国栋1，蔡伟华2，吴志勇1，姜益强1，姚 杨1
（1.哈尔滨工业大学市政环境工程学院，150090哈尔滨；2.哈尔滨工业大学能源科学与工程学院，150001哈尔滨）

针对Lee相变传质方程中传质系数主要依靠经验取值的问题，本文尝试提出一种确定传质系数的方法，给出了评价传质系数合理性的2个指标——潜热份额（潜热换热量占总换热量的份额）和饱和温差（流体温度与饱和温度的差值），建立了稳态分析模型，通过理论推导，得出了潜热份额和饱和温差的理论表达式，据此分析了传质系数对模拟结果的影响，已有特定条件下的理论解验证了本文分析结果的正确性.分析结果表明传质系数越大，计算精度越高.基于分析结果解释了不同文献对该系数取值差异很大的原因，并给出了传质系数的通用取值方法，最后推荐了常见工况模拟中传质系数的合理取值范围.

相变；传质；冷凝；沸腾；数值模拟

在采用计算流体动力学（CFD）方法模拟冷凝或沸腾过程时，相变模型的准确性对整个冷凝或沸腾的模拟结果至关重要，这关系到能否准确地模拟出温度场、干度变化、气液相分布及整个换热过程的合理性.在现有相变模型中，Lee［1］所提出的相变传质方程是在Hertz Knudsen方程［2-3］的基础上推导而来，具有形式简单、易于计算、可靠性高等优点，因此得到了广泛应用［4-10］.但是Lee相变传质方程中存在一个难以确定的系数，该系数通常是根据研究者的经验来取值，缺乏理论依据，最终导致该系数在不同文献中的取值差异非常大［5，6，9-12］.由于传质系数对模拟结果的准确性具有重要影响，因此本文针对传质系数的取值方法进行分析.

1 传质系数问题

关于单位体积冷凝或沸腾传质速率的计算，Lee［1］给出了结构简单、应用广泛的相变传质方程，即Lee方程，其形式为

式中：S为液相连续性方程中的质量源项，kg／（m3·s）；r为相变传质系数，1／s；αl、αg分别是液相和气相的体积分数；ρl、ρg分别是液相和气相的密度，kg／m3；T、Ts分别是流体温度和饱和温度，K.

Lee方程涉及界面浓度（即单位体积内的相界面面积）的计算，由于气液两相流存在复杂的流型，要计算出所有流型下的界面浓度十分困难，目前只能计算出某些特定流型下的界面浓度. ANSYS14.0 FLUENT理论手册［13］给出了细泡状流下的界面浓度计算公式其过程如下：

式中，Ai为界面面积，m2；Vcell为单元格体积，m3；d为气泡（或液滴）直径，m.

由此得到泡状流沸腾过程r的表达式为

式中：β为调节系数；M为摩尔质量，kg／mol；R为通用气体常数，8 314 J／（mol·K）；hfg为气化潜热，J／kg；Ts为流体饱和温度，K.

尽管式（3）、（4）是在泡状流沸腾和雾状流冷凝的情况下推导出的相变传质系数表达式，但表达式中的粒径d和调节系数β仍难以确定．而在其他流型下因界面浓度难以计算，使得其传质系数r更加难以用理论分析来确定．因此Lee相变传质方程在使用时，相变传质系数一般取为经验常数.目前不同文献对该相变传质系数的取值差异非常大［5，6，9-12］，为0.1～107s-1.且这些文献只给出了经验值，并未对其合理性进行深入分析.

2 传质系数对结果的影响

从理论上导出传质系数较为困难，本文不考虑哪些因素会影响传质系数，而是分析传质系数的不同取值会对相变换热的模拟结果产生什么影响，最终通过分析其影响规律来反推传质系数的合理取值.

该方法需要一个能够评价传质系数合理性的指标，从能量方程（5）出发来分析.

式中：ρ为流体的密度，kg／m3；h为流体比焓，J／kg；u为流体速度，m／s；λeff为考虑湍流的流体有效导热系数，W／（m2·K）.等号右边第一项为显热换热量，第二相为潜热换热量，由于S与r成正比，所以r的大小决定了潜热换热量占总换热量的比重.定义潜热换热量占总换热量的比重为潜热份额RL．常见的单质冷凝（或沸腾）换热一般认为是定压相变换热，在两相区流体的温度变化很小，换热以相变换热为主，潜热份额RL应接近1．故潜热份额RL可作为评价r取值是否合理的指标之一.

很显然潜热份额RL随r的增加而增加，r越大，RL越接近1，换热过程越接近纯相变换热．理论上当r→+∞时RL→1，即当r→+∞时换热过程才能保证是纯相变换热．这表明实际冷凝（或沸腾）模拟中，r尽可能地取较大的值，从而可保证模拟得到的温度场和干度变化接近理论值，此时模拟得到的相界面温度等于饱和温度（即界面边界条件［4，6］）．如果r取值过小，RL接近0，将会导致换热过程接近单相换热，对于换热量较大的模拟工况，它使得冷凝过程的气相温度远低于沸点温度，或沸腾过程的液相温度远高于沸点温度，这样的过程不仅不合理，而且因相变量太小导致流体干度与实际差异较大，模拟得到的流型和换热特性也与实际差异较大．这表明两相态流体温度与饱和温度的差值ΔT（饱和温差）也可作为评价r取值是否合理的指标之一．

上述分析表明，r取较大的值可以保证任何情况下的模拟结果与实际接近，具有通用性．但是，r太大会带来能量方程计算易发散的问题，r取多大会带来能量方程易发散的问题与模拟问题的复杂性、网格质量和算法中松弛因子取值有关，例如文献［6］模拟一根水平直管内冷凝过程，结构简单，网格质量好，不发散的r最大可取到750 000；文献［12］模拟一根蛇形管内沸腾过程，结构复杂，网格质量稍低，不发散的r仅为100，因此r并非越大越好．由于精度和收敛性的矛盾，要求r应该在保证精度的前提下尽量取较小的值．为此需要定量分析潜热份额RL与传质系数r的数学关系．为了便于理论分析，建立稳态分析模型，取一个圆柱形微元体，如图1所示，直径为D，长度为L，进口温度为Tin=Ts，干度为xin，出口温度为Tout，干度为xout，质量流率为G．

图1 微元段几何模型

由于本模型不关心每个面的换热情况，只关心换热总量，故不妨假设换热只在圆周面上进行，面热流密度为q，对于冷凝过程，显热换热量为

式中cp，m为气液平均比热；L很小，微元体内平均干度近似等于入口干度，因此气、液相平均比热可按下式计算：

潜热换热量为

总换热量为

联立式（9）和（10）可得潜热份额RL为

联立式（8）、（9）和（10）可得饱和温差ΔT为

将式（12）代入式（11）可得

由式（13）可看出，RL随r的增加而增加，当r大到一定值时，再增加r对RL的影响很小．由式（12）可看出，ΔT随r的增加而减小，当r大到一定值时，再增加r对ΔT的影响很小．这说明当r满足精度要求时，再增加r的意义不大．

3 传质系数取值方法

依据r取值合理性的两个评价指标，可得合理的r应同时满足如下要求：

1）模拟的换热过程以相变换热为主，即RL值接近1；

2）两相态的流体温度与饱和温度接近，即饱和温差ΔT接近0．

这两个指标具有相关性，当r足够大时能够同时满足，但是在某些情况下并不会同时满足，例如当长度L或热流密度q较小时，由式（12）可以看出，即使r较小也可能使ΔT接近0．不同的研究任务对上述两个指标的要求不同，应根据研究目的需要，对这两个指标设定合理的精度．从式（12）～（15）可以看出，影响RL和ΔT的参数有r、ρg、ρl、x、hfg、L、cp，m、G、q、D和Ts；对于某一个特定的工况，除了r外其他参数均为已知．按上述合理的r的取值要求，既保证RL值接近1（如0.95＜RL＜1），同时保证ΔT接近0（如ΔT＜0.1 K），依据式（12）～（15）可以得到一个合理的r值．

由上述分析可以看出，合理的r并非一个定值，而是一个范围，这可能是不同文献对r取值不同的原因．本文选取常见介质：水，绘制出不同干度x，不同长度L，不同直径D，不同热流密度q，不同对比压力Pr，不同流量G时潜热份额RL和饱和温差ΔT随r变化的曲线，如图2～图7所示．图中当某些参数变化时，其他未标出的参数均为默认值，默认值如下：干度x=0.5，长度L=1 m，直径D=0.014m，热流密度q=10 kW·m-2，对比压力Pr=0.2，流量G=600 kg／（m2·s）.

图2 不同流量G下RL和ΔT随r的变化曲线

图3 不同对比压力Pr下RL和ΔT随r的变化曲线

图4 不同干度x下RL和ΔT随r的变化曲线

图5 不同长度L下RL和ΔT随r的变化曲线

图6 不同管径D下RL和ΔT随r的变化曲线

图7 不同热流密度q下RL和ΔT随r的变化曲线

由图2～7可看出，不同工况下水的潜热份额RL和饱和温差ΔT随r的变化趋势基本一致，均表现为RL随r的增加而增加，ΔT随r的增加而减小．干度x，长度L，对比压力Pr，流量G，直径D，热流密度q对RL影响较小或无影响．当r取值较小时，这些参数对ΔT的影响较大，在常见的取值范围中，相对来说长度L对ΔT的影响更大一些；但是当r较大时，这些因素对ΔT的影响均变的较小．各因素敏感性分析表明当r大到一定值以后，潜热份额RL和饱和温差ΔT几乎不受其他参数影响，基本为一个常数．这意味着对于常见工况，存在一个较通用的r取值范围．由图2～7可看出，从精度角度看，常见工况的r推荐值在104以上较为合适，该推荐的范围之所以能通用主要是因为在该范围内，其他参数的影响均可忽略．由于计算收敛性受多种因素影响（如模型复杂性，网格质量，计算松弛因子取值等），且部分因素与研究者主观经验有关，故从精度角度得到的r取值其收敛性难以预判．实际应用时，可以先从精度分析推荐的范围中取一个r值试算，如果能量方程不收敛，则降低r取值，如果r取值明显小于104，则需用r两个评价指标来评价其合理性．

从泡状流沸腾的传质系数理论式（3）可以估算出常见工况r的量级大于106（估算数据如下：气泡（或液滴）直径d取10-4m，β取1，摩尔质量M取0.018 kg／mol，通用气体常数R取8 314 J／（mol·K），潜热hfg取5×105J／kg，Ts取300 K，得r=1.02×106），从本文的分析可以看出该量级使得潜热份额RL十分接近1，且饱和温差ΔT十分接近0，可认为是理想的等温相变过程，与理论公式（3）的前提假设是一致的．这也验证了本文分析的合理性.由此还可以看出，虽然理论分析得到的r使得相变过程与理想情况一致，但是由此得到的r并不一定便于在CFD中使用.这是因为由此得到的r太大，使得能量方程容易发散.这表明花太多精力去研究传质系数理论解意义不大.

4 结 论

针对在冷凝或沸腾过程模拟研究中广泛使用的相变传质Lee方程，建立了稳态分析模型，分析了该方程中的传质系数对模拟结果的影响，解决了现有文献针对该传质系数的取值多依靠经验而缺乏理论依据的问题，获得以下结论：

1）传质系数r会影响潜热份额RL以及饱和温差ΔT，进而影响温度场、干度变化和气液相分布等模拟结果．

2）传质系数r增加，潜热份额RL随之增加，饱和温差ΔT随之减小，当r大到一定值以后，再增加r对RL和ΔT的影响很小．

3）传质系数r取较大的值可以使相变换热接近理论值，从精度角度看，常见工况的r的合理取值范围推荐为104以上．

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（编辑 赵丽莹）

Analysis on the value of coefficient ofmass transfer w ith phase change in Lee′s equation

QIU Guodong1，CAIWeihua2，WU Zhiyong1，JIANG Yiqiang1，YAO Yang1
（1.School of Municipal＆Environmental Engineering，Harbin Institute of Technology，150090 Harbin，China；2.School of Energy Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China）

To solve the problem that the mass transfer coefficient in Lee＇s equation need to be obtained depending on the experience，amethod was proposed，and two indexes evaluating the rationality of the mass transfer coefficient-latentheat share（the share of latent heat flux in total heat flux）and saturation temperature difference（difference between fluid temperature and saturation temperature）were presented.A steady state model was established to analyze this problem and the expression of latent heat share and saturation temperature difference were obtained by the theoretical guidance.By the expression，the effect ofmass transfer coefficient on the simulation was analyzed.The analysis resultwas validated by the existing theoretical result in particular cases.The results show that the calculation accuracy increases with the increase of the coefficient. Based on these results，the reason for large difference of the coefficient value in different literatures was explained，themethod of how to get the coefficient value was presented，and the value range of easy-to-use was suggested.

phase change；mass transfer；condensation；boiling；numerical simulation

TB61+1

A

0367-6234（2014）12-0015-05

2014-04-08.

教育部博士点基金项目（博导类）（20102302110045）.

邱国栋（1985—），男，博士研究生；姜益强（1973—），男，教授，博士生导师；姚 杨（1963—），女，教授，博士生导师.

姜益强，jyq7245＠sina.com.