高中常用数学方法例谈

张翔

摘 要：本文对高中常用的数学方法和数学逻辑方法进行例谈，掌握这些方法，有利于提高解题能力。

关键词：高中常用 数学方法 解题能力

中图分类号：G623 文献标识码：A 文章编号：1673-3791（2014）02（c）-0109-01

1 数学方法

凡是有助于提高数学学习质量、学习效益的程序、规则、技巧及调控方式均属于数学方法。高中常用的数学方法有：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等，掌握这些方法，有利于提高解题能力。

1.1 配方法

例1：1求y=x+的最小值——

解析：y=x+=x-1++1=（+）2+因为≥0，所以当=0时，ymin=+=1。

评注：二次函数或形如F（x）=a[f2（x）+bf（x）+c]类的函数的值域问题，均可用配方法。

1.2 换元法

例2：已知a、bR，a2+b2≤4，求证|3a2-8ab-3b2|≤20。

证明：因为a、bR，a2+b2≤4，故可设a=rcosθ，b=rsinθ，其中0≤r≤2，所以|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2θ-4sin2θ|≤5r2≤20，所以原不等式成立。

评注：三角代换是最常见的变量代换，凡条件为，x2+y2=r2或x2+y2≤r2或±=1均可用三角换元。

1.3 待定系数法

例3：求焦点在坐标轴上，且经过点M（2，-）和点N（-1，）的椭圆的标准方程。

解析：设椭圆标准方程为+=1（A>0，B>0，A≠B） 因为椭圆经过（2，-）和（-1，）两点。所以+=1，+=1 解得A=8，B=4，故所求椭圆的标准方程是+=1。

评注：由题设条件，椭圆的焦点在哪个坐标轴上，不明确，而椭圆的标准方程有两种形式，为了计算方便，可设方程为+ =1（A>0，B>0，A≠B），这样不必考虑焦点位置，直接可求出方程。

1.4 数学归纳法

例4：试比较（n+1）2与3n（nN+）的大小

解析：当n=1时，左=（1+1）2=4，右=31=3，所以左>右；当n=2时，左=（2+1）2=9，右=32=9，所以左=右；当n=3时，左=（3+1）2=16，右=33=27，所以左<右；当n=4时，左=（4+1）2=25，右=34=81，所以左<右。由此猜想，当n≥3，nN时，（n+1）2<3n，下面用数学归纳法证明：

假设n=k（k≥3）时，命题成立，即（k+1）2<3K；那么n=k+1时，3k+1=3.3K>3 （k+1）2，下面只需证3（k+1）2>（k+2）2，即證3k2+6k+3>k2+4k+4，即证2k2+2k>1；又k≥3，不等式2k2+2k>1显然成立。因为n=k+1时，猜想成立，由归纳假设知当n≥3时（n+1）2<3n。

评注：“归纳，猜想、证明”是一种符合由特殊到一般，由具体到抽象规律的科学研究方法，其过程是：根据题目条件给出的或通过计算得出的有限个事例进行观察、试验、归纳、猜想出符合规律的结论，然后用数学归纳法证明。

1.5 参数法

例5：一条直线被两直线L1：4x+y+6=0，L2：3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线的方程。

解析：设所求直线与L1、L2的交点分别是A、B设A（x0，y0）。

因为AB的中点是坐标原点，所以B（-x0，-y0），又因为A、B分别在直线L1、L2上；所以4x0+y0+6=0 ①-3x0+5y0-6=0 ② ①+②得x0+6y0=0；即点A在直线x+6y=0上，又直线x+6y=0过原点，故所求直线的方程为x+6y=0

评注：“设而不求”是化简运算的一种十分重要的方法，它在高中数学中的应用十分广泛。

1.6 消去法

例6：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP1，求线段PP1中点M的轨迹。

解析：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x=x0，y=，因为P（x0，y0）在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4，将x0=x，y0=2y代入上述方程得x2+4y2=4，即+y2=1，故点M的轨迹是一个椭圆。

评注：本题在求点M（x，y）的轨迹方程时，不是直接建立关于x、y之间关系的方程，而是先寻找x、y与中间变量x0、y0之间的关系，利用已知关于x0、y0之间关系的方程，得到关于x、y之间关系的方程，这种利用中间变量求点的轨迹如果很难直接入手，用综合法比较困难，如在证明不等式时，我们可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法通常叫做分析法。

1.7 综合法

是从已经证明过的不等式为基础，再利用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。

1.8 反证法

即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

2 结语

高考题十分重视对数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的思想方法。这是因为教学思想方法比数学基础知识有较高的地位和层次，在日常学习中，同学们不能仅仅只看课本上的汉字加几个字母，不能仅仅停留在看和听的初级阶段，更重要的是要挖掘课本中涉及到的数学思想方法，体会教材编写意图，努力揭示“知识背后的知识”，提炼出知识本身内含的思想方法，并用这些思想方法去分析问题、解决问题，形成解题能力，提高教学素质。

参考文献

[1] 牛冬梅.数学教学中几种常见的思想方法[J].考试周刊，2010（48）：67-68.

[2] 辛长红.高中常用数学思想方法的教学探究[D].延边大学，2010.