煤储层粗糙割理中煤层气运移机理数值分析

金 毅,祝一搏,吴 影,郑军领,董佳斌,李 翔

(1.河南理工大学资源环境学院,河南焦作 454003;2.中原经济区煤层(页岩)气河南省协同创新中心,河南焦作 454003)

煤储层粗糙割理中煤层气运移机理数值分析

金 毅1,2,祝一搏1,吴 影1,郑军领1,董佳斌1,李 翔1

(1.河南理工大学资源环境学院,河南焦作 454003;2.中原经济区煤层(页岩)气河南省协同创新中心,河南焦作 454003)

有效描述粗糙割理中煤层气运移机理是实现其产能准确评估的基本前提。结合裂隙的立方定律以及广义Kozeny-Carman孔-渗方程,于理论层面推导了考虑内、外摩擦所致的裂-渗关系模型。其中内摩擦效应以煤层气运移的水文弯曲度来描述,外摩擦则通过引入端面曲折率来定义。借助分形理论实现了割理端面粗糙几何的定量描述,并采用格子Boltzmann方法模拟了煤层气运移过程,分析了端面分形维、绝对粗糙度以及相对粗糙度对煤层气输运特征的影响。在此基础上,对比分析了新裂-渗方程解析值同数值模拟渗透率之间的关系。结果表明,考虑了内、外摩擦效应的新方程能有效描述微观粗糙割理中煤层气的运移规律,并且物理意义明确。

煤储层;粗糙割理;煤层气;裂隙立方定律;Kozeny-Carman方程;格子Boltzmann方法

煤是一种具有双重孔隙结构的多孔介质,其中基质孔隙是煤层气的主要储集场所,而裂隙及割理网络主宰着煤储层输运属性。煤层气产能评估的一个重要物理参数就是煤储层介质的渗透率,因此定量描述割理中煤层气运移规律就成为了预测其产能的基础。研究表明[1-4]:光滑平行端面所组成的裂隙空间中,等温、层流条件下流体绝对渗透率是裂隙开度b的函数:

其中,kabs为绝对渗透率;H为裂隙横截面最小外包的高度;φ为孔隙度;β为形状因子。光滑裂隙中β=3, b=H且φ=1,式(1)所示的立方定律可简化为kabs= b2/12的形式。

然而,自然裂隙端面几何形貌异常粗糙,其起伏高度满足分形统计特征,研究表明这种粗糙端面对裂隙输运属性有十分重要的影响,特别是在微观裂隙[4-10]中。而煤中割理形成于不同尺度、强度的地质作用及内部过程,其端面几何同样表现出分形粗糙特征,因此采用经典的立方定律(式(1))评估煤储层渗透率必然导致理论预测同实际测试结果之间的巨大偏差。实际应用中,为了降低实测值同理论预测结果之间的差异,一种所谓的粗糙度因子(fr)被引入到立方定律中[2]。

式中,kr为修正后的渗透率;〈b〉为粗糙裂隙的等效开度;fr为一无量纲参数,且满足fr≥1的关系,如果裂隙端面光滑平行,则有fr=1,此时式(2)等价于式(1)。

细观式(2)可知,引入fr的根本目的是为了削弱粗糙裂隙中的等效开度〈b〉。如果〈b〉≫σ时(其中σ为端面绝对粗糙度,常以端面高度均方根rmh表示),因宏观流总体上的直线运动特征,故削弱效应是可以接受的;但当〈b〉≈σ或〈b〉≪σ时,因裂隙空间的几何限制,流体运移过程除了受阻于外部摩擦(边界摩擦)外,曲折流效应会大大提升层流线间的接触长度,故流体间的内摩擦作用被增强。

因此,探明微观割理中粗糙端面对流体运移的多重阻碍作用,包括开度的削弱、流-固间的外摩擦增量以及弯曲流所致的内摩擦增量,并定量描述微观几何同其输运属性之间的关系就成为了煤层气产能评估的基础。

由于微裂隙流的重要性,在过去的数十年中,不同的学科对这种裂-渗关系展开了大量研究,包括实验测试、理论分析以及数值模拟等[3,11-19]。实验研究受测试技术、研究尺度和实验环境的影响明显;而现有的理论方程均于裂隙的简单假设条件下推导而得(式(1)),对于复杂的裂隙而言往往失去效用。

正因如此,如今更多的研究转向数值模拟方向。因为在数值分析中,任何相关的影响因素都可被轻易选取或忽略,以便对耦合环境下各主要因素进行独立的分析并定量描述。同时数值模拟能有效克服实验测试中的种种限制,如今已成为发掘微观裂隙中流体运移机理的重要手段[20-21]。其中,新近发展起来的格子Boltzmann方法(LBM)引起了学术界的高度重视。相对于其他方法而言,LBM优势明显,主要表现为复杂边界的处理能力以及“自下而上”由质到本的演化策略[22-28]。越来越多的证据表明[12,29-31],LBM是当今发掘复杂流控制机理的有效手段。同时,国内学者利用该方法,从不同的侧面模拟,分析了煤储层中煤层气的运移规律[32-37],但均基于宏观或介观尺度上,微观尺度下的研究较少[38-39],而考虑煤层气曲折流效应的微裂隙流方面的研究鲜见报道。

为了全面理解煤储层微割理中端面几何分形粗糙特征对煤层气运移行为的影响,笔者首先从理论层面推导了粗糙裂隙空间中裂-渗关系,随后采用Syn-Frac软件[40]构建了不同粗糙特征的割理复合拓扑模型,并在孔隙尺度下采用LBM模拟了煤层气的运移过程。基于以上实验结果,系统分析了微观物性参数对流体运移的控制作用并验证了新裂-渗方程的有效性。

1 理论和方法

1.1 割理端面几何特征及其分形描述

传统欧氏几何主要用于描述规则结构,其维数为整数。而分形几何则以广义的非整数维(分形维)概念实现了对复杂多变的非规则结构的有效描述[42]。已有研究表明,自然裂隙端面几何多表现出多尺度、自相似的粗糙特性[21,41-45]。而割理端面的微观复杂几何可由3个参数于统计层面等效描述[40,46],包括端面分形维数Df、端面绝对粗糙度σ以及随机相集合{ψ},即

其中,x为平面坐标;F为裂隙端面构造函数;Z(x)为x处的端面高度。其中分形维数控制端面的高、低频成分分布,即Df越大,高频成分越多,沿割理展布方向Z(x)的变化越快(图1),微观结构更复杂;σ是一个独立于频率成分的尺度因子或粗糙度因子,σ越大,则垂直于割理展布方向上的起伏越大,端面越粗糙(图2)。而引入随机相集合{φ}的目的是确保裂隙端面的复杂无序特征。

图1 分形维对割理端面粗糙影响(σ=1.0 mm)Fig.1 Effects of fractal dimension on the roughness of cleat surface with same scale factor(σ=1.0 mm)

图2 分形维确定情况下,裂隙端面高度均方根对其粗糙度的影响Fig.2 Effect of rmh on the roughness of surface profiles with same fractal dimensions

1.2 粗糙割理中煤层气运移的LBM模拟

1.2.1 LBM算法及边界处理

LBM是一种介观尺度上的流体运移模拟方法,在其格子系统中,空间D被离散成等边长规则格子(通常为简单立方体),时间t离散为间隔h的序列,速度空间分解为向量集{ci},且确保cih能连接相邻格点[47]。如常用的D3Q19格子模型采用19个速度向量来离散格子的速度空间[48],除了部分静止粒子外,其他速度向量必须确保其中6个粒子能到达最近邻域,12粒子到达次近邻域。记具有速度ci的粒子质量密度分布为fi(x,t),LBM算法通过操作fi(x,t)确保局部流体密度ρ(x,t)满足

类似地,动量密度M(x,t)可表示为

因此可得格子的平均流速为

综上所述,描述以上算法的格子Boltzmann方程(LBE)可表达为

LBE中,通过碰撞算子Ωi修改不同位置粒子密度分布({fi}代表不同位置粒子分布的集合)以确保质量和动量的守恒(式(8)),碰撞后的粒子质量分布随后流向邻近的位置。

虽然LBE满足了流体流动模拟过程中的一些基本要求,即质量、能量守恒以及局部性。但因离散速度的限制,式(8)无法保证伽利略不变性以及各向同性动量的传输。而基于单一松弛时间的简化碰撞函数[25,48]——Bhatnagar-Gross-Krook模型(LBGK)有效地克服了以上的问题,其碰撞算子为式中,tlbm和(x,t)分别为无量纲松弛时间和平衡分布函数。

选用D3Q19型的三维LBGK模型,其速度向量如图3所示。其中,D3Q19型的三维LBGK模型的平衡态分布函数为

其中,cs为声速;ωi为权重系数。出于对称性原因,权重系数应满足条件ωi＞0和∑iωi=1,以上限定确保了ωi仅是依赖于速度ci的绝对值,而与方向无关。同时,权重的设定必须使平衡分布函数满足如下属性:

图3 D3Q19格子模型的离散速度Fig.3 Velocity directions of D3Q19 lattice model

基于以上约束条件,可得D3Q19格子模型的权重系数分别为1/3(i=0),1/18(i=1～6)和1/36(i= 7～18)。

同时,因割理端面无序及异常复杂的微观几何所致的流-固边界上几乎不存在连续流动[23]。在LBM模拟中,这种情况常采用反弹模型作为物理边界条件,为了使问题简化同时又不失一般性,使用完全反弹的策略来近似割理表面煤层气的边界响应[29]。

1.2.2 物理模型同格子系统间的转换

在模拟过程中,割理复合拓扑空间离散为格子系统,以0表示孔隙相,1表示固相。为了降低计算误差,割理水平展布方向的离散分辨率设为1 024个格子单位,而实际物理尺寸确定为1 μm。二值转换如图4所示。

图4 二维裂隙空间的二值化表达Fig.4 Binary representation of two-dimensional fracture space

本文数值研究中,煤层气被假想为单组分的理想气体,LBGK模型为流体运移演化控制体系。为保证数值模拟的稳定性,无量纲松弛时间τlbm取值1,该条件下完全反弹边界模型所产生的误差极小[49]。

同时,为确保割理中煤层气的层流特征及达西定律的有效性,压力梯度设置为ΔP≤10-5Pa/m,模拟渗透率可由式(13)获得。

翻转课堂是“课前”和“课堂”两个学习环节紧密配合的教学组织形式，体现了“学生主体，教师主导”的教育理念，课堂上主要以相应的学习活动为学习发生的主要场所。杨开城教授在《以学习活动为中心的教学设计理论：教学设计理论新探索》一书中提到，“以学习活动为中心的教学设计理论将学习活动作为组成教学系统的基本单元”。何克抗教授“双主理念”的教学设计模式主要针对的是课堂上45分钟的教学组织形式。鉴于此，我们需要结合“以学习活动为中心”的教学设计理论，在“双主理念”教学设计模式的基础上进行更加具体地调整、修改和发展而形成真正适合翻转课堂的教学设计模式(如图1)。

其中,klbm为格子系统下无量纲渗透率;ΔP=-dP/dL为压力梯度,L为宏观流方向长度;υ为流体黏度,因tlbm=1,故有υ=0.166 7;U为格子平均速度。为确保格子系统模拟的无量纲渗透率klbm同割理实际物理渗透率kns之间的等效性,需采用式(14)[49]进行转换。

其中,Lphysical为割理的实际物理尺寸,有量纲参数; Llbm为离散后对应的格子数量。本文割理水平尺寸为1 μm,离散后格子数量为1 024个,因此一个格子边长对应的实际尺寸为1/1 024 μm,这不但基本满足了对粗糙裂隙几何形貌的有效描述,同时也保证了数值模拟的精度。

2 理论及数值分析

2.1 耦合曲折效应的裂-渗关系

如前所述,在微观裂隙中端面粗糙几何除了会削弱等效开度的大小外,还会引入内摩擦增量,此时内摩擦因子大于1,记其为无量纲参数fτ,因此可得此时渗透率为

与此同时,广义的多孔介质孔-渗关系,即Kozeny-Carman(K-C)方程,也包括对裂-渗关系的描述。其基本形式为其中,kkc为多孔介质渗透率;C0为待定系数;τ为水文弯曲度;S为比表面积,在裂隙系统中的定义为S=(As1+As2)/(HA0),其中A0为裂隙端面水平投影面积,As1和As2为复合端面的面积。因端面相同的岩石力学性质及相似的经历,故满足〈As1〉=〈As2〉,记为As,其中〈…〉表示期望或均值。

结合裂隙空间的物性特征,式(16)可改写为如下的形式:

如前所述,外摩擦来源于裂隙端面的粗糙以及由此引入的端面曲折率τs;而曲折流效应导致了流体之间相对接触面的增大。结合式(18),可将外摩擦因子fr和内摩擦因子fτ分别表示为

进而得粗糙裂隙中裂-渗方程为

如果裂隙由光滑且水平的端面组成,则有τ=1, τs=1,φ=1,此时式(21)退化为的形式;对于端面几何粗糙特征相同的裂隙空间,随着开度〈b〉的不断增加,φ→1,τ→1,此时fτ→1,fr→τs,此时表现出粗糙端面对等效开度的削弱作用。

2.2 数值模拟结果与分析

利用 Glover[40]分形粗糙裂隙端面描述方法(式(3))模拟了不同物性特征的煤岩割理复合拓扑模型;随后,在孔隙尺度下利用LBM模拟了煤层气的运移过程。

图5展示了分形维数Df、绝对粗糙度σ对裂隙端面几何的影响。对比分析可知随着Df的增加,裂隙延展方向上高度起伏频率明显加剧,如图5(a),(b)所示,虽然其具有相同的σ值,但因端面分形维不同,图5(b)的粗糙性明显增大,对于微观裂隙而言,必然导致端面曲折率τs的提升,流阻增大;而σ主要控制裂隙端面高度起伏的强度,即σ越大,端面起伏高度越大,此时如果限定裂隙最小外包H,随着σ的增加,必然导致裂隙的平均开度〈b〉及孔隙度φ的减小,而τs和τ均会增加。

图5 三维割理端面的分形模拟Fig.5 Fractal representations of 3D cleat surfaces

图6为LBM模拟的粗糙割理中煤层气运移特征其中的流线为流体运移的轨迹,灰体为固相基质。流体轨迹直观说明了粗糙割理中煤层气的曲折流效应。

为了能更好地理解分形维数Df,σ以及σ/〈b〉对煤层气运移弯曲度的影响,基于LBM模拟的流场数据以及裂隙的微观物性参数重点分析了σ不变,不同相对粗糙度σ/〈b〉条件下水文弯曲度τ同分形维数Df的关系,以及保持分形维数Df不变条件下,相对粗糙度对流体水文弯曲度增量的影响,其中水文弯曲度采用文献[50]局部弯曲度平均法计算而得。

图7为相对粗糙度σ/〈b〉分别为0.400,0.533以及0.800时,水文弯曲度随割理端面分形维的变化趋势。在相对粗糙度不变的情况下,水文弯曲度随端面分形维的增大而线性增加,并均表现出分段的特征:当Df≤2.5时,Df对水文弯曲度τ的影响较弱,但当Df＞2.5时,这种影响明显加剧。与此同时,相对粗糙度σ/〈b〉越小,水文弯曲度τ越低,该趋势表明:在σ固定的情况下,随着割理开度〈b〉的增加,煤层气运移逐渐趋于直线流动,或者是开度〈b〉不变时,裂隙的流阻会随着割理端面粗糙度σ的降低而减小。

图6 粗糙割理中煤层气运移的曲折流效应Fig.6 Tortuous effect of CBM flow through cleat with rough surfaces

图7 水文弯曲度随分形维数变化的分段特征Fig.7 Dual linear relationships between hydraulic tortuosity and surface fractal dimension for fractures

为探明相对粗糙度对水文弯曲度增量的影响,割理端面分形特征被剔除,即Df不变时相对粗糙度σ/〈b〉同弯曲度增量τ-1的关系,如图8所示。结果表明:当σ/〈b〉→0时,τ-1→0,即开度〈b〉足够大时,割理粗糙端面对流体曲折流效应可以忽略不计;随着σ/〈b〉的增加,端面粗糙特征对流体运移轨迹的控制作用逐渐增强。

而图8中的分段特征主要是由于开度〈b〉接近或小于绝对粗糙度σ时(σ/〈b〉=1.5附近),裂隙微观几何对流体的限制作用增强、流体的动力学特征被削弱。此时水文弯曲度会逐渐接近但永远低于几何弯曲度,对于确定的割理系统而言,几何弯曲度固定,这也是当σ/〈b〉＞1.5时,水文弯曲度随σ/〈b〉的线性变化趋缓的根本原因。

图8 水文弯曲度增量同相对粗糙度之间的关系Fig.8 Relationship between relative surface roughness and the increment of hydraulic tortuosity

依据现有的渗透率预测模型,影响割理渗透率的另一个因素是流-固间的外摩擦效应,如式(21)所示。结合粗糙割理端面的分形假设,分析了绝对粗糙度σ、端面分形维数Df对端面曲折率τs的影响,如图9所示。其中σ对τs是一种线性影响,而分形维数Df的影响虽然也表现出线性特征,但是影响程度在Df≈2.5时出现突变。

为验证式(21)的有效性,对比分析了LBM模拟渗透率kns同式(2)和(21)解析渗透率之间的关系。它们之间的主要差别就是式(21)中有效地包含了内、外摩擦增量,分别以水文弯曲度τ以及割理端面曲折率τs来定量描述。

采用式(21)解析估算时,形状因子β取值3,同时由于待定系数C0主要受控于割理端面的分形特征,因此针对不同的Df分别分析了式(2)和(21)的解析渗透率同模拟渗透率kns之间的关系,结果如图10所示。

图10分别为割理端面分形维数Df=2.3,2.5和2.7的情况。当Df较小时,式(2)同LBM模拟渗透率kns之间的相关性较好,但其理论预测值均大于模拟值;随着分形维数的增加,其预测结果同模拟渗透率之间不再线性相关,表现出随相对粗糙度的增加而相关性变差的特点,这种趋势表明,当端面绝对粗糙度〈σ〉固定时,随着开度〈b〉的减小,式(2)的预测值比实际模拟渗透率大且呈增加的趋势(图10(c))。而图中式(21)理论预测值同实际模拟的kns之间不但存在很好的线性关系,并且这种关系不因端面分形维数Df而改变。虽然在图10中,式(21)中的C0不同,如Df=2.3,2.5,2.7时分别为0.67,0.38和0.20,其主要原因是分形维对形状因子的影响。

图9 割理端面绝对粗糙度和割理端面分形维数同端面曲折率的关系Fig.9 Relationships between absolute roughness,surface fractal dimension and surface tortuosity of cleat surfaces

图10 LBM模拟渗透率同理论预测模型式(2),式(21)解析值之间的关系Fig.10 Relationship between the permeability by LBM and those estimated by Eq.(2)and Eq.(21)

3 结论与讨论

(1)构建了粗糙割理中考虑内、外摩擦增量的煤层气裂-渗方程。

(2)确定了内摩擦效应同水文弯曲度、外摩擦效应同割理端面曲折率之间的定量关系。

(3)对比不同端面几何对割理输运属性的影响表明:水文弯曲度同割理端面几何分形维及相对粗糙度之间均存在分段线性关系;端面曲折率同其绝对粗糙度之间满足线性关系,但同分形维之间同样表现出分段线性相关特征。

本次研究只考虑了单割理中煤层气运移规律,实际应用中需要考虑煤储层中割理的空间分布密度、端面几何粗糙属性以及割理开度等因素。在此基础上,结合式(21)所表征的裂-渗关系定能为煤层气产能评估提供更加准确的评估及预测。同时在后续研究中,要有效构建割理开度同割理端面几何之间的尺度不变关系,如水文弯曲度、割理端面曲折率同开度之间的幂律关系,为煤层气产能评估及煤储层输运属性的科学评价提供理论支持及明确参数解释。

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Numerical investigation of migration mechanism for coal-bed methane flow through cleats with rough surfaces in coal reservoir

JIN Yi1,2,ZHU Yi-bo1,WU Ying1,ZHENG Jun-ling1,DONG Jia-bin1,LI Xiang1

(1.School of Resource and Environment,Henan Polytechnic University,Jiaozuo 454003,China;2.Collaborative Innovation Center of Coalbed Methane and Shale Gas for Central Plains Economic Region,Henan Province,Jiaozuo 454003,China)

To estimate the productivity of coal-bed methane(CBM),the premise is the effective description of CBM migration mechanism.The authors have developed a new fracture-permeability relative model by coupling the general Kozeny-Carman equation and the classical cubic law of fracture flow,which takes into account the effects of external and internal friction.In the model developed,the hydraulic tortuosity is responsible for the internal friction,and the surface tortuosity for external friction effect,which is defined as the area ratio between cleat rough surface and the projected one on the macro-flow plane.Consequently,the authors modelled the cleats composed of rough surfaces characterized by the theory of fractal geometry,and simulated the CBM flow through them by lattice Boltzmann method.In addition,the authors investigated the effects,such as surface fractal dimension,absolute surface roughness,as well as the relative surface roughness,on the CBM flow.Based on the results obtained,the validity of the newly derived fracturepermeability relationship is verified by comparative analyses.The results reveal that the newly developed model accounting for the effects of external and internal friction,can effectively describe the migration law of CBM through rough cleats.

coal reservoir;rough cleat;coal-bed methane;cubic law of fracture flow;Kozeny-Carman equation;lattice Boltzmann method

P618.11

A

0253-9993(2014)09-1826-09

2014-05-21 责任编辑:常 琛

国家自然科学基金资助项目(41102093,41472128);山西省煤层气联合基金资助项目(2012012002)

金 毅(1979—),男,湖北鄂州人,副教授,博士。Tel:0391-8316286,E-mail:jinyi2005@hpu.edu.cn

金 毅,祝一搏,吴 影,等.煤储层粗糙割理中煤层气运移机理数值分析[J].煤炭学报,2014,39(9):1826-1834.

10.13225/ j.cnki.jccs.2014.8003

Jin Yi,Zhu Yibo,Wu Ying,et al.Numerical investigation of migration mechanism for coal-bed methane flow through cleats with rough surfaces in coal reservoir[J].Journal of China Coal Society,2014,39(9):1826-1834.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2014.8003