数学习题教学的四个着力点

桂再安

关于习题，华罗庚先生在其所著《高等数学引论》的序言中有如下精辟的论述：“习题的目的首先是熟悉和巩固学习了的东西；其二是启发大家灵活运用，独立思考； 其三是融会贯通.”数学的真正组成部分是问题和解，有些习题还往往是有关理论知识的必不可少的补充，也可能是作者刻意进行的一种特殊安排，不做或不做好习题会对理解掌握有关理论知识形成某种缺陷，所以习题在数学教学中有着举足轻重的作用. 那么如何进一步提高数学习题教学的针对性和有效性呢？笔者通过教学实践发现，关注习题教学的四个“着力点”是行之有效的办法.

一、着力于演练点

习题课离不开演练，演练的最直接表现形式就是让学生做题. 然而题海无涯，选择恰当的题作为演练点是习题课的第一个着力点. 尤其在新授课的有限教学时间里，精心设计好例题、学生的练习层次及练习程序，对于帮助学生深刻理解和领会新知识，激发学生的学习兴趣，提高课堂教学效果，都有很大的促进作用. 课本中的例题、习题都是经编者再三思考、精心挑选的，在一定的知识范围内，为了紧密配合知识点的学习，例题的解法都很合乎情理，恰到好处.

例如，人教版高中数学教材选修2-3第13页例7：有6个人排成一排，（1）甲和乙两人相邻的排法有多少种？（2）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？

该题的设置旨在帮助学生正确建构“排列”及“排列数”的概念. 如果教师就题论题地给学生解答，学生并没有收获多少. 如果在解完该题后，能及时引导学生反思，并给出一系列的变式，通过变式的演练，必然能使学生的创新思维能力上升一个新的台阶.

该题可得到如下一些变式：有3名男生、4名女生排成一排，按下列要求有多少种不同的排法？（1）7人站成一排；（2）站成两排，前排3人，后排4人；（3）甲只能在中间或两头；（4）甲、乙两人必须在两头；（5）甲不在排头，乙不在排尾；（6）男生、女生各站一边；（7）男生必须站在一起；（8）男生、女生各不相邻；（9）甲、乙、丙三人中甲必须在前，丙必须在后，但三人不一定相邻；（10）甲、乙中间必须有三人；（11）甲在乙的前面.

这样，通过深入挖掘例题的教学功能，使学生通过一题多变的演练，能更好地培养学生思维的灵活性、变通性. 通过一连串的追问，学生对排列及排列数的概念有了深刻的理解. 长期以往，必能产生润砾成珠的效果.

二、着力于启发点

数学习题课教学离不开对学生思维的启发. 启发思维是数学习题教学的首要. 苏霍姆林斯基曾告诫我们：“让学生体验到一种自己亲自参加与掌握知识的情感，乃是唤起少年特有的对知识的兴趣的重要条件. ” 启发学生思维就是要唤起学生的求知欲望，激发学生的学习热情，使其快乐学习.

在教学中，我们可借助直观模型教具、动态图形演示、简洁整齐的公式、数学问题的探索等来引导学生去欣赏数学中的简洁、对称、奇异、统一、和谐之美，使他们对数学中美的意蕴、美的表现和美的启迪有清晰的理解和主动的探求，从而对数学产生浓厚的兴趣.

如笔者在一次竞赛辅导课上给出下面的题：解方程■+■=x.

师：根式方程会产生增根，为避免增根的发生，我们首先应干什么？

生1：确定x的范围. 由x-■≥0，1-■≥0， 得x≥1.

师：很好，怎样求解？

生2：方程可变形为：■·■+■·■=1.

师：非常好，观察它的结构特征，我们能联想到什么？

生3：利用柯西不等式.

1=（■·■+■·■）2≤（■）2·（■）2（■）2+（■）2.

当且仅当■·■=■·■时取“=”号，此时有x=■. 经检验，x=■是原方程的解.

生4：利用向量的数量积. 设a=（■，■），b=（■，■），并设向量a与b的夹角为θ（0≤θ≤■），所以a·b=1. 又a·b=ab·cosθ，故cosθ=1. 从而θ=0，所以a=b. 从而得到原方程的根为x=■.

生5：利用基本不等式. 1=■·■+■·■≤■+■=1，当且仅当■=■，■=■时，取“=”号. 所以x=■.

生6：利用圆的切线. 因A（■·■），B（■，■）都在单位圆m2+n2=1上，过A点的切线方程为■·m+■·n=1，与方程比较可知B点也在过A点的切线上，故A，B点重合. 从而■=■，■=■，所以x=■.

生7：利用两角差的余弦公式. 设■=cosα，■=sinα，■=cosβ，■=sinβ，α，β∈0，■. 故方程等价于cos（α-β）=1，又α-β∈-■，■，所以α-β=0. 从而cosα=cosβ，由■=■，x≥1，得x=■.

亚里士多德认为：“思维自疑问和惊奇开始. ”没有怀疑的思考，固于思维和照搬既成答案，思维的发展是难以想象的. 该题的解法主要是从习题的结构特征出发，启发学生多角度、全方位潜心探索，从而获取问题的多种解法，进一步培养了学生的思维能力，增强了学生的解惑意识.

三、着力于拓展点

高考中 “ 源于课本，又略高于课本” 的类题和变题占有一定比重，面对这类问题学生往往手足无措. 究其原因主要是因在日常的数学例题、习题教学中，教师静止地、孤立地去讲课本上的例题，甚至运用“ 题海战术” 引进大量的课外题让学生盲目、机械地解题. 对此，教师若能经常对课本上的某些例题、习题作深人研究后做适当的改编，并通过这些改编题训练学生的解题能力，这对培养学生的思维能力、探索能力和分析解决问题的能力会有很大帮助. 因此，对课本中的例题、习题进行适当的改编，并将其贯穿于日常解题教学中，这应是中学数学教师的一项重要工作. 对例题、习题的改编有许多途径，如图形位置的变换，条件和结论的变换或部分变换，增加新条件或改变解题要求，还可以进行组合或分解等. 例如在不等式习题课上，教师可用概念图的方式将课本中的例习题串联起来（见图1），让学生从中看到核心知识点的辐射衍生过程，以达融会贯通、拓展运用知识之目的.endprint

四、着力于升华点

解数学题的目的是为了通过解题掌握数学思想方法，而不是单纯地为了解题而解题.因此，一道数学习题解完后，必须对该题进行反思、总结、提炼，以达由一及类、融会贯通之目的.否则，无异于“入宝山而空返”.

人教社2004年6月第1版高中数学教材第二册（上）第17页习题6.3第7题：

已知a，b都是正数，x，y∈R且a+b=1，求证：ax2+by2≥（ax+by）2.

本题是一道带有严格条件的不等式证明题，要证明它并不困难，但它的证法很多，在此不一一赘述，下面只给出一种证明方法.

证明：∵a，b∈R+，a+b=1.

∴ax2+by2=（a+b）·（ax2+by2）=（■）2+（■）2■·（■x）2+（■y）2≥（■·■x+■·■y）=（ax+by）2. 当且仅当■=■，即x=y时取等号.

上述证法实质上用到了柯西不等式，就是在证题过程中通过已知条件与结论的有机结合构造出柯西不等式的模型. 该题的证题思想方法可以进行进一步的推广.

推广1： 已知ai（i=1，2，…，n）是正数，xi∈R（i=1，2，…，n），且■ai=1.求证：■aixi2≥（■aixi）2.

证明：∵a∈R+ （i=1，2，…，n），且■ai=1，

∴■aixi2=（■ai）·（■aixi2）=■（■）2·■（■xi）2≥■（■·■xi）■=（■aixi）2.

当且仅当■=■=…=■，即x1=x2=…=xn时取等号.

推广2： 已知ai（i=1，2，…，n）是正数，xi∈R（i=1，2，…，n），且■ai=1. 求证：■■≥（■xi）2.

证明：∵a∈R+ （i=1，2，…，n），且■ai=1.

∴■■=（■ai）·（■■）=■（■）2·■（■）2≥■（■·■）■=（■xi）2.

当且仅当■=■=…=■，即■=■=…=■时取等号.

通过对这一教材习题的深入挖掘，我们不仅得到了两个更一般的推广，也使学生的思维得以升华.以它们为工具，我们可快速地解决以下问题：

（1）求证：3（1+a2+a4）≥（1+a+a2）2.

（2）已知x，y，z∈R，求证：x2+y2+z2≥xy+yz+zx.

（3）设x，y，z∈R+，且x+y+z=1. 求证：■+■+■≥36.

（4）已知x，y，z∈R+，且■+■+■=2.求证：■+■+■≤■.

（5）若0

对习题进行引申、推广，在教材中这样的习题是很多的. 我们可从圆锥曲线性质的相关性，等差、等比数列性质的相似性，平面几何与立体几何性质的迁移性以及代数问题的几何背景、几何问题的代数背景，或从习题条件、结论的特殊性、一般性等角度对习题进行改造、升华，从而避免在习题教学中出现 “买椟还珠”之现象，达到培养学生创新思维之目的.

美籍匈牙利数学家G. Polya 指出： 掌握数学就意味着善于解题.数学离不开解题，习题教学只有充分关注学生，努力挖掘学生潜能，才能真正把握习题教学的着力点.相信通过这样的习题教学，使学生深深地爱上数学.■

四、着力于升华点

解数学题的目的是为了通过解题掌握数学思想方法，而不是单纯地为了解题而解题.因此，一道数学习题解完后，必须对该题进行反思、总结、提炼，以达由一及类、融会贯通之目的.否则，无异于“入宝山而空返”.

人教社2004年6月第1版高中数学教材第二册（上）第17页习题6.3第7题：

已知a，b都是正数，x，y∈R且a+b=1，求证：ax2+by2≥（ax+by）2.

本题是一道带有严格条件的不等式证明题，要证明它并不困难，但它的证法很多，在此不一一赘述，下面只给出一种证明方法.

证明：∵a，b∈R+，a+b=1.

∴ax2+by2=（a+b）·（ax2+by2）=（■）2+（■）2■·（■x）2+（■y）2≥（■·■x+■·■y）=（ax+by）2. 当且仅当■=■，即x=y时取等号.

上述证法实质上用到了柯西不等式，就是在证题过程中通过已知条件与结论的有机结合构造出柯西不等式的模型. 该题的证题思想方法可以进行进一步的推广.

推广1： 已知ai（i=1，2，…，n）是正数，xi∈R（i=1，2，…，n），且■ai=1.求证：■aixi2≥（■aixi）2.

证明：∵a∈R+ （i=1，2，…，n），且■ai=1，

∴■aixi2=（■ai）·（■aixi2）=■（■）2·■（■xi）2≥■（■·■xi）■=（■aixi）2.

当且仅当■=■=…=■，即x1=x2=…=xn时取等号.

推广2： 已知ai（i=1，2，…，n）是正数，xi∈R（i=1，2，…，n），且■ai=1. 求证：■■≥（■xi）2.

证明：∵a∈R+ （i=1，2，…，n），且■ai=1.

∴■■=（■ai）·（■■）=■（■）2·■（■）2≥■（■·■）■=（■xi）2.

当且仅当■=■=…=■，即■=■=…=■时取等号.

通过对这一教材习题的深入挖掘，我们不仅得到了两个更一般的推广，也使学生的思维得以升华.以它们为工具，我们可快速地解决以下问题：

（1）求证：3（1+a2+a4）≥（1+a+a2）2.

（2）已知x，y，z∈R，求证：x2+y2+z2≥xy+yz+zx.

（3）设x，y，z∈R+，且x+y+z=1. 求证：■+■+■≥36.

（4）已知x，y，z∈R+，且■+■+■=2.求证：■+■+■≤■.

（5）若0

对习题进行引申、推广，在教材中这样的习题是很多的. 我们可从圆锥曲线性质的相关性，等差、等比数列性质的相似性，平面几何与立体几何性质的迁移性以及代数问题的几何背景、几何问题的代数背景，或从习题条件、结论的特殊性、一般性等角度对习题进行改造、升华，从而避免在习题教学中出现 “买椟还珠”之现象，达到培养学生创新思维之目的.

美籍匈牙利数学家G. Polya 指出： 掌握数学就意味着善于解题.数学离不开解题，习题教学只有充分关注学生，努力挖掘学生潜能，才能真正把握习题教学的着力点.相信通过这样的习题教学，使学生深深地爱上数学.■

四、着力于升华点

解数学题的目的是为了通过解题掌握数学思想方法，而不是单纯地为了解题而解题.因此，一道数学习题解完后，必须对该题进行反思、总结、提炼，以达由一及类、融会贯通之目的.否则，无异于“入宝山而空返”.

人教社2004年6月第1版高中数学教材第二册（上）第17页习题6.3第7题：

已知a，b都是正数，x，y∈R且a+b=1，求证：ax2+by2≥（ax+by）2.

本题是一道带有严格条件的不等式证明题，要证明它并不困难，但它的证法很多，在此不一一赘述，下面只给出一种证明方法.

证明：∵a，b∈R+，a+b=1.

∴ax2+by2=（a+b）·（ax2+by2）=（■）2+（■）2■·（■x）2+（■y）2≥（■·■x+■·■y）=（ax+by）2. 当且仅当■=■，即x=y时取等号.

上述证法实质上用到了柯西不等式，就是在证题过程中通过已知条件与结论的有机结合构造出柯西不等式的模型. 该题的证题思想方法可以进行进一步的推广.

推广1： 已知ai（i=1，2，…，n）是正数，xi∈R（i=1，2，…，n），且■ai=1.求证：■aixi2≥（■aixi）2.

证明：∵a∈R+ （i=1，2，…，n），且■ai=1，

∴■aixi2=（■ai）·（■aixi2）=■（■）2·■（■xi）2≥■（■·■xi）■=（■aixi）2.

当且仅当■=■=…=■，即x1=x2=…=xn时取等号.

推广2： 已知ai（i=1，2，…，n）是正数，xi∈R（i=1，2，…，n），且■ai=1. 求证：■■≥（■xi）2.

证明：∵a∈R+ （i=1，2，…，n），且■ai=1.

∴■■=（■ai）·（■■）=■（■）2·■（■）2≥■（■·■）■=（■xi）2.

当且仅当■=■=…=■，即■=■=…=■时取等号.

通过对这一教材习题的深入挖掘，我们不仅得到了两个更一般的推广，也使学生的思维得以升华.以它们为工具，我们可快速地解决以下问题：

（1）求证：3（1+a2+a4）≥（1+a+a2）2.

（2）已知x，y，z∈R，求证：x2+y2+z2≥xy+yz+zx.

（3）设x，y，z∈R+，且x+y+z=1. 求证：■+■+■≥36.

（4）已知x，y，z∈R+，且■+■+■=2.求证：■+■+■≤■.

（5）若0

对习题进行引申、推广，在教材中这样的习题是很多的. 我们可从圆锥曲线性质的相关性，等差、等比数列性质的相似性，平面几何与立体几何性质的迁移性以及代数问题的几何背景、几何问题的代数背景，或从习题条件、结论的特殊性、一般性等角度对习题进行改造、升华，从而避免在习题教学中出现 “买椟还珠”之现象，达到培养学生创新思维之目的.

美籍匈牙利数学家G. Polya 指出： 掌握数学就意味着善于解题.数学离不开解题，习题教学只有充分关注学生，努力挖掘学生潜能，才能真正把握习题教学的着力点.相信通过这样的习题教学，使学生深深地爱上数学.■