正确看待高考数学压轴题

李仲凯

高考压轴题是我们对高考试卷中最后一道题或最后两道题的习惯称呼.随着新课程改革的不断深入，高考数学压轴题的命题视角呈现多元化的趋势，中等数学与高等数学之间相衔接的知识点，甚至数学竞赛的一些典型的问题与知识点、典型的思想方法，也逐渐向高考压轴题渗透.因此，高考数学压轴题的特点是：综合性强，难度大，区分度高.

从最近两年参加湖南省高考压轴题阅卷的情况来看，半数考生只做了第一问，这其中还有近两成的考生答错了，相当一部分考生干脆选择放弃，压轴题得高分的考生不到一成.分析湖南高考数学压轴题得分很低的原因，我认为有三个方面：①高考毕竟是选拔性考试，压轴题有很强的阶梯式区分功能.②部分基础较好的考生，没能通过平常压轴题的练习，很好地归纳和总结方法，并逐步提升解题能力，导致考试时对压轴题的解答依旧信心不够.③与部分教师的指导思想有一定关系.教师根据平时考试时压轴题得分低的现状，淡化压轴题的教学，甚至指导考生抓好基础题而放弃压轴题.但是，考生要想在数学科上拿高分，压轴题就成了考生必须攻克的堡垒.2013年高考湖南卷的第21题和第22题均为13分，考生如果在这两道题上选择放弃或得分太少，自然就拿不到高分.

一、正确看待压轴题，克服恐惧心理

压轴题分值高但难度较大，因此很多考生对数学压轴题可谓既爱又恨.考试时，很多考生都想努力一把，但又担心花时间太多，甚至还可能会空手而归.其实，从全国各套文、理科数学高考试卷来看，每一道压轴题都至少设计两个小问题，这两问之间一般是有梯度的.对于第一问，基础稍好的考生努力一下，是完全能够解答好的.在平时的考试中，考生就要培养这个信心.有少数基础较好的考生，因对压轴题的认识不够，放弃了这些分数，确实很可惜.

二、认真审题，认清问题的结构关系

数学压轴题通常会设有2—3个问题，这些问题之间有并列式、递进式两种不同的结构关系.两问属于并列式，即两问之间相互独立，没有必然的内在联系；递进式是指下一问必须借助上一问的结论来完成解答.

1.并列式结构

例1 （2013年高考广东理科卷第21题）设函数 f（x）=（x-1）ex-kx2（k∈R）.

（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当 k∈（ ，1]时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M.

例2 （2010年高考湖南理科卷第21题）数列{an}（n∈ ）中，a1=a，an+1是函数fn（x）= x3- （3an+n2）x2+3n2anx的极小值点.

（Ⅰ）当a=0时，求通项an.

（Ⅱ）是否存在a，使数列{an}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

例1和例2的两问之间是相互独立的，且第一问相对比较简单，特别是当考生在解答第一问思维受阻的情况下，第二问依然可以作答得分.

2.递进式结构

高考数学压轴题的几个问题的设计更多的是递进式结构，即下一个问题的解答要用到上一个问题的结论.很多考生不习惯将上一问的结论灵活地应用到下一问的解题当中去，特别是对两问之间较为隐蔽的内在联系不能及时发现，从而导致解答压轴题的效果较差.

例3 （2010年高考全国新课标理科卷第21题）设函数f（x）=ex-1-x-ax2.

（Ⅰ）若a=0，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.

解答例3的第二问要用到第一问“当a=0时，ex≥1+x”这一结论.

三、夯实基础，加强对通性通法的掌握与运用

考生要想解好压轴题，首先必须拥有扎实的数学基础知识，平时多注重数形结合、分类讨论、化归思想、函数思想等数学思想的训练，复习过的知识点一定要学懂、学透，做到举一反三，然后得出自己的见解；其次，考生要注意知识的积累，如用导数求函数的单调性与极值时，常遇到对ex≥x+1，ln x≤x-1（x>0），x≥sin x（x≥0）等结论的理解与灵活运用；最后，考生一定要加强数学运算能力的培养.在高考阅卷中，我们发现很多考生尽管解题的思路是正确的，但由于中间的运算出错而失分，着实可惜.例如，2013年高考湖南理科卷第22题考查的可以说就是考生的数学基本功.

例4 （2013年高考湖南理科卷第22题）已知a>0，函数f（x）=| |.

（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式.

（Ⅱ）是否存在a，使函数y= f（x）在区间（0，4）内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

考卷提供的答案是：解答第一问时，分类讨论去绝对值，求导后讨论a的取值范围，从而确定g（a）的表达式；解答第二问时，利用第一问的结论缩小a的取值范围，利用切线的几何意义表示出两点坐标间的关系，然后转化为集合问题求解.如果运用数形结合思想来解答，我们可以大大简化解答过程.

四、重视基础，注重对知识的深层次探究

教材上有这样一道习题：已知B（-3，0），C（3，0），直线AB，AC相交于点A，且它们的斜率之积为- ，求点A的轨迹方程.

解：设点A的坐标为（x，y），则有 · = - ，即 =- ，整理得4x2+9y2=36.故点A的轨迹方程是 + =1（x≠±3）.如果同学们重视基础的同时有深入探究的习惯，同学们不难发现，这道题其实还蕴含椭圆的一条重要性质：椭圆 + =1（a>0，b>0，a≠b）上任意过原点的弦AB的两端点与椭圆上的任意一点P（除这两点外）连线的斜率之积，即kAP·kBP =- .

五、把握出题热点，有目的性地加强练习

有老师曾对2004—2010年全国各地文科和理科各125套试卷中的压轴题的题型作了分类，并对各知识点的考查作了统计，发现除了一些创新题外，常规题型不管是理科还是文科，均相对集中于四个板块（圆锥曲线、导数及其应用、数列以及不等式）中，而且这些题型的解法基本上不是通性通法.这些试题即使不出现在倒数第一、二道题的位置，也会出现在倒数第三、四道题的位置.因此，同学们有必要加大对这四个板块的复习力度.

希望同学们重视基础，强调通性通法的运用，然后制订计划对各模块选择一些相关高考压轴题来练习，循序渐进，这样经过一段时间的学习后，同学们一定会有收获的.

（作者为湖南岳阳县职业中专教师，参加2010年和2012年湖南高考数学阅卷工作）

（责任编校？筑周峰）

高考压轴题是我们对高考试卷中最后一道题或最后两道题的习惯称呼.随着新课程改革的不断深入，高考数学压轴题的命题视角呈现多元化的趋势，中等数学与高等数学之间相衔接的知识点，甚至数学竞赛的一些典型的问题与知识点、典型的思想方法，也逐渐向高考压轴题渗透.因此，高考数学压轴题的特点是：综合性强，难度大，区分度高.

从最近两年参加湖南省高考压轴题阅卷的情况来看，半数考生只做了第一问，这其中还有近两成的考生答错了，相当一部分考生干脆选择放弃，压轴题得高分的考生不到一成.分析湖南高考数学压轴题得分很低的原因，我认为有三个方面：①高考毕竟是选拔性考试，压轴题有很强的阶梯式区分功能.②部分基础较好的考生，没能通过平常压轴题的练习，很好地归纳和总结方法，并逐步提升解题能力，导致考试时对压轴题的解答依旧信心不够.③与部分教师的指导思想有一定关系.教师根据平时考试时压轴题得分低的现状，淡化压轴题的教学，甚至指导考生抓好基础题而放弃压轴题.但是，考生要想在数学科上拿高分，压轴题就成了考生必须攻克的堡垒.2013年高考湖南卷的第21题和第22题均为13分，考生如果在这两道题上选择放弃或得分太少，自然就拿不到高分.

一、正确看待压轴题，克服恐惧心理

压轴题分值高但难度较大，因此很多考生对数学压轴题可谓既爱又恨.考试时，很多考生都想努力一把，但又担心花时间太多，甚至还可能会空手而归.其实，从全国各套文、理科数学高考试卷来看，每一道压轴题都至少设计两个小问题，这两问之间一般是有梯度的.对于第一问，基础稍好的考生努力一下，是完全能够解答好的.在平时的考试中，考生就要培养这个信心.有少数基础较好的考生，因对压轴题的认识不够，放弃了这些分数，确实很可惜.

二、认真审题，认清问题的结构关系

数学压轴题通常会设有2—3个问题，这些问题之间有并列式、递进式两种不同的结构关系.两问属于并列式，即两问之间相互独立，没有必然的内在联系；递进式是指下一问必须借助上一问的结论来完成解答.

1.并列式结构

例1 （2013年高考广东理科卷第21题）设函数 f（x）=（x-1）ex-kx2（k∈R）.

（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当 k∈（ ，1]时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M.

例2 （2010年高考湖南理科卷第21题）数列{an}（n∈ ）中，a1=a，an+1是函数fn（x）= x3- （3an+n2）x2+3n2anx的极小值点.

（Ⅰ）当a=0时，求通项an.

（Ⅱ）是否存在a，使数列{an}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

例1和例2的两问之间是相互独立的，且第一问相对比较简单，特别是当考生在解答第一问思维受阻的情况下，第二问依然可以作答得分.

2.递进式结构

高考数学压轴题的几个问题的设计更多的是递进式结构，即下一个问题的解答要用到上一个问题的结论.很多考生不习惯将上一问的结论灵活地应用到下一问的解题当中去，特别是对两问之间较为隐蔽的内在联系不能及时发现，从而导致解答压轴题的效果较差.

例3 （2010年高考全国新课标理科卷第21题）设函数f（x）=ex-1-x-ax2.

（Ⅰ）若a=0，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.

解答例3的第二问要用到第一问“当a=0时，ex≥1+x”这一结论.

三、夯实基础，加强对通性通法的掌握与运用

考生要想解好压轴题，首先必须拥有扎实的数学基础知识，平时多注重数形结合、分类讨论、化归思想、函数思想等数学思想的训练，复习过的知识点一定要学懂、学透，做到举一反三，然后得出自己的见解；其次，考生要注意知识的积累，如用导数求函数的单调性与极值时，常遇到对ex≥x+1，ln x≤x-1（x>0），x≥sin x（x≥0）等结论的理解与灵活运用；最后，考生一定要加强数学运算能力的培养.在高考阅卷中，我们发现很多考生尽管解题的思路是正确的，但由于中间的运算出错而失分，着实可惜.例如，2013年高考湖南理科卷第22题考查的可以说就是考生的数学基本功.

例4 （2013年高考湖南理科卷第22题）已知a>0，函数f（x）=| |.

（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式.

（Ⅱ）是否存在a，使函数y= f（x）在区间（0，4）内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

考卷提供的答案是：解答第一问时，分类讨论去绝对值，求导后讨论a的取值范围，从而确定g（a）的表达式；解答第二问时，利用第一问的结论缩小a的取值范围，利用切线的几何意义表示出两点坐标间的关系，然后转化为集合问题求解.如果运用数形结合思想来解答，我们可以大大简化解答过程.

四、重视基础，注重对知识的深层次探究

教材上有这样一道习题：已知B（-3，0），C（3，0），直线AB，AC相交于点A，且它们的斜率之积为- ，求点A的轨迹方程.

解：设点A的坐标为（x，y），则有 · = - ，即 =- ，整理得4x2+9y2=36.故点A的轨迹方程是 + =1（x≠±3）.如果同学们重视基础的同时有深入探究的习惯，同学们不难发现，这道题其实还蕴含椭圆的一条重要性质：椭圆 + =1（a>0，b>0，a≠b）上任意过原点的弦AB的两端点与椭圆上的任意一点P（除这两点外）连线的斜率之积，即kAP·kBP =- .

五、把握出题热点，有目的性地加强练习

有老师曾对2004—2010年全国各地文科和理科各125套试卷中的压轴题的题型作了分类，并对各知识点的考查作了统计，发现除了一些创新题外，常规题型不管是理科还是文科，均相对集中于四个板块（圆锥曲线、导数及其应用、数列以及不等式）中，而且这些题型的解法基本上不是通性通法.这些试题即使不出现在倒数第一、二道题的位置，也会出现在倒数第三、四道题的位置.因此，同学们有必要加大对这四个板块的复习力度.

希望同学们重视基础，强调通性通法的运用，然后制订计划对各模块选择一些相关高考压轴题来练习，循序渐进，这样经过一段时间的学习后，同学们一定会有收获的.

（作者为湖南岳阳县职业中专教师，参加2010年和2012年湖南高考数学阅卷工作）

（责任编校？筑周峰）

高考压轴题是我们对高考试卷中最后一道题或最后两道题的习惯称呼.随着新课程改革的不断深入，高考数学压轴题的命题视角呈现多元化的趋势，中等数学与高等数学之间相衔接的知识点，甚至数学竞赛的一些典型的问题与知识点、典型的思想方法，也逐渐向高考压轴题渗透.因此，高考数学压轴题的特点是：综合性强，难度大，区分度高.

从最近两年参加湖南省高考压轴题阅卷的情况来看，半数考生只做了第一问，这其中还有近两成的考生答错了，相当一部分考生干脆选择放弃，压轴题得高分的考生不到一成.分析湖南高考数学压轴题得分很低的原因，我认为有三个方面：①高考毕竟是选拔性考试，压轴题有很强的阶梯式区分功能.②部分基础较好的考生，没能通过平常压轴题的练习，很好地归纳和总结方法，并逐步提升解题能力，导致考试时对压轴题的解答依旧信心不够.③与部分教师的指导思想有一定关系.教师根据平时考试时压轴题得分低的现状，淡化压轴题的教学，甚至指导考生抓好基础题而放弃压轴题.但是，考生要想在数学科上拿高分，压轴题就成了考生必须攻克的堡垒.2013年高考湖南卷的第21题和第22题均为13分，考生如果在这两道题上选择放弃或得分太少，自然就拿不到高分.

一、正确看待压轴题，克服恐惧心理

压轴题分值高但难度较大，因此很多考生对数学压轴题可谓既爱又恨.考试时，很多考生都想努力一把，但又担心花时间太多，甚至还可能会空手而归.其实，从全国各套文、理科数学高考试卷来看，每一道压轴题都至少设计两个小问题，这两问之间一般是有梯度的.对于第一问，基础稍好的考生努力一下，是完全能够解答好的.在平时的考试中，考生就要培养这个信心.有少数基础较好的考生，因对压轴题的认识不够，放弃了这些分数，确实很可惜.

二、认真审题，认清问题的结构关系

数学压轴题通常会设有2—3个问题，这些问题之间有并列式、递进式两种不同的结构关系.两问属于并列式，即两问之间相互独立，没有必然的内在联系；递进式是指下一问必须借助上一问的结论来完成解答.

1.并列式结构

例1 （2013年高考广东理科卷第21题）设函数 f（x）=（x-1）ex-kx2（k∈R）.

（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当 k∈（ ，1]时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M.

例2 （2010年高考湖南理科卷第21题）数列{an}（n∈ ）中，a1=a，an+1是函数fn（x）= x3- （3an+n2）x2+3n2anx的极小值点.

（Ⅰ）当a=0时，求通项an.

（Ⅱ）是否存在a，使数列{an}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

例1和例2的两问之间是相互独立的，且第一问相对比较简单，特别是当考生在解答第一问思维受阻的情况下，第二问依然可以作答得分.

2.递进式结构

高考数学压轴题的几个问题的设计更多的是递进式结构，即下一个问题的解答要用到上一个问题的结论.很多考生不习惯将上一问的结论灵活地应用到下一问的解题当中去，特别是对两问之间较为隐蔽的内在联系不能及时发现，从而导致解答压轴题的效果较差.

例3 （2010年高考全国新课标理科卷第21题）设函数f（x）=ex-1-x-ax2.

（Ⅰ）若a=0，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.

解答例3的第二问要用到第一问“当a=0时，ex≥1+x”这一结论.

三、夯实基础，加强对通性通法的掌握与运用

考生要想解好压轴题，首先必须拥有扎实的数学基础知识，平时多注重数形结合、分类讨论、化归思想、函数思想等数学思想的训练，复习过的知识点一定要学懂、学透，做到举一反三，然后得出自己的见解；其次，考生要注意知识的积累，如用导数求函数的单调性与极值时，常遇到对ex≥x+1，ln x≤x-1（x>0），x≥sin x（x≥0）等结论的理解与灵活运用；最后，考生一定要加强数学运算能力的培养.在高考阅卷中，我们发现很多考生尽管解题的思路是正确的，但由于中间的运算出错而失分，着实可惜.例如，2013年高考湖南理科卷第22题考查的可以说就是考生的数学基本功.

例4 （2013年高考湖南理科卷第22题）已知a>0，函数f（x）=| |.

（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式.

（Ⅱ）是否存在a，使函数y= f（x）在区间（0，4）内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

考卷提供的答案是：解答第一问时，分类讨论去绝对值，求导后讨论a的取值范围，从而确定g（a）的表达式；解答第二问时，利用第一问的结论缩小a的取值范围，利用切线的几何意义表示出两点坐标间的关系，然后转化为集合问题求解.如果运用数形结合思想来解答，我们可以大大简化解答过程.

四、重视基础，注重对知识的深层次探究

教材上有这样一道习题：已知B（-3，0），C（3，0），直线AB，AC相交于点A，且它们的斜率之积为- ，求点A的轨迹方程.

解：设点A的坐标为（x，y），则有 · = - ，即 =- ，整理得4x2+9y2=36.故点A的轨迹方程是 + =1（x≠±3）.如果同学们重视基础的同时有深入探究的习惯，同学们不难发现，这道题其实还蕴含椭圆的一条重要性质：椭圆 + =1（a>0，b>0，a≠b）上任意过原点的弦AB的两端点与椭圆上的任意一点P（除这两点外）连线的斜率之积，即kAP·kBP =- .

五、把握出题热点，有目的性地加强练习

有老师曾对2004—2010年全国各地文科和理科各125套试卷中的压轴题的题型作了分类，并对各知识点的考查作了统计，发现除了一些创新题外，常规题型不管是理科还是文科，均相对集中于四个板块（圆锥曲线、导数及其应用、数列以及不等式）中，而且这些题型的解法基本上不是通性通法.这些试题即使不出现在倒数第一、二道题的位置，也会出现在倒数第三、四道题的位置.因此，同学们有必要加大对这四个板块的复习力度.

希望同学们重视基础，强调通性通法的运用，然后制订计划对各模块选择一些相关高考压轴题来练习，循序渐进，这样经过一段时间的学习后，同学们一定会有收获的.

（作者为湖南岳阳县职业中专教师，参加2010年和2012年湖南高考数学阅卷工作）

（责任编校？筑周峰）