审好高考数学应用题

欧阳才学

专题策划：高考阅卷老师谈答题技巧

编者按：高考前，你是否每天跳进题海，算题目算到天昏地暗，与同学讨论争得面红耳赤，却忽略了仔细审题或者没有静下心来对解答完的问题进行总结与反思？高考中，你是否将“做完所有题目”定为唯一目标，按照题目顺序一路做下去，哪怕中间遇到阻碍，而不知道高考数学的答题策略？高考后，你是否因为自己将在高考数学考场上需要注意的一系列细节抛到脑后而懊恼不已？其实，这些问题都可以在你步入考场前解决.针对这些常见问题，有着多年高考阅卷经验的四位老师有话要说.

数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型.湖南高考数学应用题十分有特色，一般命制两道应用题，即一道概率应用题、一道综合类型应用题.但在实际的教学中，大家普遍感到这部分知识教师难教，学生难学.问题出在什么地方呢？考生从考场出来后说：“我10分钟都没有读懂题，所以只好放弃.”这一语道破了“天机”.这其中的主要原因是：一方面，应用题本身具有实用性、新颖性、灵活性等特点，题中概念多、字母多、相关制约因素多，考生顾此失彼.另一方面，在知识上，考生的基本功差，缺乏语言加工、概括、提炼与重组的能力，不能完整领会题意，不能将实际问题“数学化”并运用所学知识建立数学模型；在心理上，考生的承受能力差，适应能力差，面对长串的文字语言，心慌意乱，在审题时读了“后语”忘了“前言”，面对题目中出现的新知识、新概念，不能沉着思考，出现急躁情绪.

解答数学应用题的要点是能阅读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，建立对应的数学模型解答.

著名数学家波利亚在“怎样解题”中，将数学习题的解题过程分解为四步：①弄清问题；②拟定计划；③实现计划；④解题回顾.这里的弄清问题就是我们通常所说的“审题”，现结合具体的高考试题，与同学们谈谈数学应用题审题的一般策略与方法.

一、对题目中关键字词和符号的理解

在读应用题时，同学们要像读文言文那样逐字逐句、“咬文嚼字”地去读.仔细分析是应用题审题的重要策略之一.数学应用题中经常出现一些新概念和字母符号，出现一些容易被忽视的条件、字、词，不少考生就是因为审题时粗心大意，从而导致失误.

例题 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，那么他的满意度为 ；如果他买进该产品的单价为n元，那么他的满意度为 .如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，那么他对这两种交易的综合满意度为 .

现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元.设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.

（1）求h甲和h乙关于mA与mB的表达式.当mA= mB时，求证：h甲=h乙.

（2）设mA= mB，当mA，mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大综合满意度为多少？

（3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问：能否适当选取mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？请说明理由.

此题的文字叙述很长，新知识、新概念多，字母符号多.新概念有卖出的满意度、买进的满意度、综合满意度、最大满意度等，字母有A、B、a、m、n、h1、h2、mA、mB、h甲、h乙、h0，多达12个.如果不沉着思考，迅速地“对号入座”，问题就很难解决.如果能认真分析，将题中的新概念和题中出现的字母联系起来，问题就不难解决.现分析如下：

a——单件成本，m——卖出单价，n——买进单价， ——卖出满意度， ——买进满意度.h1= ，h2= ，卖出与买进的综合满意度为 = .

mA——A产品的单价，mB ——B产品的单价，h甲为甲买进A与卖出B的综合满意度，即h甲= ，同理h乙= .

这样，数学模型就不难建立起来了.接着利用函数、不等式等知识，问题便可迎刃而解.

二、抓住题目中的主要问题和线索

数学应用题有时文字叙述可能很长，但是起关键作用的话可能只有一两句，如果抓住这一两句话，问题就能得到解决.有时如果以某一概念为主线，问题也能很快得到解决.

如上述例题中，虽然题目很长，但关键还是理解综合满意度为 = .其中，h1= 是单件成本为a元、卖出单价为m元的卖出满意度，h2= 是单件成本为a元、买进单价为n元的买进满意度.甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲= ，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙= .抓住题目中这几个关键式子，问题就不难解决了.

下面以2013年高考湖南理科卷第20题为例，谈谈高考数学应用题的审题智慧.

高考真题 在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（-10，0），C（14，0）处.现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心.

（Ⅰ）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）.

（Ⅱ）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区.请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.

审题 （Ⅰ）“L路径”=水平距离+垂直距离.

（Ⅱ）点P到A，B，C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v，且h和v互不影响.

实际上，同学们只要理解此题上述两个要点，得分就不难了.解答数学应用题时，同学们如果能抓住题目中的主要问题和线索，列出相应的函数关系式，那么你的得分就能在一半以上.站在阅卷者的角度看，应用题建模列式比解模更重要，所以此段的分值比重相对来说比较高，为此应用题的审题就显得很重要了.

解答过程 （解法1）设点P的坐标为（x，y）.

（Ⅰ）点P到居民区A的“L路径”长度的最小值为|x-3|+|y-20|，x∈R，y∈[0，+∞）. …………4分

（说明：解答中出现“|x-3|”或“|y-20|”给1分）

（Ⅱ）由题意可知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值.

①当y≥1时，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+ |y-20|.……………………………………………6分

于是有d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+ |x-14|，…………………………………………7分

当且仅当x=3时，上述不等式中的等号成立.

又|x+10|+|x-14|≥24，……………………8分

当且仅当x∈[-10，14]时，上述不等式中的等号成立.

d2（y）=2y+|y-20|≥21，当且仅当y=1时，等号成立.………………………………………………9分

故点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.……10分

②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+ |y-20|. …………………………………………11分

此时，d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|，d2（y）=1+ |1-y|+|y|+ |y-20|=22- y≥21.…………………12分

由①可知，d1（x）≥24，故d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立.

故在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.……13分

（解法2）设点P的坐标为（x，y）.

（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）由题意可知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值.

①当y≥1时，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+ |y-20|.……………………………………………6分

由于d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|，

（ⅰ）当x≥14时，d1（x）=（x+10）+（x-14）+（x-3）=3x-7∈[35，+∞） ；

（ⅱ）当3≤x<14时，d1（x）=（x+10）-（x-14）+（x-3）=x+21∈[24，35）；…………………………7分

（ⅲ）当-10≤x<3时，d1（x）=（x+10）-（x-14）-（x-3）=-x+27∈（24，37] ；

（ⅳ）当x<-10时，d1（x）=-（x+10）-（x-14）-（x-3）=-3x+7∈（37，+∞） ，所以当x=3时，d1（x）的最小值为24.……………………………………8分

由于d2（y）=2|y|+|y-20|，

（ⅰ）当y≥20时，d2（y）=2y+（y-20）=3y-20∈[40，+∞） ；

（ⅱ）当1≤y<20时，d2（y）=2y-（y-20）=y+20∈[21，40）， …………………………………………9分

所以当y=1时，d2（y）的最小值为21.

故点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.………10分

以下解法同解法1.

总之，审题是解题的一个重要步骤，通过审题，收集信息，加工信息，熟悉题目并深入到题目内部去思考，同学们就会找到解题的突破口，也会在解题的过程中，不忽视任何一个细节.审题决定成败，审题是通向成功的起点，也是成功的归宿.

（作者为湖南宁远县一中教师，参加2012年和2013年湖南高考数学阅卷工作，担任理科阅卷小组组长）（责任编校？筑周峰）

解答过程 （解法1）设点P的坐标为（x，y）.

（Ⅰ）点P到居民区A的“L路径”长度的最小值为|x-3|+|y-20|，x∈R，y∈[0，+∞）. …………4分

（说明：解答中出现“|x-3|”或“|y-20|”给1分）

（Ⅱ）由题意可知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值.

①当y≥1时，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+ |y-20|.……………………………………………6分

于是有d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+ |x-14|，…………………………………………7分

当且仅当x=3时，上述不等式中的等号成立.

又|x+10|+|x-14|≥24，……………………8分

当且仅当x∈[-10，14]时，上述不等式中的等号成立.

d2（y）=2y+|y-20|≥21，当且仅当y=1时，等号成立.………………………………………………9分

故点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.……10分

②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+ |y-20|. …………………………………………11分

此时，d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|，d2（y）=1+ |1-y|+|y|+ |y-20|=22- y≥21.…………………12分

由①可知，d1（x）≥24，故d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立.

故在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.……13分

（解法2）设点P的坐标为（x，y）.

（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）由题意可知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值.

①当y≥1时，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+ |y-20|.……………………………………………6分

由于d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|，

（ⅰ）当x≥14时，d1（x）=（x+10）+（x-14）+（x-3）=3x-7∈[35，+∞） ；

（ⅱ）当3≤x<14时，d1（x）=（x+10）-（x-14）+（x-3）=x+21∈[24，35）；…………………………7分

（ⅲ）当-10≤x<3时，d1（x）=（x+10）-（x-14）-（x-3）=-x+27∈（24，37] ；

（ⅳ）当x<-10时，d1（x）=-（x+10）-（x-14）-（x-3）=-3x+7∈（37，+∞） ，所以当x=3时，d1（x）的最小值为24.……………………………………8分

由于d2（y）=2|y|+|y-20|，

（ⅰ）当y≥20时，d2（y）=2y+（y-20）=3y-20∈[40，+∞） ；

（ⅱ）当1≤y<20时，d2（y）=2y-（y-20）=y+20∈[21，40）， …………………………………………9分

所以当y=1时，d2（y）的最小值为21.

故点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.………10分

以下解法同解法1.

总之，审题是解题的一个重要步骤，通过审题，收集信息，加工信息，熟悉题目并深入到题目内部去思考，同学们就会找到解题的突破口，也会在解题的过程中，不忽视任何一个细节.审题决定成败，审题是通向成功的起点，也是成功的归宿.

（作者为湖南宁远县一中教师，参加2012年和2013年湖南高考数学阅卷工作，担任理科阅卷小组组长）（责任编校？筑周峰）

解答过程 （解法1）设点P的坐标为（x，y）.

（Ⅰ）点P到居民区A的“L路径”长度的最小值为|x-3|+|y-20|，x∈R，y∈[0，+∞）. …………4分

（说明：解答中出现“|x-3|”或“|y-20|”给1分）

（Ⅱ）由题意可知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值.

①当y≥1时，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+ |y-20|.……………………………………………6分

于是有d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+ |x-14|，…………………………………………7分

当且仅当x=3时，上述不等式中的等号成立.

又|x+10|+|x-14|≥24，……………………8分

当且仅当x∈[-10，14]时，上述不等式中的等号成立.

d2（y）=2y+|y-20|≥21，当且仅当y=1时，等号成立.………………………………………………9分

故点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.……10分

②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+ |y-20|. …………………………………………11分

此时，d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|，d2（y）=1+ |1-y|+|y|+ |y-20|=22- y≥21.…………………12分

由①可知，d1（x）≥24，故d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立.

故在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.……13分

（解法2）设点P的坐标为（x，y）.

（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）由题意可知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值.

①当y≥1时，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+ |y-20|.……………………………………………6分

由于d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|，

（ⅰ）当x≥14时，d1（x）=（x+10）+（x-14）+（x-3）=3x-7∈[35，+∞） ；

（ⅱ）当3≤x<14时，d1（x）=（x+10）-（x-14）+（x-3）=x+21∈[24，35）；…………………………7分

（ⅲ）当-10≤x<3时，d1（x）=（x+10）-（x-14）-（x-3）=-x+27∈（24，37] ；

（ⅳ）当x<-10时，d1（x）=-（x+10）-（x-14）-（x-3）=-3x+7∈（37，+∞） ，所以当x=3时，d1（x）的最小值为24.……………………………………8分

由于d2（y）=2|y|+|y-20|，

（ⅰ）当y≥20时，d2（y）=2y+（y-20）=3y-20∈[40，+∞） ；

（ⅱ）当1≤y<20时，d2（y）=2y-（y-20）=y+20∈[21，40）， …………………………………………9分

所以当y=1时，d2（y）的最小值为21.

故点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.………10分

以下解法同解法1.

总之，审题是解题的一个重要步骤，通过审题，收集信息，加工信息，熟悉题目并深入到题目内部去思考，同学们就会找到解题的突破口，也会在解题的过程中，不忽视任何一个细节.审题决定成败，审题是通向成功的起点，也是成功的归宿.

（作者为湖南宁远县一中教师，参加2012年和2013年湖南高考数学阅卷工作，担任理科阅卷小组组长）（责任编校？筑周峰）