浅谈如何引导学生“悟”懂数学

俞水凤

新课标中明确指出，在数学课堂教学中，教师必须改变原有的教学模式和教学观念，重视学生的主体性，积极倡导学生自主式、合作式、探究式的学习，让学生主动地参与到整个学习的过程中来。教师在授课过程中，要以“活动”为主，不能钳制学生的思维；以学生自我探索为主，不能一味地灌输；以正面激励为主，不搞人身攻击、个性压制，让学生“想看、想思考、想开口、想体验”。本文以“正多面体”的教学案例为研究对象，主要论述了在数学课堂教学中，“悟”在整个教学环节中的重要性。

一、认知之源，感悟

教学，是一门科学，同时它也是一门艺术。在教学过程中，教师有责任结合教材的特点和学生的实际情况，灵活地实施不同的教学方法，注重学生学习数学的自主性，不断地激发学生探索数学、追捧数学的潜能。

我们所说的悟，顾名思义就是“感悟”，它是建立在一定感知的基础上的，感悟就是找到数学问题的内在规律，这也是感悟的源头。只有遵循感知的基本规律，才能对变化的问题进行分析。在认知的初始阶段，教师需要为学生引导感悟的方向，以此来加深对问题的感悟。

比如在引入“正多面体”这一几何图形时，教师大可不必注重该几何体的概念定义和基本结构规律的传授。在学习正多面体这一几何图形前，教师可以让学生完全进入到一种放松的状态，在课件中展示出更多的生活实例和图片，准备一部分模型，让学生亲自体验和观察这些数学模型的构型。在欣赏的过程中，教师可以趁机询问学生：这些图片上物体的形状有什么特点？现场比画一下你所看到的物体的形状？这些物体的形状都有一个共同的特点，你知道是什么吗？正多面体的整个身体分别是哪几个部分，分布有什么特点？哪些是我们之前学过的？

通过上述欣赏加提问，首先能够给学生一种形象的感知；其次，贴近现实生活的知识更能给学生一个深刻的记忆；最后，学生在实际生活的基础上不断地激发自己的想象，不断地靠近知识点，顺应了对新事物认知的基本规律。

二、认知之要，体悟

体悟的关键在于自己去感受，所谓体悟，简而言之就是指在感悟的前提下再去亲身体验，置身其中。换句话说，就是让学生参与到教师的教学环节中去，在实践之后体悟出最真切的数学知识。数学实践活动的设计应当是服务于学生自身的发展和转变的，而且要不断地从统一的规格向差异性转变。要不断地落实学生在学习中的主体地位，灵活地选择多种体验方法，不断地激发学生参与和探索知识的兴趣，促使学生的情感态度由“要求我做”向“我想要做”的改变。

另外，体悟过程要保持趣味性。布鲁纳曾经有这样一句名言：“学习的最好刺激，是对所学材料的极大兴趣。”体验也要讲求活动的科学性和趣味性，并注重突出实践活动的层次性。创设不同类型、不同层次的实践活动，在模仿和借鉴的基础上进行变式的实践，最后在此基础上进行独立的思考和练习。在教学过程中，教师可以在教学设计、小组讨论交流及教学评估中重视活动形式的变化，让学生成为所有活动的主人。努力改变传统的“教师中心论”和“书本中心论”的基本思想，让学生在自主探索中推动创新意识和实践能力的不断提升。

在上述感悟正多面体的案例中，已经让学生对正多面体模型有了一个直观的感受，这也为下面的系统知识的学习奠定了基础，接下来，教师可以引导学生进行系统知识的体悟。

思考：假如有4个、8个、12个、20个三角形，这些三角形可以进行怎样的组合，形成怎样的立体图形？这些三角形需要满足什么关系？相互之间的角度是什么样的？

在教师的引导下，可以组织学生开展一堂生活数学课，让学生准备好相应的器具，在课堂上合作完成上述的实验。学生亲自动手，在动手过程中能引发学生主动的思考，学生和教师间的相互沟通和交流，能加强学生的合作能力。不难发现，正多面体的每条边应该是相等的。学生适时地提出实验过程中的疑问，教师及时地给予解答和引导，增强了学习的效率。教师只需给予一定的指导，整个体悟过程要让学生自主完成。以往很多疑难问题都是依赖于教师的讲解和传授，使学生失去了独立思考的能力和习惯，所以，“体悟”是解决问题的关键，是击破难点、发散思维的关键所在。

三、认知之终，觉悟向领悟的蜕变

在经历了感悟和体悟之后，学生已经对该知识点有了一个深入的了解。而且，在探索知识的过程中，学生对于部分知识的了解和体会可以分别称之为觉悟和领悟。但是，这个层面的感知还只是局限于表面的认知，要想真正地得出系统的理论体系，转化成为学术知识，离不开教师的深入分析和引导。要想更好地实现觉悟向领悟的转变，就要做更多的探究和归纳。

思考1：一个正多面体由多个三角形构成，那么这个正多面体的表面积该如何计算？

思考2：正多面体的体积又该如何计算？有几种思考方法？

思考3：正多面体的表面积和体积的关系是怎样的？正多面体的中心和重心又是什么样的？

教师提出一系列问题作为引导之后，学生学习的积极性和探索知识的欲望就会越来越强。学生可以自己利用三角形组合成正多面体，运用自己所能想到的方法去求解上述问题，再对答案进行总结、论证。在这个过程中，他们积极地去探索，例如，可以利用组成正多面体的三角形的个数来计算表面积；利用多个正多面体组成我们熟知的多面体，以此求解正多面体的体积；利用三角形与空间正多面体的类比来找到正多面体的中心和重心等。思考的方法不一，共通之处是通过学生之间的交流，使思考探知点多样化，并领悟到问题的本质。学生一旦对正多面体这个知识点感兴趣，教师就要抓住学生的最佳状态，让学生对正多面体有更深入的探究，在此过程中总结解题的基本思路和基本方法，并努力地激发学生的探究激情，学生在学习的过程中还能体验到知识产生的整个过程，对于知识探究有着重要的意义。

四、认知之反思，省悟

省悟，指的是学生在学习过程中不断地反思自己的学习方法和知识解答的得与失。教师也要经常性地总结自己的教育教学行为，不断地反思和总结教学过程，从现有的框架中寻找解决问题的方式和方法。如果很难找对解决问题的方法，就要不断地反思自身教学过程中相对比较薄弱的环节，并有针对性地进行改正。“悟”在数学教学过程中扮演着重要的角色，教师在帮助数学困难生的时候，就要适时地教会他省悟，及时地发现自身的问题，及时地针对出现的问题寻找解决问题的方法。比如在上述案例中的思考3，教师一旦发现学生对正多面体的有关知识遇到了理解上的障碍，就要着重引导学生在掌握结论的同时了解结论的来源，知其然而不知其所以然是数学学习中最大的错误。

解决问题的思考方向有很多种，并不是所有的学生都能对问题思考得很清楚，这就需要学生对问题进行反思。教师可以利用一些学生熟知的图形帮助学生对问题进行反思。正四面体的重心的寻找可以怎样进行？中心又该怎样寻找？教师可以利用正多面体的对称性和与三角形的类似性去帮助学生对问题进行了解和思考，这样学生就能够通过教师的引导，对原来没有头绪的问题加深理解，将这种从陌生转化为熟悉的知识载入脑中。

五、认知的高度，深悟

深悟，顾名思义指的是对数学知识本质的深入认知，在不断的探究和创新性思维中解决更多的疑难问题。可以说，数学学习的过程就是一个知识的再造过程，数学课堂的创设能够为学生提供更多的实践和动手、动脑机会，这样才能实现数学知识的再创造，才能有利于学生创新思维和创造能力的培养。

对问题的深悟就是指学生能够真正地理解这类问题，包括这类问题的衍生部分，例如，如何对特殊四面体进行理解。

问题1：从空间一点出发的四条射线，它们两两之间的夹角相等，求这个角及其正弦值。

问题2：一个棱长为1的正四面体在平面上的投影是什么图形？这些图形中面积的最大值是多少？

这些问题的提出都是建立在最特殊的正四面体的基础上的，是由正四面体衍生的问题，因此，在解决这类衍生的问题时还需要借助正四面体的学习领悟，并将这种领悟推向更高点。对这类问题的思考方法就是与正四面体进行类比，这也是学习陌生知识时一种较为常见的学习方法。

如果不对已学的数学知识进行深悟，而只是停留在领悟上，学生的思维能力就没有得到充分的提高。所以，教师应该鼓励学生深悟，指导学生进一步探索，培养良好的思维习惯。

总而言之，在新课标的引导下，我们要不断转变教学理念，让学生积极主动地参与到数学学习和实践活动中来。在新知识不断巩固、加深的基础上，还要对已有的数学知识有更深的领悟，激励学生对知识形成深悟，养成良好的数学解题习惯。