也谈洛伦兹变换过渡为伽利略变换的条件

赵 坚 李 力

（1.五华区教师进修学校，云南 昆明 650031；2.重庆清华中学，重庆 400054）

关于洛伦兹变换过渡为伽利略变换的条件，各种大学教材上有好几种说法，相互并不一致.争议的焦点在最后一式，即洛伦兹变换的t′＝γ（t－vx／c2）是如何回到伽利略变换t′＝t的［1］？常见的疑问是：作为被观测事件的坐标x和t原则上可各取任何值，如果x很大而t很小，此式右边第2项与第1项相比，还能忽略去掉吗［2］？

文献［1］提出两个结论：（1）v／c→0仅仅是洛伦兹变换过渡为伽利略变换的必要条件而非充分条件.（2）过渡的充要条件是，当且仅当同时满足v≪c和x≪ct.

文献［2］则持不同看法，为方便讨论起见，以下摘抄一段［2］：“洛伦兹变换在v≪c时近似回到伽利略变换”这一提法总是对的，其准确含义如下：“在约定的允许误差范围内，对任一被观测事件而言，只要v与c相比足够小，洛伦兹变换都能近似回到伽利略变换.”理由很简单，这一提法要求你首先给定被观测事件，然后才告诉你v要比c小多少（这个先后顺序极其重要）.设此事件的x与t的关系为x＝Mct，其中M是个很大的（无量纲）数，如102，1 03…….代入洛伦兹变换式便得t′≈t－vMct／c2＝t（1－vM／c），故t－t′＝t－t（1－vM／c）＝tvM／c，因而t′与t的相对差别（t′－t）／t＝vM／c，假定事先约好的允许相对误差为δ（如δ＝1 0－2或10－3），则为使（t－t′）／t＜δ，只须v／c＜δ／M.如设M＝103，δ＝10－2，则v／c＜10－5.就是说，只要v＜10－5c，对该事件而言就可在允许误差范围内使用伽利略变换.

笔者赞同文献［2］的看法.由于它的推导用到γ≈1，所以只是在近似条件下的证明.下面在事先不忽略γ的一般情况时严格地推导，可以发现原结论不变.

这里的逻辑链条是：给定M、δ，那么有v／c＜δ／M，可得1－δ＜（1－vM／c），可得1－δ＜γ（1－vM／c），可得（t－t′）／t＜δ，所以只要v／c＜δ／M，对该事件而言就可以在允许的误差范围内使用伽利略变换.

我们还可以从通常极限运算的角度来看这个问题.众所周知，作极限运算时必须区分常量和变量，因为极限运算是对变量而作.在本问题中，尽管作为被观测事件的坐标x和t原则上可各取任何值，甚至可以x很大而t很小，但对于给定的观测事件而言，x和t都是确定的常量，并不是对之做极限运算的变量.这里的变量应该是v／c，故有

综上所述，洛伦兹变换过渡为伽利略变换的条件应该是v≪c（即v／c→0），而不是 “v≪c且x≪ct”.

1 蔡志东.关于洛伦兹变换过渡到伽利略变换的条件问题［J］.物理通报，2011（9）：90－93.

2 梁灿彬，曹周键.从零学相对论（连载2）［J］.大学物理，2012，31（8）：64，65.

3 龚昇.简明微积分（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2006：370.