重新审视数量关系教学的地位

李春英

（浙江省杭州市杭师大东城实验学校，浙江 杭州 310019）

重新审视数量关系教学的地位

李春英

（浙江省杭州市杭师大东城实验学校，浙江 杭州 310019）

儿童数学学习的过程，是一个数学方法运用、数学思想表达、数学思考加深的过程，有序、有理、有法是其内在的重要标尺，也最具有数学学科特点。数量关系的运用水平正是学生数学学习水平和数学学习过程的最佳体现。小学数学教材中用规范的数学语言呈现解决问题常用的数量关系，小学数学教师应该在课堂教学中把握数量关系呈现的时机和内容。

解决问题；数量关系；小学

现行教材删除了独立的应用题单元，将应用题教学与计算教学紧密结合，融为一体。不少教师在“解决问题”的教学中缺乏全局意识，导致了教学的“脱节”、学生解题能力的下降。我认为小学阶段数量关系运用的教学在新教材中仍然具有十分重要的基础性地位。重新审视数量关系教学在小学数学中的地位，使它能够“心安理得”地重新回到我们小学数学的课堂中。它的作用就是使学生能够掌握基本的分析、综合的方法，积累必要的数量结构，在获取信息后形成解题思路，学会解决问题。

一、小学数学数量关系教学的基本内容

“数量关系”，顾名思义，是指各种数量之间的关系。我认为小学阶段数学的数量关系其实就是加、减、乘、除的关系。“加”就是把几个数量合在一起，“减”就是从一个数量里去掉另一个数量，“乘”就是求几个相同加数和的简便运算，“除”就是把一个数量平均分成若干等份。如果能够把这些基本的含义理解透彻了，那么一些人为地总结出的大量的数量关系式就可以找到自己归属，学生可以更多地从这四种运算意义出发自己编写数量关系式，这样就可以避免因数量关系众多而给学生带来的记忆负担。用数学教学论的观点来说，数量关系是从一类有共同规律的数学问题中总结出来的揭示某些数量之间的本质联系，并以数量关系式来表示这种联系。它为小学生解决同类数学问题指出方向，提供基本方法，形成一种策略，是一种有数学价值的解决问题的模式。

小学阶段以数量关系的算术运用为主，涉及简单的方程运用。主要包括简单数量关系的运用、复合数量关系的运用，以及特殊数量关系的运用。教学中可以分为三个阶段：第一阶段主要是一、二年级，要求学生能够掌握最简单的也是最为基本的四种数量关系的结构（部总、份总、相差、倍数）；第二阶段主要是三、四年级，要求学生能够把握四种复合数量关系的结构（由四种最基本的简单数量关系经过交错组合而形成）；第三阶段是五、六年级，要求学生能够掌握特殊数量关系的结构（把一般的份总关系运用到特殊情境之中，如：购物、工程、行程等问题情境，产生以下一些关系：单价×数量=总价，工效×工时=工总，速度×时间=路程）。

以上数量关系运用都可以分为两种情况：简单运用和变式运用。小学阶段不论是什么样的数量关系，都离不开四则运算的意义。许多数量关系都是在加、减、乘、除这四种运算的最基本的含义的基础上发展起来的。

二、小学数学数量关系教学的基本方法

1.通览教材和教师教学用书，明确编写意图。苏教版教材中“数量关系”这一数学术语首次以书面形式呈现是在五年级（下册）第一单元第五页第2题：用方程表示下面的数量关系。随后教学列方程解决简单的实际问题——教材第8页例题7：“小刚的跳高成绩是1.39米，比小军少0.06米，小军的跳高成绩是多少米？”（教材是以图文形式出现）中首次出现数量关系的文字表达式：小军的跳高成绩-小刚的跳高成绩=0.06，在第9页的“试一试”下面提供了填空形式的表达式：（ ）的体重×33=（ ）体重。同时在教材第10页安排了相应的习题，如第5题：根据数量关系列方程，并解答。之前教材中从未出现过“数量关系”这四个字，是否就可以认为教师不用教数量关系？学生也不用把握数量关系呢？五年级教师教学用书中说明，方程的等量关系的教学是在学生熟悉相关的数量关系基础上进行教学的。既然是用了“熟悉”一词，就应该想到之前教师应该有数量关系的教学，那么数量关系的教学应该从什么时候开始呢？

记得沈重予老师谈教材编排意图时曾经指出，数量关系是重要的数学内容，学生对数量关系的理解程度，直接影响到解题思路的形成。而且我也翻阅了苏教版小学数学1～6年级的教学参考书，发现一年级的教参中提到数量关系的地方就有好几处，而在其他年级的教参中，关于数量关系的提法更是俯首皆是，不胜枚举。这充分说明教材的编写者从来也没有忽视数量关系的教学，只是没有在教材和教参中具体呈现。因为缺乏必要的依据，教师在教学时，往往关注情境创设，关注信息收集，忽视了数量关系的分析。江苏省中小学教学研究室王林老师在《也谈解决问题与应用题》一文中指出：“第一学段就加强数量关系的教学，帮助学生通过理解数的运算的意义来理解基本的数量关系，抽象出基本的数量关系；根据分析数量关系的难易程度有层次地安排有关应用题的教学；重视引导学生发现问题和提出问题，逐步有机渗透解决问题的策略。”

2.结合日常教学过程，渗透数量关系。低年级用算术方法解决实际问题往往依赖形象思维的支撑。因为学生往往借助形象思维和生活经验，很快可以列出正确的算式。而到了中年级，如果还是凭借直观的思维解决问题，数量关系抽象概括的缺失直接影响学生对数量关系的全面的、深刻的把握。数量关系的呈现需要经历一个从无到有的过程，从低年级的老师讲过渡到中年级的学生讲，从中年级的讲过渡到高年级的写，从给定的填空式过渡到自觉地寻找。低年级教师在教学时可以经常性地、口头说说解决问题时常用到的数量关系式。如：看到“小红比小丽多跳2下”就能想到：小丽跳的数+2=小红跳的数，看到“柳树是杨树的3倍”就想到：杨树的棵数×3=柳树的棵数等。随着呈现次数的增多，学生在潜移默化的过程中建立一个个数量关系的模型，到中年级时，教师就应该要求学生讲数量关系，不必要求语言多么严密，措辞多么严整，只要能够完整地表达数量之间的关系即可。在对数量关系有了一定的积累之后，高年级教师就应让学生写出数量关系式了，并且在写的过程中尽可能让学生完整准确地表达数量关系式。如标准量-相差数=比较量、标准量+相差数=比较量、倍数×倍数=几倍数、单价×数量=总价等。这样自觉寻找就容易多了。

这样的训练也不能过于机械，还应该适时鼓励学生发散思维。如设计一些只有一个条件和一个问题的题目，让学生感悟得出必须知道两个数量之间的关系才能求出第三个数量。

如“二年级植树24棵，五年级植树多少棵？”你能求出吗？为什么？生说不能，因为不知道五年级比二年级多几棵还是少几棵，也不知道五年级的棵数是二年级的几倍或二年级的棵数是五年级的几倍。这时教师可以及时告诉学生说不知道五年级和二年级之间的关系，不能求出。如果要求五年级植树多少棵，你能补充一个条件吗？要是补充一个“三年级植树32棵”这个条件能求出吗？还是不能，为什么？因为三年级的棵数和五年级没有关系。那我们要补充的条件必须是二年级和五年级两个数量之间的一个关系。然后启发学生补充条件如下：五年级比二年级多植树12棵或二年级比五年级少植树12棵；五年级比二年级少植树12棵或二年级比五年级多植树12棵；五年级植树的棵数是二年级的2倍或二年级植树的棵数是五年级的2倍。从中任选一个条件，你能求出吗？能，为什么？因为我们知道了五年级和二年级之间的关系。找“数量关系”就这么在不知不觉中渗透到了孩子解决问题的策略里。如果是六年级的学生，还可以补充谁是谁的几分之几，谁比谁多或少几分之几等条件。经常进行数量之间关系的教学，对学生学习正反比例的意义以及中学方程的学习是非常有意义的。

3.提供相对真实的现实情境，抽象数量关系。苏教版教材为我们提供了大量的相对真实的现实情境，让学生在解决实际问题的过程中动态探索，理解感悟数量关系。这种明显带有个体“数学思考”成分的数学活动是学生运用数量关系解决问题的关键所在。

如苏教版三年级下册结合认识几分之一和几分之几，安排了解决求一个数的几分之一和几分之几是多少的实际问题。教材提供了一幅猴子采蘑菇的情景图，有12个蘑菇，把这些蘑菇的分给3只猴子，问题是：分给它们多少个？教学用书要求教师利用学生“对分数实际意义的理解，运用已经掌握的数学知识，通过动手操作探索解决，让操作和直观作为学生思考的依托，通过自己的实际操作和观察，来探索和解决实际问题的数量关系，探求解决问题的方法”。教师在教学中引导学生将情境中的问题与分数的意义相联系，充分经历思考与体验的过程。学生用圆片代替蘑菇，分前要先想一想这里表示的实际意义，就是把12个蘑菇平均分成4份，取这样的3份的数；然后让学生边操作边列式，先把12个圆片平均分成4份，用算式表示为12÷4=3（个），再取其中的3份，用算式表示为3×3=9（个）。接着，教师不要急于总结求一个数的几分之几是多少的解决方法，而要在此基础上为学生提供更多的相似情境，让学生通过大量的感悟自己总结其中的数量关系。如把12个蘑菇的分给3只猴子，分给它们多少个？把12个蘑菇的分给3只猴子，分给它们多少个？这些同样是先用除法求出每份是多少，再用乘法求出这样的几份是多少。在此过程中，学生也会有意识地思考情境中的问题与数学意义的联系，基本数量关系的教学也得到了潜移默化的渗透，这种原始的积累，为学生解决问题能力的发展奠定了坚实的基础。

4.结合解题思路的叙述，表述数量关系。数量关系式的概括过程是学生把日常用语抽象成数学语言的过程，是将日常用语转换成符号语言（方程式）的前提。重视解题思路就是要重视教学中的分析与说理，这是因为不仅要通过数量关系的分析找出解答的计算过程，同时计算过程本身也反映了解题的算理。所以要重视教给学生联系运算意义，把解决问题中叙述的情节语言转换成数学运算，在理解的基础上用学生自己的语言叙述。

一步计算解决的简单实际问题，要训练学生表述简单实际问题的基本结构，使学生明确简单实际问题是由两个已知条件和一个问题组成的，缺少条件要补条件，缺少问题要补问题才能构成一道完整的题，同时条件与条件，条件与问题之间要有一定的联系。教学时可以进行提问题、填条件的练习。通过训练，学生看到相关联的两个条件能提出问题，看到一个问题一个条件就能意识到还要补充什么条件。这一训练还可以使学生加深对应用题数量关系的认识，也为今后教学复合应用题提出中间问题做准备。教学时教师要进行必要的指导，如引导学生用“先……再……”“根据……可以知道……”等语言来表述，以提高学生语言表达的条理性和严密性。

这是学生第一次学习两步计算的实际问题。教材以图文结合的形式呈现了问题：大猴采了3筐桃，每筐12个。小猴采了6个桃，两只猴一共采了多少个桃？

表述思考过程：让学生联系已有的经验说出思考过程。①根据条件“大猴采了3筐桃，每筐12个”，可以先求出大猴采了多少个桃。②根据问题“两只猴一共采了多少个”，想到大猴采的不知道，应该先算大猴采的个数。表述算法的选择：无论哪种想法，当明确了这个“中间问题”之后，解题思路也就形成了。①求大猴采的个数，要用每筐个数×筐数。②求两只猴一共采的个数，要用大猴采的个数+小猴采的个数。表述结题思路：在学生列式解决问题之后，教师可以让学生讨论下面几个问题：这道题是分几步解答的？先算了什么？为什么要先算大猴采了多少个？是利用哪两个条件计算的？引导学生反思解题过程，初步形成用分析法和综合法思考问题的意识。显然，两步计算实际问题可以看作是两个一步计算问题的综合。因此，对一步计算问题数量关系的理解直接影响着两步计算实际问题的解决。在教学两步计算实际问题的过程中，还要让学生初步体会整理信息不是罗列条件和问题，还要发现条件之间的联系，研究条件与问题间的关系，能从中再生出新的、有用的信息。

除了加、减、乘、除意义的基本数量关系，还有密切结合某些实际素材的常见数量关系。如“单价×数量=总价”、“工作效率×工作时间=工作总量”等。这些数量关系的得出，都必须经过一个梳理和归纳的过程。而运用数学语言来提炼数量关系是此项过程中不可或缺的重要环节。面对一个问题情境，教师应鼓励学生基于自己已有的知识经验自主构建“原生态”的数量关系，在此基础上，教师可以引导学生进一步转换思维视角，从而获得更为简约、更为概括的数量关系模型，进而通过对这一数量关系模型的变式运用，实现数量关系结构化迁移。不同的角度反映了数量之间的本质联系。像这样，让学生经历从多角度思考问题，对发展他们的数学思维、提高思维的灵活性和敏捷性会起到很大的作用。

总之，新课程并没有舍弃数量关系的抽象，而是要求创新数量关系的教学方法，强调在发展学生数学理解的前提下进行数量关系的抽象概括。当我们重新审视了小学数学数量关系教学的地位后，我们惊喜地发现数量关系在新教材中牢固的基础性地位不可动摇。我们更希望编写者能在教材或教师教学用书上为数量关系提供适当的空间位置，让一线教师更加清楚要为数量关系的教学做些什么，怎么做；更希望一线教师能充分理解编者的意图，将数量关系的教学渗透在日常教学中，逐步提高学生分析问题、解决问题的能力。

[1]吴亚萍.数量关系运用的结构教学初探 [J].小学数学教师，2007，（7）.

[2]陆顺昌.新课程要摒弃数量关系吗[J].小学数学教师，2007，（9）.

[3]沈超.从知识形态和载体的角度谈解决问题和应用题[J].小学数学教师，2009，（4）.

G632.0

A

1674-9324（2014）17-0109-03

李春英（1967-），女，山西大同人，硕士，特级教师，浙江省杭州市杭师大东城实验学校教师，研究方向：小学数学教学。