最值问题的解法举例

陈建芳

摘 要：求最大值或最小值是历年各地中考热点之一，此类问题设计新颖，形式活泼，解法灵活多变，综合性较强，有些实际问题还需要巧解，是考察学生对平时所学内容的综合运用能力，用数学思想方法为指导，找准问题的切入点，建立合适的解决问题的数学模型，寻找解决问题的捷径，从而把问题由难转化为易，本文例举了六种常见最值问题的解题策略。

关键词：最大值；最小值；不等式；判别式；配方法；“式”和“形”；函数；优化原则

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）06-386-01

求最大值或最小值是历年各地中考热点之一，此类问题设计新颖，形式活泼，解法灵活多变，综合性较强，有些实际问题还需要巧解，是考察学生对平时所学内容的综合运用能力，用数学思想方法为指导，找准问题的切入点，建立合适的解决问题的数学模型，寻找解决问题的捷径，从而把问题由难转化为易。这里谈谈最大值或最小值问题的解题策略。

一、利用不等式性质求最值

例1，已知x≠0，当x取何值时， 的值最小？最小值是多少？

因为x的取值范围是0

四、利用最优化原则求最值

例6，某班13个同学参加每周一次的卫生大扫除，按学校要求完成面积为80m2的三个项目的任务，三个项目的面积比例是：地面：玻璃：桌椅=11：4：5，每人每分钟擦玻璃、擦桌椅、扫地的面积分别为 、 、 ，他们一起完成扫地任务后，把这13人分成两组，一组擦玻璃、一组擦桌椅，如何分配这两组人数，才能最快地完成任务？

分析：同学们完成第一项任务成，同时开始做第二、三项工作，由于分配方案不同，将会出现三种情形：（1）擦玻璃的先完成；（2）擦桌椅的先完成；（3）两组同时完成。若运用函数思想求解，则应建立以其中一组人数为自变量，所用时间为函数关系式，但所用时间应是两组中用时最多的一组所用时间，显然难以确定哪一组用时最多，所以运用函数思想求解不合适，联系生活实际，运用最优化原则分析：由于两组同时工作，且各自的工作效率是固定的，所以，不管哪一组提前完成，都是分配不当，只有在完成所有任务前每个人都在工作，才能确保速度最快，所以，安排人员时，只要保证两组完成任务的时间相等即可。

条件求值问题是初中数学中有一定难度的题型，这就要求学生要有扎实的基础，在解题时要分析思考，选择合适的解法，尽量用简便的方法快速地解答出问题。

参考文献：

[1] 郑杰《有关初中数学最值问题的解法》《基础教育论坛》 2012（19）

[2] 令标《最值问题的解法浅析》《中学生数学》，2009（160

[3] 潘玉晓《关于函数最值问题的探讨》《南阳师范学院学报》2005（9）

[4] 张天雄《利用重要不等式求函数最值问题应注意的几个问题》《中学数学》，1996（8）